Erdkrümmung

Italien aus dem Weltraum und die Erdkrümmung aus einer Höhe von 400 km (ISS) gesehen

Unter Erdkrümmung versteht man die Tatsache, dass die Form der Erde etwa einer Kugel entspricht und daher schon über kurze Distanzen von einer Tangentialebene abweicht. Wegen der Erdkrümmung müssen Höhenmessungen entsprechend korrigiert werden.

Dass die Erde annähernd kugelförmig ist, war ionischen Wissenschaftlern schon um 600 v. Chr. bekannt.

Berechnung

Mit einem mittleren Erdradius von 6371 km gerechnet (genauer siehe ) weicht die ideale Erdoberfläche folgendermaßen von einer Tangentialebene nach unten (radial, Richtung Erdmittelpunkt) ab:

0,8 mm auf 100 m

20 mm auf 500 m

78 mm auf 1000 m

1,96 m auf 5000 m

7,85 m auf 10.000 m

Als einfache Annäherung, genau für kleine Distanzen L kann die Formel $y={\tfrac {L^{2}}{2R}}$ verwendet werden, wobei $L$ die Entfernung, $R$ der Erdradius von 6.371.000 Metern und $y$ die Abweichung in Metern ist.

Zur Veranschaulichung ein Beispiel: Zwei Personen stehen 10.000 m (= $2L$) voneinander entfernt. Damit sie Sichtkontakt haben, müssen sich entweder beide auf einer Augenhöhe von 1,96 m befinden (jeweils $L$ = 5000 m bis zur Ebene in der Mitte auf 0 m Höhe) oder eine Person in der Ebene auf einer Augenhöhe von null Meter und die 10.000 m entfernte Person auf einer Augenhöhe von 7,85 m.

Grafik zur Veranschaulichung der Erdkrümmung; die beiden schwarz markierten Punkte liegen 1000 km auseinander und befinden sich beide in einer Höhe von 19,6 km

Mit einer etwas genaueren Näherungsformel $y={\sqrt {L^{2}+R^{2}}}-R$ mit $R$ = Erdradius, $L$ = Entfernung und $y$ = Erniedrigung, das ist die Höhe, die bei „Geradeaussicht“ (siehe auch Geodätische Sichtweite) unter der Tangentialebene verschwindet, ergeben sich folgende Werte von $y$ bei vorgegebenem $L$ (berechnet mit $R=6378\,{\rm {km}}$):

1,96 m bei 5 km

7,85 m bei 10 km

196 m bei 50 km

784 m bei 100 km

1.764 m bei 150 km

3.135 m bei 200 km

4.898 m bei 250 km

Die Korrektur von Höhenmessungen wegen der Erdkrümmung ist also schon auf kurze Strecken unerlässlich und wächst quadratisch mit der Distanz. Bei Vermessungen der Lage wirkt sich die Erdkrümmung erst in größerer Entfernung aus und führte zur Unterscheidung zwischen „niederer“ und „höherer Geodäsie“.

Historische Darstellung der theoretischen Sichtweite von den Gipfeln des Mont Blanc und des Monte Venda

Bei einem praktischen Beispiel, der Höhenwinkelbestimmung von Bergen im Gebirge, ergeben sich rechnerisch durch die Erdkrümmung z. B. für den Mont Blanc mit 4810 m Höhe in Abhängigkeit von der Entfernung folgende Höhenwinkel (unter der Annahme eines Blickpunktes auf Seehöhe, in Klammern die Werte ohne Erdkrümmung):

bei 50 km 5,27° (5,49°)

bei 100 km 2,30° (2,75°)

bei 150 km 1,16° (1,83°)

bei 200 km 0,48° (1,38°)

bei 250 km −0,02° (0,02°)

