Rotation (Mathematik)

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Dieser Artikel beschreibt den mathematischen Differentialoperator „Rotation“. Für das fortgesetzte Rotieren eines Körpers um eine Achse siehe Rotation (Physik), für die geometrische Abbildung im euklidischen Raum siehe Drehung.

Als Rotation bezeichnet man in der Vektoranalysis, einem Teilgebiet der Mathematik, einen bestimmten Differentialoperator, der einem Vektorfeld im dreidimensionalen euklidischen Raum mit Hilfe der Differentiation ein neues Vektorfeld zuordnet. Handelt es sich beispielsweise um ein Strömungsfeld, so gibt die Rotation für jeden Ort das Doppelte der Winkelgeschwindigkeit an, mit der ein mitschwimmender Körper rotiert, also wie schnell und um welche Achse er sich dreht. Dieser Zusammenhang ist namensgebend.

Geschwindigkeitsfeld einer rotierenden Scheibe
\left( \omega < 0 \right)

Es muss sich aber nicht immer um ein Geschwindigkeitsfeld und eine Drehbewegung handeln; beispielsweise betrifft das Induktionsgesetz die Rotation des elektrischen Feldes.

Ein Vektorfeld, dessen Rotation in einem Gebiet überall gleich null ist, nennt man wirbelfrei oder, insbesondere bei Kraftfeldern, konservativ. Ist das Gebiet einfach zusammenhängend, so ist das Vektorfeld genau dann der Gradient einer Funktion, wenn die Rotation des Vektorfeldes im betrachteten Gebiet gleich null ist.

Die Divergenz der Rotation eines Vektorfeldes ist gleich null. Umgekehrt ist in einfach zusammenhängenden Gebieten ein Feld, dessen Divergenz gleich null ist, die Rotation eines anderen Vektorfeldes.

Beispiele:

  • Das Vektorfeld, das an jedem Ort die Windrichtung und ‐geschwindigkeit eines Wirbelsturms angibt, hat in der Umgebung des Auges eine von null verschiedene Rotation.
  • Das Vektorfeld 
\mathbf v(x, y, z) =
\omega\cdot(x\,\mathbf{e}_y-y\,\mathbf{e}_x)\,,
das an jedem Punkt einer rotierenden Scheibe die Geschwindigkeit angibt, hat an jedem Punkt dieselbe von null verschiedene Rotation. Die Rotation beträgt das Zweifache der Winkelgeschwindigkeit, \mathbf{\operatorname{rot}}\,\mathbf v(x,y,z) = 2\,\omega \,\mathbf e_z\,.
  • Das Kraftfeld, das an jedem Punkt die Gravitationskraft der Sonne auf ein Testteilchen angibt, ist wirbelfrei. Das Kraftfeld ist der negative Gradient der potentiellen Energie des Teilchens.

Definition der Rotation in kartesischen Koordinaten[Bearbeiten]

Seien (x,y,z) die kartesischen Koordinaten des dreidimensionalen euklidischen Raumes und \mathbf e_x, \mathbf e_y und \mathbf e_z die normierten, zueinander senkrechten Basisvektoren, die an jedem Punkt in Richtung der zunehmenden Koordinaten zeigen.

Die Rotation eines dreidimensionalen, differenzierbaren Vektorfeldes

\mathbf F(x,y,z)=F_x(x,y,z)\, \mathbf e_x + F_y(x,y,z)\,\mathbf e_y  + F_z(x,y,z)\,\mathbf e_z

ist das dreidimensionale Vektorfeld

\mathbf{\operatorname{rot}}\,\mathbf F(x,y,z) = 
\left (\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right )\mathbf e_x
 +
\left (\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right )\mathbf e_y
 +
\left (\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right )\mathbf e_z
\,.

Als Merkregel kann man \operatorname{rot}\, \mathbf F als Determinante einer Matrix auffassen, deren erste Spalte die kartesischen Basisvektoren enthält, die zweite die partiellen Ableitungen nach den kartesischen Koordinaten und die dritte die zu differenzierenden Komponentenfunktionen

\operatorname{rot}\,\mathbf F =\operatorname{det}\,
\begin{pmatrix}
\mathbf e_x & \frac{\partial}{\partial x} & F_x\\
\mathbf e_y & \frac{\partial}{\partial y} & F_y\\
\mathbf e_z & \frac{\partial}{\partial z} & F_z
 \end{pmatrix}\,=\operatorname{det}\,
\begin{pmatrix}
\mathbf e_x & \mathbf e_y & \mathbf e_z\\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\\
F_x & F_y & F_z
\end{pmatrix}\,.

Allerdings sind hier die verschiedenen Spalten nicht Vektoren desselben Vektorraumes.

Geben wir die Vektoren als Spaltenvektoren ihrer kartesischen Komponenten an, dann ist \mathbf{\operatorname{rot}}\,\mathbf F das Kreuzprodukt des Spaltenvektors der partiellen Ableitungen nach den kartesischen Koordinaten, des Nabla-Operators \nabla, mit dem Spaltenvektor der kartesischen Komponentenfunktionen

\mathbf{\operatorname{rot}}\,\mathbf F(x,y,z) = \nabla\times\mathbf F =
\begin{pmatrix}
  \frac{\partial}{\partial x} \\
  \frac{\partial}{\partial y} \\
  \frac{\partial}{\partial z}
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
  F_x\\
  F_y\\
  F_z
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
  \frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \\
  \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \\
  \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}
\end{pmatrix}\,.

Andere Koordinatendarstellungen der Rotation[Bearbeiten]

Kugelkoordinaten[Bearbeiten]

Schreibt man das Vektorfeld in Kugelkoordinaten (r, \theta, \varphi) als Linearkombination

\mathbf F(r,\theta,\varphi)=F_r(r,\theta,\varphi)\, \mathbf e_r + F_{\theta}(r,\theta,\varphi)\,\mathbf e_\theta  + F_\varphi(r,\theta,\varphi)\,\mathbf e_\varphi

der auf Einheitslänge normierten Vektoren


\begin{align}
\mathbf e_r &= 
\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}
\begin{pmatrix}
x\\y\\z
\end{pmatrix}
\,,\\
\mathbf e_\theta &=
\frac{1}{\sqrt{(x^2+y^2+z^2)(x^2+y^2)}}
\begin{pmatrix}
z\,x\\z\,y\\-x^2-y^2
\end{pmatrix}\,,\\
\mathbf e_\varphi &=
\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}
\begin{pmatrix}
-y\\x\\0
\end{pmatrix}
\,,
\end{align}

die an jedem Punkt in Richtung zunehmender r,\theta,\varphi-Koordinaten zeigen, so ist die Rotation


\begin{align}
\operatorname{rot}\,\mathbf F = \,
  &\frac{1}{r \sin \theta} \left[ \frac{\partial}{\partial \theta} \left( F_\varphi \sin \theta \right) - \frac{\partial F_\theta}{\partial \varphi }\right]\mathbf e_r
+
 \left [ \frac{1}{r \sin \theta}\frac{\partial F_r}{\partial \varphi} - \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} \left( r F_\varphi \right)\right]\mathbf e_\theta  \,+\,
  \frac{1}{r} \left[ \frac{\partial}{\partial r} \left( r F_\theta \right) - \frac{\partial F_r}{\partial \theta} \right] \mathbf e_\varphi
\,.
\end{align}

Zylinderkoordinaten[Bearbeiten]

Gibt man das Vektorfeld in Zylinderkoordinaten (r, \varphi, z) als Linearkombination

