Pfaffsche Form

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Im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie bezeichnet Pfaffsche Form (nach Johann Friedrich Pfaff[1]) oder Differentialform vom Grad 1 oder kurz 1-Form ein Objekt, das in gewisser Weise dual zu einem Vektorfeld ist. Pfaffsche Formen sind die natürlichen Integranden für Wegintegrale.

Kontext[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei

  • eine offene Teilmenge des
  • oder allgemeiner ein offener Teil einer differenzierbaren Untermannigfaltigkeit des
  • oder allgemein ein offener Teil einer (abstrakten) differenzierbaren Mannigfaltigkeit.

In jedem dieser Fälle gibt es

  • den Begriff der differenzierbaren Funktion auf ; der Raum der unendlich oft differenzierbaren Funktionen auf werde mit bezeichnet;
  • den Begriff des Tangentialraums an in einem Punkt ;
  • den Begriff der Richtungsableitung für einen Tangentialvektor und eine differenzierbare Funktion ;
  • den Begriff des differenzierbaren Vektorfeldes auf . Der Raum der Vektorfelder auf sei mit bezeichnet.

Elementare Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine pfaffsche Form auf ordnet jedem Punkt eine Linearform zu. Derartige Linearformen heißen Kotangentialvektoren; sie sind Elemente des Dualraumes des Tangentialraumes . Der Raum wird Kotangentialraum genannt.

Eine pfaffsche Form ist also eine Abbildung

Andere Definitionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Eine differenzierbare pfaffsche Form ist eine -lineare Abbildung Stetige oder messbare pfaffsche Formen sind analog definiert.
  • Die oben gegebene Menge wird als Kotangentialbündel bezeichnet. Das ist nichts anderes als das duale Vektorbündel des Tangentialbündels. Eine pfaffsche Form kann damit als Schnitt des Kotangentialbündels definiert werden.
  • Die pfaffschen Formen sind genau die kovarianten Tensorfelder erster Stufe.

Totales Differential einer Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das totale Differential oder die äußere Ableitung einer differenzierbaren Funktion ist die pfaffsche Form, die folgendermaßen definiert ist: Ist ein Tangentialvektor, so ist: also gleich der Richtungsableitung von in Richtung .

Ist also ein Weg mit und , so ist

Es gilt:

  • falls eine konstante Funktion ist;
  • für differenzierbare Funktionen .

Ist auf ein Skalarprodukt gegeben, so lässt sich das totale Differential von mit Hilfe des Gradienten darstellen:

Koordinatendarstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein Koordinatensystem auf . Die Koordinaten können als Funktionen

aufgefasst werden, die einem Punkt seine -te Koordinate zuordnen. Die totalen Differentiale dieser Funktionen bilden eine lokale Basis. Das heißt, für jeden Punkt ist

eine Basis von .

Damit lässt sich jede pfaffsche Form auf eindeutige Weise als

mit Funktionen schreiben.

Die äußere Ableitung einer beliebigen differenzierbaren Funktion hat die Darstellung

Definition des Kurvenintegrals[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein stetig differenzierbarer Weg in und eine 1-Form auf . Dann ist das Integral von entlang definiert als:

Dabei bezeichnet die Ableitung von nach dem Parameter .

Geometrische Interpretation des Kurvenintegrals[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine stetig differenzierbare Funktion stellt die Parametrisierung einer Raumkurve dar. Der Parameter kann als Zeitparameter aufgefasst werden. Zum Zeitpunkt befindet man sich am Ort . Dann wird entlang einer bestimmten Bahn oder Kurve zum Ort gefahren. Also zum Zeitpunkt ist der Endpunkt der Kurve erreicht. Wird zu jedem Zeitpunkt der Ort des Überfahrens notiert, so ergibt sich die Abbildung .

Es ist anschaulich klar, dass dieselbe Kurve auf unterschiedliche Weise überfahren werden kann. So ist konstante Geschwindigkeit eine Möglichkeit. Eine weitere ergibt sich aus einem langsamen Start und mit anschließender Beschleunigung. Für dieselbe Kurve gibt es unterschiedliche Parametrisierungen. Die Bezeichnung „Kurvenintegral“ ist deshalb gerechtfertigt, weil gezeigt werden kann, dass der Wert des Integrals unabhängig von der gewählten Parametrisierung der Kurve ist. Mit einer Ausnahme: Wird der Anfangs- und Endpunkt der Kurve vertauscht, also erfolgt die Bewegung vom Endpunkt zurück zum Anfangspunkt der Kurve, so ändert sich das Vorzeichen des Integrals.

Im Anschauungsraum können Tangential- und Kotangentialvektoren mithilfe des Skalarproduktes miteinander identifiziert werden: Einem Kotangentialvektor entspricht der Vektor , für den

für alle

gilt. So können 1-Formen mit Vektorfeldern identifiziert werden.

Pfaffsche Form 001.jpg

Dem Integral einer 1-Form entspricht das (gewöhnliche) Integral über das Skalarprodukt mit dem Tangentenvektor:

Ist die Kurve nach der Bogenlänge parametrisiert, so ist der Integrand die (gerichtete) Länge der Projektion des Vektors auf die Tangente an die Kurve:

Exakte und geschlossene Formen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine stetig differenzierbare Funktion heißt Stammfunktion der 1-Form , wenn gilt:

Eine 1-Form heißt exakt, wenn sie eine Stammfunktion besitzt.

Eine 1-Form heißt geschlossen, wenn gilt:

für alle .

Allgemeiner kann ein totales Differential definiert werden, das jeder 1-Form eine 2-Form zuordnet. Eine Form heißt genau dann geschlossen, wenn gilt. Aus dem Satz von Schwarz folgt, dass jede exakte Form geschlossen ist.

Kurvenintegral des totalen Differentials[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für das Kurvenintegral des totalen Differentials entlang eines Weges gilt:

Das Integral des totalen Differentials hängt also nicht von der Kurvenform, sondern nur von den Endpunkten der Kurve ab. Das Integral über eine geschlossene Kurve, also , ist somit gleich Null:

Im Spezialfall und ergibt sich der Fundamentalsatz der Analysis, da das Integral auf der linken Seite

ist. Die obigen Aussagen lassen sich direkt auf den Fundamentalsatz zurückführen.

Existenz einer Stammfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Wie bereits erwähnt, ist Geschlossenheit eine notwendige Bedingung für Exaktheit. Das Poincaré-Lemma besagt, dass die Hindernisse für die Umkehrung globaler Natur sind: In einem einfach zusammenhängenden, insbesondere in jedem sternförmigen Gebiet besitzt jede geschlossene Pfaffsche Form eine Stammfunktion. Insbesondere ist jede geschlossene pfaffsche Form lokal exakt.
  • Eine stetige Pfaffsche Form auf einem Gebiet besitzt genau dann eine Stammfunktion, wenn das Integral von entlang jeder geschlossenen Kurve in verschwindet.

Physikalische Beispiele für Pfaffsche Formen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Erstes Beispiel „Kraftfeld“[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Kraftfeld beschreibt die Kraft, die auf einen Gegenstand an einem beliebigen Ort ausgeübt wird. Beispielsweise bewegt sich die Erde im Kraftfeld der Sonne. Das Kraftfeld ordnet jedem Punkt einen Kraftvektor zu. Jedem Kraftvektor kann eine lineare Abbildung zugeordnet werden, die mittels des Skalarproduktes einen beliebigen Vektor linear auf den Zahlenkörper abbildet. Aufgrund dieser Interpretation kann das Kraftfeld als Pfaffsche Form oder Differentialform 1. Ordnung verstanden werden.

Wird das Kraftfeld in kartesischen Koordinaten dargestellt, wobei mit i=1,2 oder 3 die Einheitsvektoren in kartesischen Koordinaten sind, so gilt für die Koordinatendarstellung der Pfaffschen Form:

.

Die Differentiale sind einfach die entsprechenden Basisvektoren des Dualraums, also:

.

Es muss Arbeit geleistet werden, um einen Gegenstand in einem Kraftfeld entlang eines Weges von einem Ort zu einem Ort zu bewegen. Die Größe W der geleisteten Arbeit ist gegeben durch das Kurvenintegral entlang des Weges:

In einem konservativen Kraftfeld ist die Größe W der geleisteten Arbeit wegunabhängig. Eine konservative Kraft leistet auf einem geschlossenen Weg keine Arbeit.

Die Stammfunktion eines konservativen Kraftfeldes wird Potential oder potentielle Energie der Kraft genannt. Also stellt das totale Differential des Potentials wiederum die Kraft dar. Es gilt:

Das Vorzeichen ist lediglich Konvention.

Zweites Beispiel „Entropie“[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine weitere wichtige Anwendung der Theorie der Differentialformen liegt im Bereich der Thermodynamik. Gemäß der Clausiusschen Ungleichung gilt:

stellt die Temperatur des thermodynamischen Systems und den Wärmeaustauschkontakt des Systems mit seiner Umgebung dar. Das thermodynamische System kann beispielsweise ein Gas darstellen, dessen unabhängige Zustandsgrößen Temperatur , Druck und Volumen des Gases sind. Die Koordinatendarstellung des Wärmeaustauschkontakts ist damit gegeben durch:

.

Das vorstehende Integral wird entlang eines geschlossenen Weges c im dreidimensionalen Zustandsraum (P,V,T) gebildet. Ein geschlossener Weg c im Zustandsraum wird in der Thermodynamik Kreisprozess genannt. Die Differentialform besitzt genau dann eine Stammfunktion, wenn jeder Kreisprozess reversibel ist:

In diesem Fall besitzt die Pfaffsche Form eine Stammfunktion , die Entropie genannt wird. Für reversible Kreisprozesse gilt:

1/T stellt einen integrierenden Faktor dar, der aus der Differentialform ein totales Differential erzeugt.

Hieraus folgt der zweite Hauptsatz der Thermodynamik:

oder

In einem isolierten System gibt es keinen Wärmeaustausch mit der Umgebung, weshalb gilt . Es folgt aus dem zweiten Hauptsatz, dass die Entropie eines isolierten Systems nicht abnehmen kann.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Otto Forster: Analysis. Band 3: Integralrechnung im Rn mit Anwendungen (= Vieweg-Studium 52 Aufbaukurs Mathematik). 3. durchgesehene Auflage. Vieweg, Braunschweig u. a. 1984, ISBN 3-528-27252-X.
  • Martin Schottenloher: Geometrie und Symmetrie in der Physik. Leitmotiv der mathematischen Physik (= Vieweg-Lehrbuch mathematischen Physik). Vieweg, Braunschweig 1995, ISBN 3-528-06565-6.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. vgl. Günther J. Wirsching: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Eine Einführung mit Beispielen, Aufgaben und Musterlösungen. Teubner Verlag, Wiesbaden 2006, ISBN 3-519-00515-8, S. 63 (online)