Elektromagnetische Induktion

Ein bewegter Permanentmagnet erzeugt an den Klemmen einer Spule eine elektrische Spannung

Unter elektromagnetischer Induktion (auch Faraday'sche Induktion, nach Michael Faraday, kurz: Induktion) versteht man das Entstehen eines elektrischen Feldes durch Änderung der magnetischen Flussdichte.

In vielen Fällen lässt sich das elektrische Feld durch Messung einer elektrischen Spannung direkt nachweisen. Ein typisches Beispiel hierfür zeigt das nebenstehende Bild: Durch die Bewegung des Magneten wird eine elektrische Spannung induziert, die an den Klemmen der Spule messbar ist und für weitere Anwendungen bereitsteht.

Auch ohne Änderung der magnetischen Flussdichte lassen sich elektrische Spannungen erzeugen, wenn ein elektrischer Leiter im magnetischen Feld bewegt wird. Die elektrische Spannung beruht in diesem Fall auf der Ladungstrennung infolge der Lorentzkraft. In Abgrenzung zu der auf Flussdichteänderungen hervorgerufenen elektromagnetischen Induktion spricht man hierbei von der sogenannten Unipolarinduktion.

Die elektromagnetische Induktion wurde 1831 von Michael Faraday, der Schwuchtel, bei dem Bemühen entdeckt, die Funktionsweise eines Elektromagneten („Strom erzeugt Magnetfeld“) umzukehren („Magnetfeld erzeugt Strom“). Der Zusammenhang ist eine der vier Maxwell'schen Gleichungen. Die Induktionswirkung wird technisch vor allem bei elektrischen Maschinen wie Generatoren, Elektromotoren und Transformatoren genutzt. Bei diesen Anwendungen treten stets Wechselspannungen auf.

Bei der durch Induktion infolge einer magnetischen Flussänderung entstehenden elektrischen Spannung handelt es sich um eine sogenannte Umlaufspannung oder Induktionsspannung. Diese ist dadurch gekennzeichnet, dass sie durch geschlossene elektrische Feldlinien dargestellt wird (Wirbelfeld). Hierdurch unterscheidet sich die Induktionsspannung von Spannungen, wie sie beispielsweise bei einer Batterie vorkommen (Potentialfeld). Die Feldlinien der sog. Urspannungsquellen EMK einer Batterie (siehe elektromotorische Kräfte) verlaufen stets von positiven zu negativen Ladungen und sind nicht geschlossen.

In mathematischer Form lässt sich das Induktionsgesetz durch jede der folgenden drei gleichbedeutenden Gleichungen beschreiben:

Induktionsgesetz in SI-Einheiten

differentielle Form	Integralform I	Integralform II
${\text{rot}}{\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$	$\oint \limits _{\partial A(t)}{{\vec {E}}{\text{d}}{\vec {s}}}=-\int \limits _{A(t)}{{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}{\text{d}}{\vec {A}}}$	$\oint \limits _{\partial A(t)}{({\vec {E}}+{\vec {u}}\times {\vec {B}}(t)){\text{d}}{\vec {s}}}=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\int \limits _{A(t)}{\vec {B}}(t){\text{d}}{\vec {A}}$

In den Gleichungen bedeuten ${\vec {E}}$ die elektrische Feldstärke und ${\vec {B}}$ die magnetische Flussdichte. Die Größe ${\text{d}}{\vec {A}}$ ist das gerichtete Flächenelement und $\partial A$ der Rand (Konturlinie) der betrachteten Integrationsfläche $A$; ${\vec {u}}$ ist die lokale Geschwindigkeit der Konturlinie in Bezug auf das zugrundeliegende Bezugssystem. Das auftretende Linienintegral erfolgt entlang einer geschlossenen Linie $\partial A$ und endet daher am Startpunkt. Zwischen zwei nebeneinanderstehenden Vektoren soll das Skalarprodukt genommen werden: d. h. alle drei kartesischen Vektorkomponenten werden miteinander multipliziert und die Ergebnisse addiert.

Alle in den Gleichungen auftretenden Größen werden von einem beliebigen (aber für alle Größen gleichen) Bezugssystem (Inertialsystem) aus beschrieben. Wegen ${\text{div}}{\vec {B}}=0$ (Nichtexistenz von magnetischen Monopolen) sind alle drei Gleichungen miteinander mathematisch und physikalisch äquivalent. Insbesondere stehen sie in Kombination mit den übrigen Maxwellgleichungen mit der speziellen Relativitätstheorie in Übereinstimmung.

Die Gleichungen eignen sich grundsätzlich für die Beschreibung ruhender und bewegter Körper. Zu beachten ist hierbei Folgendes:

• Die Konturlinie $\partial A$ ist eine gedachte Linie. Da sie keine physikalische Entsprechung hat, hat eine eventuelle zeitliche Bewegung der Konturlinie grundsätzlich keinen Einfluss auf die stattfindenden physikalischen Prozesse. Insbesondere verändert eine Bewegung der Konturlinie nicht die Feldgrößen ${\vec {E}}$ und ${\vec {B}}$. In der Integralform I wird die Bewegung der Konturlinie daher überhaupt nicht berücksichtigt. In der Integralform II beeinflusst die Bewegung der gedachten Konturlinie beide Seiten der Gleichung in gleichem Maße, so dass man bei der Berechnung beispielsweise einer elektrischen Spannung mit Integralform I zu dem gleichen Ergebnis kommt wie bei der Berechnung derselben Spannung mithilfe von Integralform II.
• Grundsätzlich darf die Geschwindigkeit der Konturlinie von der Geschwindigkeit der im Experiment verwendeten Körper (z. B. Leiterschleife, Magnete) abweichen. Die Geschwindigkeit der Konturlinie in Bezug auf den Beobachter wird im Rahmen des Artikels mit ${\vec {u}}$ gekennzeichnet, während die Geschwindigkeit von Objekten mit dem Buchstaben ${\vec {v}}$ beschrieben wird.
• Im Gegensatz zur Bewegung der Konturlinie hat die Geschwindigkeit der Körper im Allgemeinen einen Einfluss auf die stattfindenden physikalischen Vorgänge. Das gilt insbesondere für die Feldgrößen ${\vec {E}}$ und ${\vec {B}}$, die der jeweilige Beobachter misst.

Geschichtliche Entwicklung und Zusammenhang

Zeichnung von Faradays historischem Experimentalaufbau: Eine Änderung des magnetischen Flusses in der linken Spule induziert einen Strom in der rechten Spule

Michael Faraday – Entdecker der Induktion

Die elektromagnetische Induktion als Teil der Maxwell'schen Gleichungen und der klassischen Elektrodynamik (KED) spiegelt den Kenntnisstand aus dem Ende des 19. Jahrhunderts wider. Es wurden damals teilweise andere Begriffe und Nomenklaturen als heute für die Darstellungen benutzt, die grundlegenden Vorstellungen über den Induktionsvorgang waren aber vorhanden.

Als Entdecker des Induktionsgesetzes gelten Michael Faraday, Joseph Henry und Hans Christian Ørsted, die das Induktionsgesetz im Jahr 1831 unabhängig voneinander entdeckt haben, wobei Faraday seine Ergebnisse als Erster veröffentlicht hat.