\mathbf F(r,\varphi,z)=F_r(r,\varphi,z)\, \mathbf e_r +   F_\varphi(r,\varphi,z)\,\mathbf e_\varphi +F_{z}(r,\varphi,z)\,\mathbf e_z

der Vektoren


\begin{align}
\mathbf e_r &= 
\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}
\begin{pmatrix}
x\\y\\0
\end{pmatrix}
\,,\\
\mathbf e_\varphi &=
\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}
\begin{pmatrix}
-y\\x\\0
\end{pmatrix}\,,\\
\mathbf e_z &=
\begin{pmatrix}
0\\0\\1
\end{pmatrix}
\,,
\end{align}

an, die auf Einheitslänge normiert an jedem Punkt in Richtung zunehmender r,\varphi,z-Koordinaten zeigen, so ist die Rotation


\begin{align}
\operatorname{rot}\,\mathbf F = 
\left[ \frac 1 r \frac {\partial F_z}{\partial \varphi}
- \frac{\partial F_\varphi}{\partial z}
\right]\mathbf e_r
+\left [
\frac{\partial F_r}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial r}
\right ]\mathbf e_\varphi \,+ \, \frac 1 r \left[
\frac \partial {\partial r} \left( r \cdot F_\varphi \right)
- \frac{\partial F_r}{\partial \varphi} \right]\mathbf e_z\,.
\end{align}

Koordinatenfreie Darstellung der Rotation als Volumenableitung[Bearbeiten]

Mit Hilfe des klassischen Integralsatzes von Stokes kann die Rotation, ähnlich wie der Gradient und die Divergenz (Quellendichte) als Volumenableitung dargestellt werden. Diese Darstellung hat den Vorteil, dass sie koordinatenunabhängig ist. Aus diesem Grund wird die Rotation im Bereich der Ingenieurwissenschaften oftmals direkt so definiert.

Ist \mathcal{V} ein Raumgebiet mit stückweise glattem Rand \partial \mathcal{V} und dem Volumen V, dann kann die Rotation des Vektorfelds F \colon \mathcal{V} \to \R^3 im Punkt p \in \mathcal{V} mittels der Volumenableitung durch


\mathrm{rot}\,\vec F(p)=\lim_{V\rightarrow 0}\frac{\oint_{\partial \mathcal{V}} \mathrm{d}\vec A\times\vec F}{V}

berechnet werden. Dabei bezeichnet \mathrm{d}\vec A=\frac{\vec n}{\mid\vec n\mid}\mathrm{d}A das äußere vektorielle Flächenelement von \partial \mathcal{V}, wobei \vec n der nach außen zeigende Normalenvektor und \mathrm{d}A das skalare Flächenelement ist. Zur Grenzwertbildung wird das Raumgebiet \mathcal{V} auf den Punkt p zusammengezogen, sodass sein Inhalt V gegen null geht.[1]

Ersetzt man \vec F durch eine Strömungsgeschwindigkeit, erscheint die Rotation als Wirbeldichte. Ähnlich gebildete Synonyme existieren auch für die Divergenz (Quellendichte) und den Gradienten (Kraftdichte). Die Koordinatendarstellungen des vorigen Abschnitts ergeben sich aus der Volumenableitung, wenn man das jeweilige Volumenelement als Raumgebiet \mathcal{V} wählt.

Axialvektorfeld[Bearbeiten]

Die Rotation eines Vektorfeldes ist ein Pseudovektorfeld. Ein Vektorfeld geht bei Spiegelung am Ursprung in sein negatives am gespiegelten Ort über, die Rotation des Vektorfeldes ändert bei dieser Spiegelung ihr Vorzeichen nicht,

 \mathbf F^\prime(\mathbf x) = - \mathbf F(-\mathbf x)\,,\ \bigl(\operatorname{rot}\,\mathbf F^\prime\bigr)(\mathbf x) = \bigl(\operatorname{rot}\,\mathbf F\bigr)(-\mathbf x)\,.

Vektorfeld in zwei Dimensionen[Bearbeiten]

Ein Vektorfeld im zweidimensionalen, euklidischen Raum kann als Vektorfeld

\mathbf F(x,y,z)=F_x(x,y)\, \mathbf e_x + F_y(x,y)\,\mathbf e_y

in drei Dimensionen aufgefasst werden, das nicht von der dritten Koordinate abhängt und dessen dritte Komponente verschwindet. Seine Rotation ist kein Vektorfeld dieser Art, sondern hat eine dritte Komponente,

\mathbf{\operatorname{rot}}\,\mathbf F(x,y,z) = 
\left (\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right )\mathbf e_z
\,.

Definiert man in zwei Dimensionen die Rotation als den Differentialoperator

\mathbf{\operatorname{rot}}:\ \mathbf F \mapsto
\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}
\,,

dann ist das Ergebnis eine skalare Funktion, nicht ein Vektorfeld.

Zusammenhang zur Winkelgeschwindigkeit[Bearbeiten]

Wir betrachten einfachheitshalber die Drehung eines starren Körpers um die z-Achse mit konstanter Winkelgeschwindigkeit \omega\,. Dabei wächst der Drehwinkel \varphi gleichmäßig mit der Zeit an, \varphi = \omega\,t\,, und jeder Punkt durchläuft eine Bahn

\begin{pmatrix}
x(t)\\y(t)\\z(t)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\cos(\omega\,t)\,x(0) -\sin(\omega\,t)\,y(0)\\
\sin(\omega\,t)\,x(0) +\cos(\omega\,t)\,y(0)\\
z(0)
\end{pmatrix}\,.

Die Geschwindigkeit beträgt


\frac{\mathrm d}{\mathrm d\,t}
\begin{pmatrix}
x(t)\\y(t)\\z(t)
\end{pmatrix}
=\omega\,
\begin{pmatrix}
-\sin(\omega\,t)\,x(0) -\cos(\omega\,t)\,y(0)\\
\ \cos(\omega\,t)\,x(0) -\sin(\omega\,t)\,y(0)\\
0
\end{pmatrix}=
\omega\,
\begin{pmatrix}
-y(t)\\x(t)\\0
\end{pmatrix}
\,.

Das Geschwindigkeitsfeld einer starren Drehung um die z-Achse ist also, wie oben im Beispiel angegeben,

\mathbf v(x,y,z) = \omega\,(-y\,\mathbf e_x + x \, \mathbf e_y)\,.

Seine Rotation ist die doppelte Winkelgeschwindigkeit

\operatorname{rot}\,\mathbf v = 2\,\omega\,\mathbf e_z\,.

Zerlegung in quellen- und wirbelfreien Teil[Bearbeiten]

Zweifach stetig differenzierbare Vektorfelder \mathbf v(\mathbf r), die mit ihren Ableitungen für große Abstände hinreichend rasch gegen null gehen, kann man eindeutig in einen wirbelfreien Teil \mathbf E\,,\ \operatorname{rot}\,\mathbf E = 0\,, und einen quellenfreien Teil \mathbf B\,,\ \operatorname{div}\,\mathbf B = 0\,, zerlegen,


\begin{align}
\mathbf v &=\mathbf E +\mathbf B\,,\ &\mathbf E  = -\operatorname{grad}\,\phi\,,\ \mathbf B  = \operatorname{rot}\,\mathbf A\,,
\\ \phi (\mathbf x)&=\frac 1 {4\,\pi}\int\!{\mathrm d}^{3}y\,\,
\frac{\operatorname{div}\,\mathbf v(\mathbf y)}{|\mathbf x -\mathbf y|}\,,\ &\mathbf A(\mathbf x)=\frac 1 {4\,\pi}\int\!{\mathrm d}^{3}y\,\,
\frac{\operatorname{rot}\,\mathbf v(\mathbf y)}{|\mathbf x -\mathbf y|}
\,.
\end{align}

Dabei bezeichnen \operatorname{div} die Divergenz und \operatorname{grad} den Gradienten, wobei die Definition  E = -\operatorname{grad}\,\phi\, die in der Physik übliche Konvention ist. Mathematisch ist:  E = \operatorname{grad}\,\phi\,

Diese Zerlegung ist Bestandteil des Helmholtz-Theorems.

Rechenregeln[Bearbeiten]

Die Rotation ist linear. Für alle Konstanten c\in\R und differenzierbare Vektorfelder \mathbf{F} und \mathbf{G} gilt


 \operatorname{rot}\,(c \,\mathbf{F}+\mathbf G)
  = c\,\operatorname{rot}\,\mathbf{F} + \operatorname{rot}\,\mathbf{G}\,.

Die Rotation eines Vektorfeldes verschwindet genau dann, wenn es lokal ein Gradientenfeld ist. Die Divergenz eines Vektorfeldes verschwindet genau dann, wenn es lokal die Rotation eines anderen Feldes ist,


  \operatorname{rot}~\operatorname{grad}\,f= 0\,,\ \operatorname{div}~\operatorname{rot}\,\mathbf F= 0\,,

und die anderen Implikationen sind Spezialfälle des Poincaré-Lemmas.

Für differenzierbare Funktionen f\, und Vektorfelder \mathbf{F} und \mathbf{G} gelten die Produktregeln


\operatorname{rot}\,(f\,\mathbf{F}) = f\,\operatorname{rot}\,\mathbf{F} + (\operatorname{grad}\,f)\,\times \mathbf{F}\,,

\operatorname{rot}\,(\mathbf{F}\times\mathbf{G})
 =
\left(\mathbf{G}\cdot\operatorname{grad}\right)\mathbf{F} - \left(\mathbf{F}\cdot\operatorname{grad}\right)\mathbf{G} + \mathbf{F}\,(\operatorname{div}\,\mathbf{G}) - \mathbf{G}\,(\operatorname{div}\,\mathbf{F})\,.

Für die zweifache Anwendung der Rotation gilt


 \operatorname{rot}\,\operatorname{rot}\,\mathbf{F}=
\operatorname{grad}\,\operatorname{div}\,\mathbf{F} - \Delta \,\mathbf{F}\,
,\quad \Delta = 
  \frac {\partial^2} {\partial x^2}
+ \frac {\partial^2} {\partial y^2}
+ \frac {\partial^2} {\partial z^2}\,.

Für einen Vektor  \boldsymbol{v} , der von einem Skalar  s\!\, abhängt, und dieser in 3D vom Ort, gilt die Kettenregel


\operatorname{rot}\, \boldsymbol{v} ( s ) = \operatorname{grad}\,s \times \frac{\mathrm{d}\boldsymbol{v}}{\mathrm{d}s}.

Integralsatz von Stokes[Bearbeiten]

Hauptartikel → Satz von Stokes

Das Integral über eine Fläche \mathcal F über die Rotation eines Vektorfeldes \mathbf A ist nach dem Satz von Stokes gleich dem Kurvenintegral über die Randkurve \partial \mathcal F über \mathbf A\,,

 \iint_{\mathcal F}\!\!\mathrm d^2 \mathbf f\cdot \operatorname{rot}\,\mathbf {A} = \oint_{\partial \mathcal F}\!\!\mathrm{d}\mathbf x\cdot \mathbf {A}\,.

Durch das Doppelintegral wird links betont, dass man von einer zweidimensionalen Integration ausgeht. Auf der rechten Seite soll das Kreissymbol im Integralzeichen unterstreichen, dass es sich um ein Integral über einen geschlossenen Weg handelt. Die Orientierung entspricht dabei der Drei-Finger-Regel: die folgenden drei Vektoren, nämlich erstens der Vektor \mathrm d^2\mathbf f in Richtung der Flächennormalen, zweitens der Vektor \mathrm d\mathbf x in Tangentialrichtung und drittens der vom Rand in die Fläche zeigenden Vektor, entsprechen Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger der rechten Hand, das heißt sie bilden ein Rechtssystem. Oft schreibt man \mathrm d^2\mathbf f=\mathbf n\,\mathrm d^2 \mathrm f\, indem man mit \mathbf n die Richtung der Größe hervorhebt.

Literatur[Bearbeiten]

  • Siegfried Großmann: Mathematischer Einführungskurs für die Physik, Teubner-Verlag, ISBN 3-519-43028-2
  1. Bronstein, Semendjajew, Musiol, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik, Verlag Harri Deutsch, Frankfurt, 8. Aufl. 2012, Abschn. 13.2, Räumliche Differentialoperatoren

Weblinks[Bearbeiten]