Erdkrümmung

Italien aus dem Weltraum und die Erdkrümmung aus einer Höhe von 400 km (ISS) gesehen

Unter Erdkrümmung versteht man die Tatsache, dass die Form der Erde ungefähr einer Kugel entspricht und schon über kurze Distanzen von einer Tangentialebene abweicht. Wegen der Erdkrümmung müssen Höhenmessungen entsprechend korrigiert werden.

Dass die Erde annähernd kugelförmig ist, war ionischen Wissenschaftlern um 600 v. Chr. bereits bekannt. Dass die Erdfigur von der Kugelform derart abweicht, dass sie durch ein passendes Ellipsoid besser anzunähern ist, liegt an der Rotation der Erde, die zur Erdabplattung führt. Der für den Umfang des Äquators angenäherte Durchmesser ist um etwa 0,3 % größer als der Abstand zwischen den Polen. Beim derzeitigen Referenzellipsoid (WGS 84) macht der Unterschied knapp 43 km aus. Hingegen beträgt die bezüglich des mittleren Meeresspiegels angegebene Differenz zwischen dem höchsten Punkt der Erdoberfläche, am Gipfel des Mount Everest, und dem tiefstgelegenen Punkt der bekannten Oberfläche der (ozeanischen) Erdkruste im Marianengraben knapp 20 km.

Berechnung

Nimmt man für die Erde die Figur einer Kugel an und rechnet mit einem mittleren Erdradius von 6371 km – tatsächlich hat die Erdfigur eine Abplattung von knapp 0,3 Prozent: die Halbachsen des mittleren Erdellipsoids sind ca. 6378 km bzw. ca. 6357 km lang; der minimale Krümmungsradius beträgt etwa 6334 km, der maximale etwa 6400 km –, so weicht die ideale Erdoberfläche von einer Tangentialebene folgendermaßen radial, in Richtung Erdmittelpunkt, nach unten ab:

0,8 mm auf 100 m

20 mm auf 500 m

78 mm auf 1 km

1,96 m auf 5 km

7,85 m auf 10 km

Als einfache Näherungsformel für kleine Distanzen $L$ kann die Formel $y={\tfrac {L^{2}}{2R}}$ dienen, wobei $L$ die Entfernung, $R$ der Erdradius von 6.371.000 Metern und $y$ die Abweichung in Metern ist.

Zur Veranschaulichung ein Beispiel: Zwei Personen stehen 10.000 m (= $2L$) voneinander entfernt. Damit sie Sichtkontakt haben, müssen sich entweder beide auf einer Augenhöhe von 1,96 m befinden (jeweils $L$ = 5000 m bis zur Ebene in der Mitte auf 0 m Höhe) oder eine Person in der Ebene auf einer Augenhöhe von null Meter und die 10.000 m entfernte Person auf einer Augenhöhe von 7,85 m.

Grafik zur Veranschaulichung der Erdkrümmung; die beiden schwarz markierten Punkte liegen 1000 km auseinander und befinden sich beide in einer Höhe von 19,6 km

Mit einer etwas genaueren Näherungsformel $y={\sqrt {L^{2}+R^{2}}}-R$ mit $R$ = Erdradius, $L$ = Entfernung und $y$ = Erniedrigung, das ist die Höhe, die bei „Geradeaussicht“ (siehe auch Geodätische Sichtweite) unter der Tangentialebene verschwindet, ergeben sich folgende Werte von $y$ bei vorgegebenem $L$ (berechnet mit $R=6378\,{\rm {km}}$):

0000,31 m bei 02 km

0001,96 m bei 05 km

0007,85 m bei 10 km

0031 m bei 020 km

0196 m bei 050 km

0784 m bei 100 km

1764 m bei 150 km

3135 m bei 200 km

4898 m bei 250 km

Die Korrektur von Höhenmessungen wegen der Erdkrümmung ist also schon auf kurze Strecken unerlässlich und wächst quadratisch mit der Distanz. Bei Vermessungen der Lage wirkt sich die Erdkrümmung erst in größerer Entfernung aus und führte zur Unterscheidung zwischen „niederer“ und „höherer Geodäsie“.

