Eulersche Betafunktion

Betafunktion. Die positiven Realteile von x und y liegen in der Ebene

Die Eulersche Betafunktion, auch Eulersches Integral 1. Art (nach Leonhard Euler), ist eine spezielle Funktion zweier komplexer Zahlen, die mit $\mathrm {B}$ bezeichnet wird. Ihre Integraldarstellung lautet:

$\mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\mathrm {d} t,$

wobei $x$ und $y$ einen positiven Realteil haben müssen. Die Betafunktion tritt unter anderem bei der Betaverteilung auf und ist eng mit der Eulerschen Gammafunktion $\Gamma$ verwandt. Es gilt folgende Identität:

$\mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\cdot \Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.$

Transformationen

Mithilfe von Koordinatentransformationen lässt sich die Integraldarstellung verändern und die Identität nachweisen. So gilt mit den Substitutionen $u={\tfrac {t}{1-t}}$ und $v=\arcsin {\sqrt {t}}$:

$\mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\mathrm {d} t=\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{x-1}\mathrm {d} u}{{(1+u)}^{x+y}}}=2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}(\sin v)^{2x-1}(\cos v)^{2y-1}\mathrm {d} v.$

Zum Nachweis der Identität kann das Produkt $\Gamma (x)\cdot \Gamma (y)$ umgeformt werden:

$\Gamma (x)\cdot \Gamma (y)=\int _{0}^{\infty }e^{-u}u^{x-1}\mathrm {d} u\cdot \int _{0}^{\infty }e^{-v}v^{y-1}\mathrm {d} v=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-u-v}u^{x-1}v^{y-1}\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v.$

Mit $u=zt$ und $v=z(1-t)$ folgt aus dem Transformationssatz:

$\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-u-v}u^{x-1}v^{y-1}\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{1}e^{-z}(zt)^{x-1}(z(1-t))^{y-1}z\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} z.$

Somit gilt:

$\Gamma (x)\cdot \Gamma (y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\mathrm {d} t\cdot \int _{0}^{\infty }e^{-z}z^{x+y-1}\mathrm {d} z=\mathrm {B} (x,y)\cdot \Gamma (x+y).$

Darstellungen

Die Betafunktion hat viele weitere Darstellungen. Bei den Integraldarstellungen muss der Realteil von $x$ und $y$ positiv sein:

$\mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}\mathrm {d} t}{(1+t)^{x+y}}},$

$\mathrm {B} (x,y)=2\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}(\sin t)^{2x-1}(\cos t)^{2y-1}\mathrm {d} t,$

$\mathrm {B} (x,y)=n\int _{0}^{1}t^{nx-1}(1-t^{n})^{y-1}\,dt$ für positiv reelles $n$,

$\mathrm {B} (x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n-y \choose n}{x+n}},$

$\mathrm {B} (x,y)={\frac {x+y}{xy}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1},$

$\mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\frac {\pi }{x\sin(\pi y)}},$

$\mathrm {B} (x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(1-y)_{n}}{n!\,(x+n)}}$, wobei $(1-y)_{n}$ ein Pochhammer-Symbol bezeichnet.

Die Betafunktion kann zur Definition der Binomialkoeffizienten verwendet werden:

${n \choose k}={\frac {1}{(n+1)\mathrm {B} (n-k+1,k+1)}}.$

Mithilfe der Gammafunktion ergibt sich für positive ganzzahlige $x$ und $y$:

$\mathrm {B} (x,y)={\frac {(x-1)!\,(y-1)!}{(x+y-1)!}}.$

Eigenschaften

• Bei festem $x$ (bzw. $y$) ist $\mathrm {B}$ eine meromorphe Funktion von $y$ (bzw. $x$), und es gilt die Symmetrierelation $\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (y,x)$.

• Die analytische Fortsetzung der Betafunktion hat Polstellen genau bei $x=k$ und $y=k$ für ganze Zahlen $k\leq 0$.

• Theodor Schneider zeigte 1940, dass die Zahl $\mathrm {B} (x,y)$ für alle positiven rationalen, nicht ganzzahligen $x$ und $y$ transzendent ist.

• Die Ableitung lässt sich mithilfe der Digamma-Funktion $\psi$ wie folgt darstellen:

${\frac {\partial }{\partial x}}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\cdot \left({\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}-{\frac {\Gamma '(x+y)}{\Gamma (x+y)}}\right)=\mathrm {B} (x,y)\cdot (\psi (x)-\psi (x+y)).$

Funktionswerte

Aus der Eulerschen Formel des Ergänzungssatzes ergibt sich für $0<x<1$ folgende Formel:

$\mathrm {B} (x,1-x)={\frac {\pi }{\sin(\pi x)}}.$

Viele Beta-Funktionswerte für rationale Zahlenpaare sind mit vollständigen elliptischen Integralen erster Art darstellbar:

$\mathrm {B} ({\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{3}})=2{\sqrt[{3}]{2}}{\sqrt[{4}]{3}}\cdot K({\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}))$

$\mathrm {B} ({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {1}{2}})=2{\sqrt {2}}\cdot K({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})$

$\mathrm {B} ({\tfrac {1}{7}},{\tfrac {2}{7}})=4{\sqrt[{4}]{7}}\cos({\tfrac {\pi }{14}})\cdot K({\tfrac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}-{\sqrt {14}}))$

$\mathrm {B} ({\tfrac {3}{8}},{\tfrac {3}{8}})=4{\sqrt[{4}]{8}}({\sqrt {2}}-1)\cdot K({\sqrt {2}}-1)$

$\mathrm {B} ({\tfrac {2}{15}},{\tfrac {8}{15}})={\sqrt[{4}]{3^{3}}}{\sqrt[{12}]{5^{5}}}({\sqrt {5}}-1)\cdot K({\tfrac {1}{16}}({\sqrt {10}}-{\sqrt {6}})(3-{\sqrt {5}})(2-{\sqrt {3}}))$

Die vollständigen elliptischen Integrale von Lambda-Stern-Werten positiver rationaler Zahlen werden im deutschen Sprachraum singuläre elliptische Integralwerte und im englischen Sprachraum elliptic integral singular values genannt.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Beta Function. In: MathWorld (englisch).
• D. Riddhi: Beta function and its applications. (PDF) In: University of Tennessee. 2008; abgerufen am 6. April 2025 (englisch).