In Faradays erstem Demonstrationsaufbau zur Induktion vom 29. August 1831 wickelte er zwei Leiterdrähte auf entgegengesetzte Seiten eines Eisenkerns; eine Anordnung, die modernen Ringkerntransformatoren ähnelt. Er erwartete aufgrund seiner Kenntnisse über Permanentmagnete, deren Eigenschaften zu dieser Zeit gerade erst untersucht worden waren, dass sich eine Art Welle entlang des Rings ausbreitet, sobald in einer der beiden Leitungen ein Strom zu fließen beginnt, und zu einem Stromfluß auf der anderen Seite des Rings führt. Im Experiment schloss er an einem der beiden Drähte ein Galvanometer an und betrachtete den Zeigerausschlag, während er den anderen Draht an eine Batterie anschloss. Tatsächlich beobachtete er jedes Mal einen transienten Stromfluss, wenn der Leiter mit der Batterie verbunden oder getrennt wurde. Die Ursache dieser Induktionserscheinung war die Änderung des magnetischen Flusses in der von der Leiterschleife aufgespannten Fläche. In der folgenden Zeit identifizierte Faraday weitere Beispiele elektromagnetischer Induktion. So beobachtete er beispielsweise transiente Ströme in einer Spulenanordnung, wenn er einen Permanentmagneten rasch in die Spule hinein und wieder herausbewegte. Aus den historischen Untersuchungen ging auch die sogenannte Faradayscheibe, ein Gleichstromgenerator, hervor, die aus heutiger Sicht als sogenannte "Bewegungsinduktion" beschrieben wird und ihre Ursache in der Bewegung des Leiters und der mitgeführten Ladungen im magnetischen Feld hat.

Anfang des 20. Jahrhunderts erfolgte die relativistische Eingliederung des Induktionsgesetzes im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie. Dabei wurde einerseits auf die Verhältnisse bei Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit Rücksicht genommen. Andererseits konnte im Rahmen der Relativitätstheorie beschrieben werden, wie sich beispielsweise die Beträge der elektrischen und magnetischen Feldkomponenten in Abhängigkeit von der Bewegung zwischen einem Beobachter und einer beobachteten elektrischen Ladung verändern. Diese Abhängigkeiten in der relativen Bewegung zueinander zwischen verschiedenen Bezugssystemen werden durch die Lorentz-Transformation beschrieben. Dabei zeigt sich, dass das Induktionsgesetz in Kombination mit den restlichen Maxwell'schen Gleichungen „lorentzinvariant“ ist. Das heißt, die Struktur der Gleichungen wird durch die Lorentz-Transformation zwischen verschiedenen Bezugssystemen nicht verändert. Dabei wird auch besonders deutlich, dass die elektrischen und magnetischen Felder nur zwei Erscheinungsformen desselben Phänomens sind.

In der Mitte des 20. Jahrhunderts gelang im Rahmen der Elektrodynamik die Verbindung der Quantenmechanik mit der speziellen Relativitätstheorie, und es wurde auch das Induktionsgesetz im Rahmen einer Quantenfeldtheorie des Elektromagnetismus formuliert. Diese Quantenfeldtheorie wird als Quantenelektrodynamik (QED) bezeichnet. Sie stellt heute, auch aufgrund des großen technischen Anwendungsgebietes, eine der durch Experimente am genauesten überprüften Theorien der Physik dar.

Induktion bei einer Leiterschleife

Die zeitliche Änderung des durch eine Leiterschleife eingeschlossenen magnetischen Flusses ist an den Enden der Leiterschleife als Spannung messbar.

Obwohl die allgemeine Formulierung des Induktionsgesetzes keine Leiterschleife erfordert, soll zunächst wie in vielen einführenden Lehrbüchern üblich die Induktion an einer aus dünnem, gut leitfähigen Draht bestehenden Leiterschleife betrachtet werden. Hierdurch lassen sich eine große Anzahl technischer Anwendungen wie beispielsweise Motoren und Generatoren für Dreh- und Wechselstrom beschreiben und verstehen, ohne dass dazu eine Behandlung der relativistischen Aspekte der Feldtheorie oder die Anwendung der Lorentztransformation erforderlich wäre. Auch muss bei der Rechnung nicht unterschieden werden, ob die elektrische Spannung an den Klemmen der Anordnung durch eine Änderung der Flussdichte oder durch eine Bewegung erzeugt wird.

Für die zwischen beiden Drahtenden (beispielsweise mit dem Oszilloskop) messbare elektrische Spannung $U$ gilt unter diesen Voraussetzungen allgemein:

$U={\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} t}}$,

wobei $\Phi$ der magnetische Fluss

$\Phi =\int \limits _{A}{\vec {B}}{\text{d}}{\vec {A}}$

ist, der durch eine (beliebige) von der Leiterschleife, den Zuleitungen zum Messgerät und den Leitungen im Messgerät begrenzte Fläche hindurchtritt. Interessanterweise kommt es auf die Form der Fläche nicht an, sondern ausschließlich auf deren Berandung.

Das angegebene Vorzeichen gilt für den Fall, dass die Orientierung der Fläche (angedeutet durch den Pfeil mit der Beschriftung $d{\vec {A}}$) und die Richtung des Spannungspfeiles wie im nebenstehenden Bild entsprechend einer "Linke-Hand-Regel" zueinander stehen.

Beispiel: Bewegter Leiterstab im Magnetfeld

Bewegt sich der Leiterstab, so zeigt das Messgerät die Spannung $U=vBL$ an.

Der im nebenstehenden Bild skizzierte Messaufbau besteht aus einer ruhenden elektrisch leitfähigen Schienenanordnung, über die mit der Geschwindigkeit $v$ ein Leiterstab gleitet. Sie befindet sich in einem magnetischen Feld mit der Flussdichte ${\vec {B}}$, das durch einen ruhenden Permanentmagneten oder eine ruhende mit Gleichstrom betriebene Spulenanordnung hervorgerufen wird. Die Spannung zwischen den beiden Schienen wird mit einem Voltmeter gemessen.

Die Spannung $U$ hängt von der Stärke der magnetischen Flussdichte $B$, der Geschwindigkeit $v$ und dem Schienenabstand $L$ ab:

$U=vBL$

Dieses soll im Folgenden mit dem Induktionsgesetz für die Leiterschleife erklärt werden:

• Zunächst wird geprüft, ob die Richtungen, in der das B-Feld als positiv angegeben wird, und der Spannungspfeil im Sinne einer Linke-Handregel angeordnet sind. Der im Bild dargestellte Pfeil (x) deutet an, dass ${\vec {B}}$ in die Bildschirmebene hinein zeigt. Beide Größen sind also tatsächlich im Sinne einer Linke-Handregel miteinander verknüpft, so dass die Vorzeichen aus der Gleichung $U=\mathrm {d} \Phi /\mathrm {d} t$ übernommen werden können.
• Die durch den Leiter und das Messgerät eingeschlossene Fläche ist eben und hat den Flächeninhalt $A=x\cdot L$. Da die magnetischen Flusslinien diese Fläche senkrecht durchstoßen, gilt $\Phi =B\cdot A=B\cdot x\cdot L$.
• Die Spannung wird mithilfe des Induktionsgesetzes für die Leiterschleife berechnet. Der erste Term wird durch die Änderung der Flussdichte hervorgerufen und wird auch "Ruheinduktion" genannt. Da die magnetische Flussdichte sich mit der Zeit nicht ändert, ist der erste Term in diesem Beispiel gleich null. Der zweite Term wird durch die Bewegung des Leiterstabes und der damit einhergehenden Vergrößerung der Fläche verursacht. Dieser Term wird auch "Bewegungsinduktion" genannt. Er beträgt $vBL$ und ist in diesem Fall für die Spannung an den Klemmen maßgeblich. Mithilfe der Produktregel für Ableitungen ergibt sich:

$U={\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} t}}=\underbrace {\frac {\partial B}{\partial t}} _{=0}\cdot A+B\cdot \underbrace {\frac {\partial A}{\partial t}} _{=vL}=vBL$

Beispiel: Leiterschleife im Magnetfeld

Eine Leiterschleife dreht sich im Magnetfeld

Dreht sich eine Leiterschleife mit der Winkelgeschwindigkeit $\omega =2\pi f$ in einem aus dem Laborsystem betrachtet zeitlich konstanten Magnetfeld, so verändert sich der aus Sicht der Leiterschleife die magnetische Flussdichte ständig, und es ergibt sich ein veränderter magnetischer Fluss durch die Leiterschleife.