Historische Darstellung der theoretischen Sichtweite von den Gipfeln des Mont Blanc und des Monte Venda

Bei einem praktischen Beispiel, der Höhenwinkelbestimmung von Bergen im Gebirge, ergeben sich rechnerisch durch die Erdkrümmung z. B. für den Mont Blanc mit 4810 m Höhe in Abhängigkeit von der Entfernung folgende Höhenwinkel (unter der Annahme eines Blickpunktes auf Seehöhe, in Klammern die Werte ohne Erdkrümmung):

bei 050 km +5,27° (5,49°)

bei 100 km +2,30° (2,75°)

bei 150 km +1,16° (1,83°)

bei 200 km +0,48° (1,38°)

bei 250 km −0,02°

Der 250-km-Wert besagt, dass bei dieser Entfernung die Spitze des Mont Blanc unter der „Horizontlinie“ liegt. Für Beobachtungspunkte oberhalb der Seehöhe vergrößert sich der rechnerische Höhenwinkel, weil die sich die „Horizontlinie“ vom Beobachter entfernt und nur der Erdkrümmungsanteil jenseits davon wirksam wird. In der Praxis spielt auch noch die terrestrische Refraktion eine Rolle. Durch sie werden die Lichtstrahlen in Richtung Erdkrümmung gebrochen, so dass die Höhenwinkel leicht vergrößert werden. Man kann sie so deuten, dass die durch die Erdkrümmung verursachten Erniedrigungen um 5 bis 15 % verringert werden, abhängig von meteorologischen Bedingungen. Wenn z. B. der Einfluss der Refraktion 15 % wäre, dann würde sich im letzten Fall ein Höhenwinkel von 0,04° ergeben.

Fotografische Dokumentation

Die Erdkrümmung kann beispielsweise mit Tele-Aufnahmen weit entfernter Schiffe auf Wasserflächen oder von Bergen bei großer Sichtweite dokumentiert werden. Weit entfernte Objekte erscheinen nicht nur aufgrund perspektivischer Verkürzung kleiner, sondern liegen aufgrund der Erdkrümmung darüber hinaus tiefer im Bild als dies auf einer geometrischen Ebene der Fall wäre. Dabei werden die unteren Bereiche des Motivs vom Horizont verdeckt. Die Größe des Effekts unterliegt einigen Schwankungen, die vor allem der terrestrischen Refraktion zuzuordnen sind.

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  Sich entfernendes Boot verschwindet hinter dem Horizont.

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  Aufgrund der Erdkrümmung sind, abhängig von der Entfernung, die unteren Teile der Türme, teils auch die Rotorblätter der Windkraftanlagen im Offshore-Windpark Thorntonbank mehr oder weniger verdeckt.

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  Fernsicht vom Fluchthorn (3399 m) auf Rheinwaldhorn (3402 m) und Güferhorn (3379 m), etwa 100 km entfernt. Dazwischen erscheint im Hintergrund der 202 km entfernte Dom (4545 m) niedriger.

Nicht geeignet sind Aufnahmen mit nicht verzeichnungsfrei abbildenden Weitwinkelobjektiven aus niedrigen Höhen. Die gebogene Horizontlinie zeigt dort nicht die Erdkrümmung, sondern einen Abbildungsfehler des Objektivs. Der Fehler nimmt in Richtung der Bildränder zu und ist bei durch die Bildmitte des Objektivs (optische Achse) verlaufendem Horizont vermeidbar. Auf Weitwinkelaufnahmen aus üblichen Reiseflughöhen von etwa 10,5 km lässt sich die Erdkrümmung technisch nachweisen, deutlich sichtbar wird die gekrümmte Horizontlinie jedoch erst ab Höhen von etwa 15 km.

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  Abbildungsfehler: Infolge einer tonnenförmigen Verzeichnung durch das Objektiv gekrümmt dargestellte Kimmlinie

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  Aufnahme aus der ISS aus 400 km Höhe, kein signifikanter Abbildungsfehler: Lage des Horizonts nahe Bildmitte und gerade horizontale Vergleichlinien im Vordergrund

Siehe auch

• Horizont
• Fernsicht, Radiohorizont

Literatur

• Heribert Kahmen: Vermessungskunde. Band 1. De Gruyter, Berlin/ New York 1988, ISBN 3-11-011759-2.
• Karl Ledersteger: Astronomische und Physikalische Geodäsie (Erdmessung) (= Handbuch der Vermessungskunde. Band 5). Metzler, Stuttgart 1969, S. 79–155, 455 ff., 705 ff.
• Günter Petrahn: Grundlagen der Vermessungstechnik (= Taschenbuch Vermessung.). 2. Auflage, Cornelsen, Berlin 2000, ISBN 3-464-43305-6.

Weblinks

Commons: Erdkrümmung – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien