Exakte Differentialgleichung

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Eine exakte (oder vollständige) Differentialgleichung ist eine gewöhnliche Differentialgleichung der Form

,

bei der es eine stetig differenzierbare Funktion gibt, so dass gilt

  und   .

Eine solche Funktion heißt dann Potentialfunktion des Vektorfelds .

Existenz einer Potentialfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind und stetig partiell differenzierbar und ist der Definitionsbereich von und ein einfach zusammenhängendes Gebiet im , so gibt es genau dann eine solche Potentialfunktion , wenn die sogenannte Integrabilitätsbedingung

erfüllt ist.

Das zweidimensionale Vektorfeld lässt sich dann als Gradient des Potentials darstellen:

.

Obige Integrabilitätsbedingung bedeutet, dass wenn die Rotation des Vektorfeldes auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet verschwindet, ein Potential existiert. Außerdem ist zweimal stetig differenzierbar (Satz von Schwarz):

.

Erstes Integral[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Falls das Vektorfeld eine Potentialfunktion besitzt, dann ist die Differentialgleichung die totale Ableitung von nach

.

Somit muss es zu jeder Lösung obiger Differentialgleichung eine Konstante geben, so dass die implizite Gleichung

erfüllt ist. Gelegentlich kann man diese implizite Gleichung explizit auflösen. In dieser Hinsicht ist diese implizite Version ein erster Schritt zum expliziten Lösen der Differentialgleichung. Aus diesem Grunde bezeichnet man als erstes Integral der Differentialgleichung.

Integrierende Faktoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für eine gewöhnliche Differentialgleichung der Form , welche die Integrabilitätsbedingung nicht erfüllt, lässt sich gelegentlich eine nullstellenfreie stetig differenzierbare Funktion derart bestimmen, dass

eine exakte Differentialgleichung wird. In diesem Fall wird als integrierenden Faktor oder eulerschen Multiplikator bezeichnet. Da nach Definition niemals Null wird, hat die exakte Differentialgleichung dieselben Lösungen wie vor der Multiplikation mit . Dabei ist genau dann ein integrierender Faktor, wenn die Integrabilitätsbedingung in der Darstellung

erfüllt wird.

Es ist normalerweise schwierig, diese partielle Differentialgleichung allgemein zu lösen. Da man aber nur eine spezielle Lösung benötigt, wird man versuchen, mit speziellen Ansätzen für eine Lösung zu finden. Solche Ansätze könnten beispielsweise lauten:

.

Integrierender Faktor μ(x) und μ(y)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein einfaches Beispiel für einen integrierenden Faktor ist dann gegeben, wenn dieser nur von einer Variablen oder abhängt.[1]

Zunächst wird der Fall betrachtet bei dem der integrierende Faktor nur von abhängig ist und infolge dessen ist. Unter dieser Voraussetzung ergibt die Integrabilitätsbedingung

im Zusammenhang mit der Produktregel folgende Darstellung

und nach Umformen folgt

was sich auch schreiben lässt als

Die Kettenregel für die logarithmische Ableitung liefert schließlich

Beidseitige Integration dieser Gleichung ergibt unter Auslassung der Integrationskonstanten

oder

Demnach ist der integrierende Faktor nur von abhängig wenn gilt:

Auf die gleiche Weise lässt sich zeigen, dass der integrierende Faktor nur von abhängt, wenn

gilt und der integrierende Faktor lautet dann

.

Integrierender Faktor μ(x+y)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hängt von ab, so lautet der integrierende Faktor

Beweis

Es ist

und auf die gleiche Weise ergibt sich

Wird nun die Integrabilitätsbedingung in die Darstellung gebracht, so folgt

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ausgehend von der Differentialgleichung

mit

und

wird erkennbar, dass die Integrabilitätsbedingung nicht erfüllt ist. Da nur von abhängt, ist es sinnvoll den integrierenden Faktor so zu wählen, dass nur von abhängig ist

Also lautet der integrierende Faktor

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Vieweg+Teubner 2009 (6.Auflage), Seite 100–102, ISBN 978-3-8348-0705-2