Die an den Klemmen im sich drehenden System gemessene Spannung kann folgendermaßen berechnet werden:

• Die durch die Leiterschleife berandete ebene Fläche hat den Flächeninhalt $A=l_{1}\cdot l_{2}$. Sie ändert sich während der Drehung nicht.
• Die magnetische Flussdichte ändert im Koordinatensytem des mitbewegten Beobachters ständig ihren Betrag und ihre Richtung. Nimmt man an, dass das Bild die Fläche zum Zeitpunkt $t=0$ zeigt, so beträgt der senkrecht auf die Fläche auftretende Anteil der Flussdichte: $B_{\mathrm {senkr} }(t)=\cos(2\pi ft)\cdot B$
• Der durch die Fläche $A$ hindurchstoßende magnetische Fluss beträgt dementsprechend: $\Phi (t)=B\cdot A\cdot \cos(2\pi ft)$.
• Für die Spannung $U$ folgt somit mithilfe der Kettenregel:

$U={\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} t}}=B\cdot A\cdot (-2\pi f)\cdot \sin(2\pi ft)$

Induktion bei einer elektrischen Spule mit mehreren Windungen

Beschreibung mithilfe der Ableitung des magnetischen Flusses

Fläche einer Spule mit drei Windungen

Das Induktionsgesetz ist auch für elektrische Spulen mit mehreren Windungen anwendbar. Die zur Berechnung des magnetischen Flusses erforderliche Fläche wird im nebenstehenden Video veranschaulicht (vgl. auch ). Das Induktionsgesetz in seiner allgemeinen Form erfordert daher keinen Faktor $N$ für die Windungszahl der Spule, auch wenn der Spulendraht im konkreten Fall einen Zylinder mehrfach umläuft.

In den meisten Veröffentlichungen zur elektromagnetischen Induktion bei elektrischen Spule wird der Einfachheit halber der Faktor $N$ für die Windungszahl eingeführt, und das Induktionsgesetz wird in der Form

$U={\frac {{\text{d}}\Psi }{{\text{d}}t}}\approx N{\frac {{\text{d}}\Phi _{\text{w}}}{{\text{d}}t}}$

angegeben. Hierbei bezeichnet $\Psi$ den Fluss durch eine von dem Spulendraht und den Anschlüssen berandete Fläche, $\Phi _{\text{w}}$ den von einer einzelnen Windung umschlossenen magnetischen Fluss, und $U$ ist die gemessene Spannung.

Zeitlich integrierte Form, Spannungszeitfläche

Die schraffierte Fläche stellt eine beispielhafte Spannungszeitfläche über die Dauer einer Viertelperiode der Sinusschwingung dar.

Durch Integration über die Zeit lässt sich die angegebene Gleichung folgendermaßen umformen:

$\Phi _{\text{w}}(t)=\Phi _{\text{w}}(0)+{\frac {1}{N}}\cdot \int \limits _{0}^{t}U_{\mathrm {i} }(\tau )\,{\text{d}}\tau ;$

Diese Beziehung beschreibt den Flussverlauf als Integralfunktion des Spannungsverlaufs.

Betrachtet man den Vorgang in einem Zeitintervall von 0 bis T bei konstanter Fläche, durch die der magnetische Fluss tritt – das Zeitintervall kann sich beispielsweise über eine Halbperiode einer Wechselspannung erstrecken –, so folgt daraus für den sich dann ergebenden Fluss

$\Phi _{\mathrm {w} }(T)-\Phi _{\mathrm {w} }(0)={\frac {1}{N}}\cdot \int _{0}^{T}U_{\mathrm {i} }(\tau )\,\mathrm {d} \tau .$

Für den Fall $\Phi _{\mathrm {w} }(0)=0$ bedeutet das, dass der magnetische Fluss durch eine Leiterschleife bzw. eine Flussänderung in dieser, wie sie sich durch Anlegen einer Spannung nach der gegebenen Zeit T dort einstellt, immer von dem Spannungszeitintegral in den angegebenen Grenzen 0 bis T verursacht sein und diesem auch entsprechen muss. Die dafür relevante Spannung ist jeweils die induzierte Spannung $U_{\mathrm {i} }$. Diese entspricht der angelegten Spannung abzüglich Ohmscher Spannungsabfälle (I·R), soweit diese nicht zu vernachlässigen sind.

Zu veranschaulichen ist das Spannungszeitintegral auch als Fläche zwischen dem Spannungsgraphen und der Zeitachse über dem Intervall [0; T], weshalb man es bisweilen auch als Spannungszeitfläche bzw. Spannungszeitsumme bezeichnet, in meist älterer Literatur in Anlehnung an den Begriff des Kraftstoßes auch als Spannungsstoß. (Ursächlich hierfür ist der Umstand, dass messtechnisch früher die Integration von induzierten Spannungsimpulsen mittels ballistischer Galvanometer durchgeführt wurde. Vgl. auch Veranschaulichung des magnetischen Kraftflusses!)

Als weiteres Beispiel kann ein vielfach praktiziertes Messprinzip für den magnetischen Fluss dienen: Hier wird der zu messende Fluss von einer Messspule erfasst, und die Spannung an der Spule auf einen Integrator gegeben, der an seinem Ausgang als Ergebnis unmittelbar den Fluss anzeigt.

Erkennen der Flussänderung

Bei der Bewegung der Leiterschleife tritt eine Flussänderung auf.

Bei der Bewegung der Leiterschleife tritt ebenfalls eine Flussänderung auf, die aber oft nicht erkannt wird.

Die magnetische Flussdichte in den Schenkeln des Hufeisenmagneten ist nicht konstant.

Wenn an den Klemmen einer starren Leiterschleife eine Spannung abgreifbar ist, so kann diese dem Induktionsgesetz für Leiterschleifen entsprechend immer auf eine Flussänderung in der Leiterschleife zurückgeführt werden.

Hübel weist unter dem Stichwort "Hufeisenparadoxon" darauf hin, dass diese Flussänderung in manchen Fällen dem ungeübten Auge verborgen bleibt und diskutiert die Probleme anhand verschiedener Anordnungen mit Hufeisenmagneten, wie sie typischerweise im Schulunterricht verwendet werden (vgl. nebenstehende Bilder). Während die Flussänderung in der Leiterschleife in der ersten Anordnung für Anfänger normalerweise leicht erkennbar ist, misslingt dies vielen Lernenden bei dem zweiten Bild. Die Lernenden konzentrieren sich auf den mit Luft erfüllten Bereich der Anordnung und berücksichtigen nicht, dass die Flussdichte im Pol des Permanentmagneten zum Außenbereich hin kontinuierlich abnimmt (siehe drittes Bild).

Interessanterweise werden zwei verschiedene Beobachter, die nach der Ursache der Spannung gefragt werden, je nach ihrem Bezugssystem verschiedene Antworten geben:

• Ein Beobachter, für den der Hufeisenmagnet ruht ("Beobachter sitzt auf dem Magneten"), sieht bei vernachlässigbarem Strom in der Leiterschleife ein zeitlich konstantes Feld der magnetischen Flussdichte ($\mathrm {rot} {\vec {E}}=-{\dot {\vec {B}}}=0$). Man sagt auch, dass der Sicht dieses Beobachters ein elektrisches Potentialfeld herrscht. Die an den Klemmen der Leiterschleife messbare Spannung wird er folgerichtig auf die Wirkung der Lorentzkraft zurückführen.
• Ein Beobachter, für den die Leiterschleife ruht ("Beobachter sitzt auf der Leiterschleife"), sieht hingegen, dass sich die magnetische Flussdichte in der Leiterschleife ändert, denn aus seiner Sicht bewegt sich der Hufeisenmagnet in die Leiterschleife hinein bzw. heraus. Dieser Beobachter erklärt sich die an den Klemmen abgreifbare Spannung somit über ein elektrisches Wirbelfeld, das von der Änderung der magnetischen Flussdichte rührt. Da die Leiterschleife aus seiner Sicht ihre Position nicht ändert ($v=0$), kann er schließlich keine Lorentzkraft erkennen.

Obwohl die Fragestellung nach dem "Bezugssystem" (Inertialsystem), aus dem heraus eine Beobachtung getätigt wird, im Zusammenhang mit dem Spezialfall "Induktionsgesetz für eine Leiterschleife" keine wesentliche Rolle spielt, muss es bei der Anwendung des allgemeinen Gesetzes strikt beachtet werden. Der Grund besteht darin, dass elektromagnetische Größen (insbesondere die elektrische Feldstärke und damit die Spannung) vom Bezugssystem abhängen, in dem sie gemessen werden. Die Umrechnung erfolgt jeweils mithilfe der Lorentztransformation.

Flussregel

Die Flussregel stellt eine mögliche Verallgemeinerung des Induktionsgesetzes für eine Leiterschleife dar. Man betrachtet dabei einen Stromkreis, der durch die Kurve $\partial A$ dargestellt wird und die Randkurve einer Fläche $A$ bildet. Trennt man den Stromkreis an einer Stelle auf, so misst man dort die Spannung:

${\begin{aligned}U=\oint \limits _{\partial A}{{\vec {E}}'}{\text{d}}{\vec {s}}=-\int \limits _{A}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}{\text{d}}{\vec {A}}+\oint _{\partial A}{\vec {v}}\times {\vec {B}}\ {\text{d}}{\vec {s}}=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\int _{A}{\vec {B}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}\end{aligned}}$

Hierbei ist die Größe ${\vec {E}}'$ die Feldstärke, die im Ruhesystem des mit der Geschwindigkeit ${\vec {v}}$ mitbewegten Wegelementes ${\text{d}}{\vec {s}}$ herrscht (d. h. im mitbewegten System). Die Gleichung gilt in der angegebenen Form ausschließlich für nichtrelativistische Geschwindigkeiten $v\ll c$. Da in nahezu allen technischen Anwendungen die Objekte vergleichsweise langsam bewegt werden , ist dies normalerweise keine relevante Nebenbedingung.

Allgemeines Induktionsgesetz in Differential und Integralform

Das Gesetz der elektromagnetischen Induktion, kurz Induktionsgesetz, beschreibt den Zusammenhang zwischen elektrischen und magnetischen Feldern. Es besagt, dass bei einer Änderung des magnetischen Flusses durch eine Fläche am Rand dieser Fläche eine Ringspannung entsteht. In besonders häufig verwendeten Formulierungen wird das Induktionsgesetz beschrieben, indem die Randlinie der Fläche als unterbrochene Leiterschleife dargestellt wird, an deren offenen Enden die Spannung gemessen werden kann.

Die zum Verständnis sinnvolle Beschreibung gliedert sich in zwei mögliche Darstellungsformen:

1. Die Integralform oder auch globale Form des Induktionsgesetzes: Dabei werden die globalen Eigenschaften eines räumlich ausgedehnten Feldgebietes (über den Integrationsweg) beschrieben.
2. Die Differentialform oder auch lokale Form des Induktionsgesetzes: Dabei werden die Eigenschaften einzelner lokaler Feldpunkte in Form von Dichten beschrieben. Die Volumina der globalen Form streben gegen null, und die auftretenden Feldstärken werden differenziert.

Beide Darstellungsformen beschreiben denselben Sachverhalt. Je nach konkretem Anwendungsfall und Problemstellung kann es sinnvoll sein, die eine oder die andere Form zu benutzen. Im Folgenden sind beide Darstellungsformen beschrieben.

Induktionsgesetz in Differentialform

Grundvorstellung zur elektromagnetischen Induktion: Ändert sich die Flächendichte B des magnetischen Flusses durch ein Areal, wird es dadurch von einem elektrischen Wirbelfeld E umgeben, das (wenn möglich) einen der Flussänderung entgegenwirkenden Strom induziert. Die Zeichnungen zeigen einen möglichen Momentanwert der Feldgrößen. Dabei wird ${\dot {\vec {B}}},{\vec {E}}>0$ angenommen.

Das Induktionsgesetz in Differentialform lautet:

${\text{rot}}{\vec {E}}=-{\dot {\vec {B}}}$

Das Vorhandensein von elektrischen Wirbeln bzw. einer zeitveränderlichen magnetischen Flussdichte ist das wesentliche Kennzeichen von Induktion. In elektrischen Feldern ohne Induktion (z. B. in dem Feld unbewegter Ladungen) existieren keine geschlossenen Feldlinien der elektrischen Feldstärke $E$, und das Umlaufintegral der elektrischen Feldstärke ergibt immer null.

Seine Hauptanwendung findet das Induktionsgesetz in Differentialform einerseits bei theoretischen Herleitungen und in der numerischen Feldberechnung, andererseits (jedoch seltener) in der analytischen Berechnung konkreter technischer Fragestellungen.

Wie in Einsteins erstem Werk über die spezielle Relativitätstheorie gezeigt wurde, stehen die Maxwellgleichungen in Differentialform in Übereinstimmung mit der speziellen Relativitätstheorie. Eine an den heutigen Sprachgebrauch angepasste Herleitung hierzu findet sich in dem inzwischen vergriffenen Lehrbuch von Simonyi.

Übergang von der Differential- in die Integralform

Der Zusammenhang zwischen der Integralform und der Differentialform kann mithilfe des Satzes von Stokes mathematisch exakt beschrieben werden. Dabei werden die globalen Wirbel- und Quellenstärken in lokale, diskrete Wirbel- bzw. Quellendichten, welche einzelnen Raumpunkten (Punkten eines Vektorfeldes) zugeordnet sind, übergeführt.

Ausgangspunkt ist das Induktionsgesetz in Differentialform

${\text{rot}}{\vec {E}}=-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$

Zur Überführung in die integrale Form wird der Satz von Stokes verwendet, der aus naheliegenden Gründen mit der Variablen ${\vec {E}}$ formuliert wird:

$\oint \limits _{\partial A}{\vec {E}}\,{\text{d}}{\vec {s}}=\int \limits _{A}{\text{rot}}{\vec {E}}\,{\text{d}}{\vec {A}}$

Ersetzt man im rechten Term des Stokes'schen Gesetzes das Vektorfeld ${\vec {E}}$ entsprechend dem Induktionsgesetz in Differentialform durch den Term $-{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}$, so ergibt sich

$\oint \limits _{\partial A}{\vec {E}}\,{\text{d}}{\vec {s}}=-\int \limits _{A}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\,{\text{d}}{\vec {A}}$

Dieses ist eine mögliche allgemeine Form des Induktionsgesetzes in Integralform, die entgegen vieler anderslautender Behauptungen sowohl für ruhende als auch für bewegte Leiter gültig ist.

Um eine Formulierung zu erhalten, die den magnetischen Fluss $\Phi =\int \limits _{A}{\vec {B}}{\text{d}}{\vec {A}}$ enthält, addiert man auf beiden Seiten der Gleichung den Term $\oint \limits _{\partial A}({\vec {u}}\times {\vec {B}}){\text{d}}{\vec {s}}$. Dabei ergibt sich:

$\oint \limits _{\partial A}\left({\vec {E}}+{\vec {u}}\times {\vec {B}}\right)\,{\text{d}}{\vec {s}}=-\int \limits _{A}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\,{\text{d}}{\vec {A}}+\oint \limits _{\partial A}({\vec {u}}\times {\vec {B}}){\text{d}}{\vec {s}}$

Der rechte Teil der Gleichung entspricht wegen ${\text{div}}{\vec {B}}=0$ der negativen zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses, so dass das Induktionsgesetz in Integralform in voller Allgemeingültigkeit auch folgendermaßen notiert werden kann:

$\oint \limits _{\partial A}\left({\vec {E}}+{\vec {u}}\times {\vec {B}}\right)\,{\text{d}}{\vec {s}}=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\int \limits _{A}{\vec {B}}{\text{d}}{\vec {A}}$

In vielen Lehrbüchern werden diese Zusammenhänge leider nicht richtig notiert, was daran erkennbar ist, dass der auf der linken Gleichungsseite notierte Term ${\vec {u}}\times {\vec {B}}$ fehlt; so beispielsweise bei . Richtig notiert wird das Induktionsgesetz hingegen beispielsweise in

Der Irrtum besteht wahrscheinlich darin, dass der fehlende Term irrtümlich der elektrischen Feldstärke zugeschlagen wird. (Manche Autoren sprechen in diesem Zusammenhang auch von einer "effektiven" elektrischen Feldstärke.) In seiner Konsequenz führt das Weglassen des Terms ${\vec {u}}\times {\vec {B}}$ dazu, dass die Größe "E" inkonsistent verwendet wird und je nach dem Zusammenhang eine unterschiedliche Bedeutung hat

Induktionsgesetz in Integralform

Die Spannung zwischen den beiden Punkten A und B entlang des eingezeichneten Weges ist die Summe der Produkte $-{\vec {E}}\cdot {\text{d}}{\vec {r}}$ aus der elektrischen Feldstärke ${\vec {E}}$ und dem Wegstückchen ${\text{d}}{\vec {r}}.$

Im folgenden Abschnitt wird die erste Integralform des Induktionsgesetzes betrachtet:

$\oint \limits _{\partial A}{\vec {E}}{\text{d}}{\vec {s}}=-\int _{A}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\,{\text{d}}{\vec {A}}$

Entsprechend der mathematischen Formulierung des Integrals wird die Fläche $A$ zu einem konstanten Zeitpunkt betrachtet und deren zeitliche Änderung nicht berücksichtigt.

Im Hinblick auf den Begriff der induzierten Spannung - das Integral über die elektrische Feldstärke - wird zunächst die im nebenstehenden Bild eingezeichnete Verbindungslinie zwischen den Punkten A und B in einem elektrischen Feld betrachtet.

Die Spannung zwischen den Punkten A und B („äußerer Pole“ einer „Steckdose“) kann man näherungsweise berechnen, indem man den Weg in viele kleine Wegelemente ${\text{d}}{\vec {r}}$ unterteilt. Da man aufgrund der nur geringen Länge näherungsweise von einer konstanten elektrischen Feldstärke entlang eines solchen Wegstückes ausgehen kann, ergibt sich für die Teilspannung entlang eines Wegelementes im Innern der Wert

$\mathrm {d} U\approx +{\vec {E}}(x,y,z)\cdot {\text{d}}{\vec {r}}={+{E}_{\text{tan}}}\,{\text{d}}r.$

Als Gesamtspannung zwischen beiden Punkten ergibt sich somit

$\Delta U\approx +{\vec {E}}({{x}_{1}},{{y}_{1}},{{z}_{1}})\cdot {\text{d}}{{\vec {r}}_{1}}+{\vec {E}}({{x}_{2}},{{y}_{2}},{{z}_{2}})\cdot {\text{d}}{{\vec {r}}_{2}}+\ldots +{\vec {E}}({{x}_{n}},{{y}_{n}},{{z}_{n}})\cdot {\text{d}}{{\vec {r}}_{n}}.$

Die exakte Darstellung wird mithilfe eines Integrals definiert. Dieses kann man sich als Grenzwert für unendlich viele Wegstücke mit unendlich kleiner Länge $\left|{\text{d}}{\vec {r}}\right|\to 0$ vorstellen. Zur Berechnung definiert man i. A. eine von einem Parameter $\xi$ abhängige Funktion ${\vec {r}}(\xi ),$ die im Bereich $\xi =0...1$ die Punkte entlang der Wegstrecke beschreibt (im Innern also in Pfeilrichtung). Die Spannung zwischen beiden Punkten kann dann über ein Kurvenintegral formal erfasst werden:

$\Delta U=\int _{\xi =0}^{1}{{\vec {E}}(}{\vec {r}})\cdot {\frac {\partial {\vec {r}}(\xi )}{\partial \xi }}{\text{d}}\xi =:\int _{A}^{B}{\vec {E}}\cdot {\text{d}}{\vec {r}}\,,$ berechnet in Pfeilrichtung

Lässt man nun den Punkt entlang der Kontur $C=\partial A$ eines Gesamtumlaufes weiterwandern, bis er die eingeschlossene Fläche genau einmal umrundet hat und wieder mit Ausgangspunkt identisch wird (B=A), ergibt sich als Gesamtwert die in der geschlossenen Leiterschleife induzierte Umlaufspannung $U_{\text{ind}}$:

$U_{\text{ind}}=\oint _{C}E_{\text{tan}}\mathrm {d} r=\oint _{C}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {r}}$

Hinsichtlich des Vorzeichens ist zu berücksichtigen, dass die Kontur die Fläche dabei im Sinne der Rechte-Hand-Regel umrundet.

Der dritte Ausdruck obiger Gleichungen ist dabei die dem zweiten Ausdruck gleichwertige vektorielle Darstellung des tangentialen Feldstärkeanteils mithilfe des Skalarproduktes, und die beiden Integrale sind sogenannte Ringintegrale, die immer dann verwendet werden, wenn (wie hier) längs eines geschlossenen Weges integriert wird, in diesem Fall entlang der Kontur der Leiterschleife C.

Die induzierte Spannung lässt sich bei einer nichtbewegten Leiterschleife näherungsweise als Spannungsabfall mit einem Spannungsmessgerät messen, wenn man entlang der geschlossenen Linie eine Leiterschleife anbringt und diese an einer Stelle auftrennt. Da über dem Leiterdraht nahezu keine elektrische Spannung abfällt, liegt die ganze induzierte Spannung zwischen den Klemmen.

Herleitung des Induktionsgesetzes für eine Leiterschleife

Um das Induktionsgesetz für die Leiterschleife

$U={\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} t}}$

herzuleiten, soll das Induktionsgesetz in Integralform II verwendet werden. Für eine wie im Induktionsgesetz für die Leiterschleife (ausnahmsweise) linkshändige Verknüpfung von Flächennormale und Umlaufrichtung entfällt das negative Vorzeichen, und das Induktionsgesetz lautet:

$\oint \limits _{\partial A}\left({\vec {E}}+{\vec {u}}\times {\vec {B}}\right)\,{\text{d}}{\vec {s}}={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\int \limits _{A}{\vec {B}}{\text{d}}{\vec {A}}.$

Die Konturlinie $\partial A$ soll dabei den Weg der Leiterschleife nachzeichnen und durch den kurzen Weg im Messgerät zu einem kompletten Umlauf vervollständigt werden. Aus diesem Grund sind die Geschwindigkeit ${\vec {u}}$ der Konturlinie und die Geschwindigkeit ${\vec {v}}$ der Leiterschleife immer identisch.

Zunächst soll gezeigt werden, dass das Integral über ${\vec {E}}+{\vec {u}}\times {\vec {B}}={\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}$ innerhalb des Drahtes zu null wird. Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann angenommen werden, dass sich das Leiterelement in die positive $x$-Richtung bewegt. Um diese differentielle Spannung in das Bezugssystem des als ruhend angenommenen Voltmeters zu transformieren, wird die Lorentztransformation angewendet. Für eine Bewegung des gestrichenen Bezugssystems mit der Geschwindigkeit $v$ in die positive x-Richtung lautet diese:

$E'_{x}=E_{x}~~~~~E'_{y}=\gamma (E_{y}-vB_{z})~~~~~E'_{z}=\gamma (E_{z}+vB_{y}).$

Da der metallische Draht vereinbarungsgemäß sehr gut leitfähig ist, gilt dem ohmschen Gesetz entsprechend für die Feldstärke im bewegten System $E'_{x}=E'_{y}=E'_{z}=0$. Mithilfe der Lorentztransformation folgt daraus

$E_{x}=0~~~~~E_{y}=vB_{z}~~~~~E_{z}=-vB_{y}$

Der Term ${\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}$ ergibt sich somit für einen Punkt innerhalb des Leiterdrahtes zu:

${\begin{pmatrix}0\\v\cdot B_{z}\\-v\cdot B_{y}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}v\\0\\0\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}B_{x}\\B_{y}\\B_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\v\cdot B_{z}\\-v\cdot B_{y}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\-v\cdot B_{z}\\v\cdot B_{y}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$

Das Ringintegral $\oint ({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}})={\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} t}}$ wird aus diesem Grund vollständig in Form der Spannung $U={\frac {\mathrm {d} \Phi }{\mathrm {d} t}}$ an den Klemmen der Anordnung sichtbar.

Ohmsches Gesetz für bewegte Leiter

Im Unterschied zu einem ruhenden Leiter, bei dem ausschließlich die Coloumbkraft stromtreibend wirkt, wirkt auf die Ladungen in einem bewegten Leiter die komplette Lorentzkraft

${\vec {F}}_{L}=q({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}}).$

Für nichtrelativistische Geschwindigkeiten $v\ll c$ ist die im ruhenden Bezugssystem gemessene Lorentzkraft gleich groß wie die Kraft, die die Ladung im mitbewegten System erfährt.

Für bewegte Materialien, für die das Ohmsche Gesetz gilt, kann die spezifische Leitfähigkeit $\kappa$ durch die Gleichung

${\vec {J}}=\kappa ({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}})$

mit der elektrischen Feldstärke ${\vec {E}}$, der Geschwindigkeit ${\vec {v}}$ des jeweiligen Leiterelements und der magnetischen Flussdichte ${\vec {B}}$ definiert werden. Das Ohmsche Gesetz lautet dann wie im Falle unbewegter Materialien

${\begin{aligned}\kappa ={\text{konstant}}\end{aligned}}$.

Anwendungen des allgemeinen Induktionsgesetzes

Bei Anwendungen des Induktionsgesetzes muss strikt darauf geachtet werden, in welchem Bezugssystem die zugehörigen Vorgänge beschrieben werden. Denn die elektromagnetischen Feldgrößen ändern sich bei einer Änderung des Bezugssystemes. Dies soll an einem Beispiel erläutert werden:

• Ein Beobachter betrachtet eine Ladung $q$, die sich relativ zu ihm nicht bewegt. Er stellt fest, dass ein elektrisches Feld ${\vec {E}}$ existiert, die magnetische Flussdichte aber an allen Orten gleich null ist: ${\vec {B}}=0$
• Bewegt sich der Beobachter von der Ladung weg, so erkennt er in der relativ zu ihm bewegten Ladung einen elektrischen Strom, der ein magnetisches Feld mit sich führt. Er wird also ein elektrisches Feld und ein magnetisches Feld beobachten.

Die gegenseitige Umwandlung der Felder ineinander wird durch die sogenannte Lorentztransformation beschrieben, die aus der speziellen Relativitätstheorie hervorgeht.

Bewegen sich die Ladungen relativ zum Beobachter nur mit kleinen Geschwindigkeiten $v\ll c$, so wird der Beobachter in jedem solchen Bezugssystem die gleiche Größe der Lorentzkraft

${\vec {F}}_{L}=q({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}})$

messen. Das kann man so interpretieren, dass bei einer Änderung des Bezugssystems elektrische und magnetische Anteile der Kraft ineinander übergehen.

Bei relativistischen Geschwindigkeiten ist zu berücksichtigen, dass der Begriff der (dreikomponentigen) Kraft aus der klassischen (nichtrelativistischen) Mechanik stammt und zwei sehr schnell gegeneinander bewegte Beobachter bei dem gleichen physikalischen Vorgang stets unterschiedliche Kräfte beobachten. Zur korrekten Beschreibung relativistischer Kräfte eignen sich die sogenannten Viererkräfte, die Elemente eines Minkowski-Raumes sind.

Induktion in ruhenden Systemen

Einleitend sollen zwei Beispiele mit ruhenden Komponenten betrachtet werden. Da sich bei einer ruhenden Anordnung die Position der elektrischen Leitungen und Bauelemente mit der Zeit nicht ändert ($v=0$), ist es zweckmäßig, das Induktionsgesetzes für eine ruhende Flächenkontur (${\vec {u}}=0$) zu wählen. In diesem Spezialfall sind das Flächenintegral über die zeitliche Ableitung der Flussdichte und die totale Flussänderung identisch, und es gilt:

$\int _{A}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}\cdot {\text{d}}{\vec {A}}={\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\int _{A}{\vec {B}}\;\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}$

Unterbrochene metallische Leiterschleife

Fast geschlossene Leiterschleife im Magnetfeld ${\rm {{\vec {B}}(t)}}$

Im einfachsten Fall liegt eine metallische Leiterschleife mit Unterbrechung vor. Da das Innere eines Leiters bei vernachlässigbarem Stromfluss bzw. hoher elektrischer Leitfähigkeit feldfrei ist (${\vec {E}}=0)$, tritt die gesamte Umlaufspannung an den Klemmen als Spannung

$u_{11'}=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\int _{A}{\vec {B}}\;\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}=-{\frac {{\text{d}}\Phi }{{\text{d}}t}}$

auf.

Bei Zunahme des B-Felds während des Zeitschrittes ${\text{d}}t$ liegt eine Vergrößerung des magnetischen Flusses

$\Phi =\int _{A}{\vec {B}}\;\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}$

vor, da das B-Feld und die Flächennormale von $A$ in die gleiche Richtung zeigen. Dem Minuszeichen im Induktionsgesetz entsprechend ist die Spannung $u_{11'}$ negativ. Bei Abnahme des B-Felds während des Zeitschrittes ${\text{d}}t$ liegt eine Verringerung des Flusses vor. Dem Minuszeichen im Induktionsgesetz entsprechend ist die Spannung $u_{11'}$ positiv.

Geschlossene ideal-leitende Leiterschleife

Kurzschlussschleife

Eine geschlossene Leiterschleife mit idealer Leitfähigkeit verhindert, dass sich der magnetische Fluss durch die von der Leiterschleife aufgespannte Fläche ändert, denn wegen der idealen Leitfähigkeit des Metalls ist das Umlaufintegral des elektrischen Feldes gleich null und es gilt:

$0=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\int _{A}{\vec {B}}\;\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}$

Das Entstehen der Flussänderung wird durch die in der Leiterschleife induzierten Ströme verhindert, was i. A. eine lokale Änderung der Flussdichte erzeugt, da das magnetische Feld der induzierten Ströme in Leiternähe am größten ist und somit in der Nähe der Leiter die größte Kompensationswirkung stattfindet. Der Gesamtfluss, das heißt die über die gesamte Schleifenfläche integrierte Flussdichte, ändert sich dabei jedoch nicht.

Leiterschleife mit endlichem Widerstand

In der Praxis ist der elektrische Widerstand einer Leiterschleife stets größer als null. Ist R der elektrische Widerstand des Leiters, so gilt

$R\cdot i(t)=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\int _{A}{\vec {B}}\;\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}.$

Wegen des Widerstands des elektrischen Leiters fließt ein elektrischer Strom, der dem magnetischen Feld die Momentanleistung $P(t)=R\cdot i^{2}(t)$ entzieht und die Leiterschleife erwärmt. Nach diesem Prinzip arbeiten u. a. Induktionsherde, wobei die Energie zur ständigen Änderung des Magnetfeldes aus dem Haushaltsnetz stammt.

Die Aussage, dass der Strom $i(t)$ seiner Ursache entgegenwirkt, ist im Sinne des gewählten Beschreibungsmodells problematisch. Tatsächlich fließt bei steigendem magnetischen Fluss wegen des Minuszeichens im Induktionsgesetz ein Strom entgegen der eingezeichneten positiven Stromrichtung. Dieser Strom erzeugt gemäß dem Durchflutungssatz eine magnetische Feldstärke H, die andersherum zeigt als das B-Feld. Es ist jedoch zu beachten, dass das Induktionsgesetz nicht zwischen Selbsterregung und Fremderregung unterscheidet. Insofern ist die Kompensationswirkung des induzierten Stromes schon im magnetischen Fluss $\Phi$, der bei der Berechnung verwendet wird, enthalten.

Induktion in bewegten Systemen

In Messsystemen mit bewegten Komponenten treten auch schon bei kleinen Geschwindigkeiten $v\ll c$ relativistische Effekte auf. Diese grundsätzliche Tatsache wird durch ein einfaches Gedankenexperiment deutlich:

• Ein Beobachter, der eine (relativ zu ihm nicht bewegte) Ladung beobachtet, wird ein elektrisches Feld messen, jedoch aufgrund des fehlenden Stromflusses kein magnetisches Feld.

• Bewegt sich der Beobachter hingegen auf die Ladung zu oder von ihr weg, so wird er einerseits bemerken, dass sich aufgrund der Bewegung das elektrische Feld verändert. Das bedeutet, dass der Beobachter bei gleicher Entfernung von der Ladung, aber anderer Relativgeschwindigkeit zur Ladung ein unterschiedliches E-Feld misst. Andererseits interpretiert der Beobachter die Ladung aber auch als einen Strom, der sich von ihm fort oder auf ihn zubewegt. Der Beobachter wird also zusätzlich zum elektrischen Feld ein magnetisches Feld erkennen.

Damit bei Messungen mit bewegten Komponenten keine Missverständnisse auftreten, ist die Angabe des Bezugssystemes, relativ zu dem die Beobachtungen beschrieben werden, unbedingt erforderlich.

Bewegter Leiterstab im Magnetfeld

Aus Sicht des ruhenden Beobachters ist die elektrische Feldstärke im bewegten Leiterstab von null verschieden.

Betrachtet wird der nebenstehende Leiterstab im Magnetfeld. Da die Leiterschleife geöffnet ist, gilt $I=0$ und daher:

${\vec {J}}=\kappa ({\vec {E}}+{\vec {v}}\times {\vec {B}})=0$

In dem mit der Geschwindigkeit ${\vec {v}}$ bewegten Leiterstab ergibt sich somit aus Sicht eines Beobachters im Ruhesystem die Feldstärke

${\vec {E}}=-{\vec {v}}\times {\vec {B}}\neq 0,$

während im Bereich des ruhenden Leiters mit ${\vec {v}}=0$ eine Feldstärke von

${\vec {E}}=0$

herrscht.

Berechnet man das Ringintegral über die elektrische Feldstärke entlang des gesamten Stromkreises, so ergibt sich

$\oint \limits _{\partial A}{\vec {E}}{\text{d}}{\vec {s}}=-U+vBL$

Das Ringintegral lässt sich jedoch auch über das Induktionsgesetz in der Integralform I

$\oint \limits _{\partial A}{\vec {E}}{\text{d}}{\vec {s}}=-\int \limits _{A}{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}{\text{d}}{\vec {A}}$

formulieren, was sich wegen ${\dot {\vec {B}}}=0$ zu

$\oint \limits _{\partial A}{\vec {E}}{\text{d}}{\vec {s}}=0$

vereinfacht.

Das Ergebnis für die an den Klemmen messbare Spannung lautet dementsprechend

${\begin{aligned}U=vBL\end{aligned}}.$

Da das genannte Beispiel in vielen Darstellungen als ein Beispiel für elektromagnetische Induktion dargestellt wird, soll ausdrücklich bekräftigt werden:

• Die Klemmenspannung kann aus dem Ruhesystem heraus betrachtet nicht auf elektromagnetische Induktion zurückgeführt werden, da wegen ${\text{rot}}{\vec {E}}={\dot {\vec {B}}}=0$ keine Wirbel des elektrischen Feldes vorliegen und somit keine Induktion stattfindet.
• Vom Ruhesystem aus betrachtet liegt also ein elektrisches Potentialfeld vor. Die stromtreibende Kraft wird durch den magnetischen Teil der Lorentzkraft verursacht.

Hering'sches Paradoxon

Ein Permanentmagnet wird in die Leiterschleife hineinbewegt. Obwohl in der betrachteten Fläche eine Flussänderung auftritt, schlägt das Voltmeter nicht aus!

Das nebenstehend dargestellte Experiment zum Hering'schen Paradoxon zeigt, dass bei Induktion nicht immer ein Ausschlag am Spannungsmessgerät vorliegen muss.

Anordnung:

• Ein elektrisch ideal leitfähiger Permanentmagnet wird mit der Geschwindigkeit $v$ in eine Leiterschleife hineinbewegt. Der Permanentmagnet ist über Rollen elektrisch leitend mit der Leiterschleife verbunden.

Problem:

• Der geschlossene Umlaufweg soll entlang der Leiterschleife verlaufen und durch die eingezeichnete rote Linie komplettiert werden. Diese verläuft durch den Magneten, bewegt sich aber nicht mit ihm. Offenbar führt die Bewegung des Permanentmagneten zu einer Flussänderung in der aufgespannten Fläche, denn vor dem Einbringen des Magneten durchdringt keine Flusslinie die Fläche, danach aber schon. Trotzdem zeigt das Voltmeter zu keiner Zeit eine Spannung an. Dieser scheinbare Widerspruch beschreibt das Hering'sche Paradoxon.

Lösung: Außerhalb einer formalen Betrachtung ist die Klemmenspannung $U=0$ unmittelbar einleuchtend. Denn letztlich besteht die Anordnung aus einer von einem Voltmeter unterbrochenen ruhenden Leiterschleife im feldfreien Raum. Die Tatsache, dass die zwei Enden der Leiterschleife mit einem bewegten Permanentmagneten in Kontakt kommen, ändert daran nichts, da die Ladung den Permanentmagneten diesen erfahrungsgemäß nicht ohne Einwirkung einer äußeren Kraft verlässt.

Die folgende Darstellung dient also letztlich vorwiegend dazu zu zeigen, dass das Problem auch formal aufgeht:

• Wir beobachten die Vorgänge aus Sicht eines Beobachters beim Voltmeter. Das Wegintegral führt entlang der Leiterschleife und wird durch die rote Linie komplettiert. Für die elektrische Feldstärke gilt folgendes:

1. In der unbewegten Drahtschleife wirkt aufgrund der hohen Leitfähigkeit eine Feldstärke von $E=0$.
2. Im Bereich der sich bewegenden Rollen gilt aus Sicht eines mit den Rollen mitbewegten Beobachters ${\vec {E}}'=0$. Da die magnetische Flussdichte in den Rollen vereinbarungsgemäß vernachlässigt werden soll ($B=0$), beobachtet der ruhende Beobachter für den Bereich der Rollen gemäß der Lorentztransformation ebenfalls ${\vec {E}}=0$.
3. Ein mit dem Magneten mitbewegter Beobachter misst für die Feldstärke im Magneten ${\vec {E}}'=0$. Entsprechend der Lorentztransformation für die elektrische Feldstärke ergibt sich daraus im Ruhesystem des Beobachters eine Feldstärke von $E=-{\vec {v}}\times {\vec {B}}$.

Wir setzen das Induktionsgesetz in der zweiten Integralform an:

$\oint \limits _{\partial A}{({\vec {E}}+{\vec {u}}\times {\vec {B}}(t)){\text{d}}{\vec {s}}}=-{\frac {{\text{d}}\Phi }{{\text{d}}t}}$

Da sich der Integrationsweg zeitlich nicht ändert (${\vec {u}}=0$), kann es auch als

$\oint \limits _{\partial A}{{\vec {E}}{\text{d}}{\vec {s}}}=-{\frac {{\text{d}}\Phi }{{\text{d}}t}}$

geschrieben werden.

Die induzierte Spannung $\oint {\vec {E}}{\text{d}}{\vec {s}}$ setzt sich aus der Klemmenspannung am Voltmeter und der über die Länge $L$ im Magneten integrierten elektrischen Feldstärke zusammen. Entsprechend der Gleichung ${\vec {E}}=-{\vec {v}}\times {\vec {B}}$ für die Lorentztransformation zeigt die elektrische Feldstärke im Magneten "nach oben". Wird das Ringintegral über die elektrische Feldstärke wie üblich rechtshändig zur Flächennormalen durchgeführt (d. h. hier: im Uhrzeigersinn), so ergibt sich

$\oint \limits _{\partial A}{{\vec {E}}{\text{d}}{\vec {s}}}=(-U)-LvB.$

In der Zeit ${\text{d}}t$ vergrößert sich die vom Integrationsweg eingeschlossene Fläche des Magneten um ${\text{d}}A_{\Phi }=Lv{\text{d}}t$ und der magnetische Fluss somit um ${\text{d}}\Phi =LvB{\text{d}}t$. Der rechte Teil der Gleichung ergibt somit

${\frac {{\text{d}}\Phi }{{\text{d}}t}}=LvB.$

Setzt man diese Größen in das Induktionsgesetz ein, so ergibt sich $-U-LvB=-LvB$, d. h.

$U=0{\frac {}{}}.$

Die induzierte Spannung tritt in diesem Beispiel nicht an den Klemmen der Anordnung, sondern im Permanentmagneten in Erscheinung. Das bereitet vielen Lernenden Verständnisprobleme, da sie in einem Analogieschluss zum "Induktionsgesetz für eine Leiterschleife" implizit davon ausgehen, dass die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses immer an den Klemmen abgreifbar ist. Der wesentliche Unterschied zum "Induktionsgesetz für eine Leiterschleife" besteht darin, dass sich im vorliegenden Fall die Geschwindigkeit ${\vec {u}}$ der Konturlinie und die Geschwindigkeit ${\vec {v}}$ des Leiters (hier: des Magneten) voneinander unterscheiden. Das Hering'sche Paradoxon zeigt keine Ausnahme vom Induktionsgesetz, sondern es ist - wie gezeigt - problemlos mit dem Induktionsgesetz vereinbar.

Technische Anwendungen

Historischer Induktionsapparat aus dem Physikunterricht

• Induktionsschleife für Kfz zur Steuerung von Verkehrsampelanlagen und Schranken
• dynamisches Mikrofon
• dynamisches (Magnet-) Tonabnehmersystem für Plattenspieler
• Tonabnehmer für elektrische Saiteninstrumente (z. B. E-Gitarre und E-Bass)
• Tonkopf zur Abtastung von Magnetbändern
• Generator = Dynamo = Lichtmaschine
• RFID-Tag (beispielsweise Ski-Pass)
• Transkranielle Magnetstimulation
• Induktionsgeber (auch induktiver Impulsgeber) als Drehzahlsensor (z. B. im Kfz–Bereich)
• Induktionshärten
• Induktionslampe
• Induktionssender
• Transformator
• Ringschleifenanlage für die Übertragung von Audiosignalen in Hörgeräte
• Aufwärtswandler

Eine elektromagnetische Kraft (EMK), d. h. eine an den Klemmen messbare Spannung, ist immer dann vorhanden, wenn sich der magnetische Fluss durch die Spule ändert: Da der Fluss das Produkt aus Flussdichte und Fläche ist, kann sich dazu entweder die Flussdichte B oder die Fläche A ändern; oder beides geschieht. Eine Änderung der Fläche wird erreicht, indem man z. B. die Spule in einem konstanten Magnetfeld oder einen Magneten in einer Spule dreht. Die vom Magnetfeld durchsetzte Fläche ist null, wenn die Spule quer zum Magnetfeld steht, sie ist maximal, wenn das Feld die Spule axial durchsetzt. Nach diesem Prinzip wird in einem Generator (Dynamomaschine) Strom erzeugt, der z. B. an nicht mitrotierenden Kontaktschleifen abgegriffen werden kann.

Eine Änderung der Flussdichte erreicht man u. a. durch ein veränderliches Magnetfeld. Nach diesem Prinzip wird in der Sekundärwicklung eines Transformators bei Speisung der Primärwicklung mit einer Wechselspannung eine Wechselspannung induziert, deren Höhe proportional zum Verhältnis der Windungszahlen ist.

Hierunter fallen auch alle Arten der induktiven Erwärmung durch Wirbelstrom: der Induktionsofen, Induktionshärten, das Induktionsfeld, usw.

Induktive Erwärmung von Werkstoffen: Induktionsöfen werden vorwiegend in der Industrie zum Härten, Löten, Schmelzen usw. eingesetzt. Diese Technik kommt aber zunehmend auch in der privaten Anwendung vor, beispielsweise in der Küche als Induktionskochfeld.

Selbstinduktion

→ Hauptartikel: Selbstinduktion

Literatur

• Karl Küpfmüller, Gerhard Kohn: Theoretische Elektrotechnik und Elektronik. 14. Auflage. Springer, 1993, ISBN 3-540-56500-0. 
• Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie, Elektromagnetische Felder, Maxwell'sche Gleichungen. 6. Auflage. Springer, 2002, ISBN 3-540-42018-5. 
• Heinrich Frohne, Karl-Heinz Löcherer, Hans Müller, Thomas Marienhausen, Dieter Schwarzenau: Moeller Grundlagen der Elektrotechnik (Studium). 22. Auflage. Vieweg + Teubner Verlag, Springer Fachmedien, Berlin und Offenbach 2011, ISBN 978-3-8348-0898-1, S. 252 ff. 

Einzelnachweise und Fußnoten

Weblinks

• Induktion bei LeiFi-Physik
• Erklärung der Induktion für Kinder