Eulersche Betafunktion

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Die Eulersche Betafunktion, auch Eulersches Integral 1. Art (nach Leonhard Euler) ist eine mathematische Funktion zweier komplexer Zahlen, die mit bezeichnet wird. Ihre Definition lautet:

Betafunktion. Die positiven Realteile von x und y liegen in der Ebene

wobei und einen positiven Realteil haben müssen.

Die Betafunktion war die erste bekannte Streuamplitude in der Stringtheorie. Sie tritt darüber hinaus bei der Betaverteilung auf.

Allgemeines[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei festem (bzw. ) ist eine meromorphe Funktion von (bzw. ), und für die Funktion gilt die Symmetrierelation

.

Es existieren folgende weitere Integraldarstellungen für die Betafunktion mit und

Das Hauptresultat der Theorie der Betafunktion ist die Identität

wobei die Eulersche Gammafunktion bezeichnet. An dieser Darstellung kann man auch ablesen, dass die analytische Fortsetzung der Betafunktion Pole genau entlang und für ganze Zahlen hat.

Theodor Schneider zeigte 1940, dass für alle rationalen, nicht ganzzahligen x, y transzendent ist.[1]

Darstellungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Betafunktion hat viele weitere Darstellungen wie:

Die Betafunktion kann, durch Anpassen der Indizes, zur Definition der Binomialkoeffizienten verwendet werden:

Mit der Darstellung für die Gammafunktion kommt man für ganzzahlige positive und auf:

.

Ableitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Ableitung ist gegeben durch

wobei die Digamma-Funktion ist.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Theodor Schneider: Zur Theorie der Abelschen Funktionen und Integrale (22. Januar 1940), Journal für die reine und angewandte Mathematik 183, 1941, S. 110–128 (beim GDZ: [1])

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]