Der 250-km-Wert besagt, dass bei dieser Entfernung die Spitze des Mont Blanc unter der „Horizontlinie“ liegt. Für Beobachtungspunkte oberhalb der Seehöhe vergrößert sich der rechnerische Höhenwinkel, weil die sich die „Horizontlinie“ vom Beobachter entfernt und nur der Erdkrümmungsanteil jenseits davon wirksam wird. In der Praxis spielt auch noch die terrestrische Refraktion eine Rolle. Durch sie werden die Lichtstrahlen in Richtung Erdkrümmung gebrochen, so dass die Höhenwinkel leicht vergrößert werden. Man kann sie so deuten, dass die durch die Erdkrümmung verursachten Erniedrigungen um fünf bis 15 % verringert werden, abhängig von meteorologischen Bedingungen. Wenn z. B. der Einfluss der Refraktion 15 % wäre, dann würde sich im letzten Fall ein Höhenwinkel von 0,04° ergeben.

Fotografische Dokumentation

Die Erdkrümmung kann beispielsweise mit Tele-Aufnahmen weit entfernter Schiffe auf Wasserflächen oder von Bergen bei großer Sichtweite dokumentiert werden. Weit entfernte Objekte erscheinen nicht nur aufgrund perspektivischer Verkürzung kleiner, sondern liegen aufgrund der Erdkrümmung darüber hinaus tiefer im Bild als dies auf einer geometrischen Ebene der Fall wäre. Dabei werden die unteren Bereiche des Motivs vom Horizont verdeckt. Die Größe des Effekts unterliegt einigen Schwankungen, die vor allem der terrestrischen Refraktion zuzuordnen sind.

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  Sich entfernendes Boot verschwindet hinter dem Horizont

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  Aufgrund der Erdkrümmung ist die Basis der Windräder im Offshore-Windpark Thorntonbank, abhängig von der Entfernung, mehr oder weniger verdeckt.

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  Fernsicht vom Fluchthorn (3399 m) auf Rheinwaldhorn (3402 m) und Güferhorn (3379 m), etwa 100 km entfernt. Dazwischen erscheint im Hintergrund der 202 km entfernte Dom (4545 m) niedriger.

Nicht geeignet sind Aufnahmen mit nicht verzeichnungsfrei abbildenden Weitwinkelobjektiven aus niedrigen Höhen. Die gebogene Horizontlinie zeigt dort nicht die Erdkrümmung, sondern einen Abbildungsfehler des Objektivs. Der Fehler nimmt in Richtung der Bildränder zu und ist bei durch die Bildmitte des Objektivs (optische Achse) verlaufendem Horizont vermeidbar. Auf Weitwinkelaufnahmen aus üblichen Reiseflughöhen von ca. 10.500 Metern lässt sich die Erdkrümmung technisch nachweisen, deutlich sichtbar wird die gekrümmte Horizontlinie jedoch erst ab Höhen von etwa 15.000 m.

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  Abbildungsfehler: Infolge einer tonnenförmigen Verzeichnung durch das Objektiv gekrümmt dargestellte Kimmlinie

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  Aufnahme aus der ISS aus 400 km Höhe, kein signifikanter Abbildungsfehler: Lage des Horizonts nahe Bildmitte und gerade horizontale Vergleichlinien im Vordergrund

Siehe auch

• Horizont
• Fernsicht, Radiohorizont

Literatur

• Heribert Kahmen: Vermessungskunde Band 1. De Gruyter Berlin, New York 1988. ISBN 3-11-011759-2.
• Karl Ledersteger: Astronomische und Physikalische Geodäsie. Band V der Fachbuchreihe Jordan-Eggert-Kneissl, Handbuch der Vermessungskunde; 871 S. (S. 79–155, 455 ff., 705 ff.), Verlag J. B. Metzler, Stuttgart 1969.
• Günter Petrahn (2000): Grundlagen der Vermessungstechnik, Taschenbuch Vermessung. Cornelsen-Verlag Scriptor.

Weblinks

Commons: Erdkrümmung – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien