Exakte Differentialgleichung

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Eine exakte (oder vollständige) Differentialgleichung ist eine gewöhnliche Differentialgleichung der Form

,

bei der es eine stetig differenzierbare Funktion gibt, so dass gilt

  und   .

Eine solche Funktion heißt dann Potentialfunktion des Vektorfelds .

Existenz einer Potentialfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind und stetig partiell differenzierbar und ist der Definitionsbereich von und ein einfach zusammenhängendes Gebiet im , so gibt es genau dann eine solche Potentialfunktion , wenn die sogenannte Integrabilitätsbedingung

erfüllt ist.

Das zweidimensionale Vektorfeld lässt sich dann als Gradient des Potentials darstellen:

Obige Integrabilitätsbedingung bedeutet, dass wenn die Rotation des Vektorfeldes auf einem einfach zusammenhängenden Gebiet verschwindet, ein Potential existiert. Außerdem ist zweimal stetig differenzierbar (Satz von Schwarz):

Erstes Integral[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Falls das Vektorfeld eine Potentialfunktion besitzt, dann ist die Differentialgleichung die totale Ableitung von nach :

Somit muss es zu jeder Lösung obiger Differentialgleichung eine Konstante geben, so dass die implizite Gleichung

erfüllt ist. Gelegentlich kann man diese implizite Gleichung explizit auflösen. In dieser Hinsicht ist diese implizite Version ein erster Schritt zum expliziten Lösen der Differentialgleichung. Aus diesem Grunde bezeichnet man als erstes Integral der Differentialgleichung.

Integrierender Faktor[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für eine gewöhnliche Differentialgleichung der Form , welche die Voraussetzung nicht erfüllt, lässt sich gelegentlich eine nullstellenfreie stetig differenzierbare Funktion derart bestimmen, dass

eine exakte Differentialgleichung wird. In diesem Fall bezeichnet man als integrierenden Faktor oder auch als eulerschen Multiplikator. Da nach Definition niemals Null wird, hat diese Differentialgleichung dieselben Lösungen wie vor der Multiplikation mit .

Dabei ist genau dann ein integrierender Faktor, wenn die partielle Differentialgleichung

erfüllt wird.

Es ist normalerweise schwierig, diese partielle Differentialgleichung allgemein zu lösen. Da man aber nur eine spezielle Lösung benötigt, wird man versuchen, mit speziellen Ansätzen für eine Lösung zu finden. Solche Ansätze könnten beispielsweise lauten:

Ein solcher Ansatz führt meistens dann zum Ziel, wenn damit die partielle Differentialgleichung in eine gewöhnliche Differentialgleichung übergeht.

Existiert ein integrierender Faktor , so gibt es ein Potential , für das gilt:

Beispiel eines speziellen Kriteriums[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es gibt viele Kriterien für die Existenz von integrierenden Faktoren bestimmter Form. Prototypisch hierfür ist beispielsweise das folgende für einen integrierenden Faktor :

Der Definitionsbereich des Vektorfelds sei ein einfach zusammenhängendes Gebiet des . Falls es eine Funktion gibt, so dass

gilt, so ist jede nichttriviale Lösung von

ein integrierender Faktor.

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für ist die Integrabilitätsbedingung

äquivalent zu (Produktregel)

mit anderen Worten

Da die Nullfunktion eine Lösung von ist, besitzen alle anderen Lösungen nach dem Eindeutigkeitssatz keine Nullstellen. Somit ist ein integrierender Faktor.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]