Exakter Funktor

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Exakter Funktor ist ein mathematischer Begriff aus der Kategorientheorie.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein additiver, kovarianter Funktor heißt

  • halbexakt, falls exakt ist
  • linksexakt, falls exakt ist
  • rechtsexakt, falls exakt ist
  • exakt, falls exakt ist

für alle kurzen exakten Sequenzen in .[1] [2]

Ein kontravarianter Funktor heißt halb/links/rechts/exakt, falls er dies als kovarianter Funktor ist.

Halbexakte Funktoren zwischen abelschen Kategorien sind additive Funktoren.[3]

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Hom-Funktoren und sind linksexakt.
  • Die Tensorprodukt-Funktoren und sind rechtsexakt.
  • Der Funktor „globale Schnitte“ auf der Kategorie der Garben von abelschen Gruppen in die Kategorie der abelschen Gruppen ist linksexakt, siehe Garbenkohomologie.
  • Für eine endliche Gruppe ist der Funktor „G-Invarianten“ von der Kategorie der -Moduln in die Kategorie der abelschen Gruppen linksexakt, siehe Gruppenkohomologie.
  • Der Dualraum-Funktor in der Kategorie der Banachräume mit den stetigen linearen Abbildungen als Morphismen ist exakt, wie sich aus dem Satz vom abgeschlossenen Bild ergibt.
  • Für eine beliebige natürliche Zahl ist der Funktor
auf der Kategorie der abelschen Gruppen additiv und erhält Mono- und Epimorphismen, ist jedoch nicht exakt.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra. American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3872-5, Definition 3.1.
  2. Götz Brunner: Homologische Algebra. B.I.-Wissenschaftsverlag, 1973, ISBN 3-411-014420-2, Kapitel III, Definition 32.
  3. Peter Hilton: Lectures in Homological Algebra. American Mathematical Society, 2005, ISBN 0-8218-3872-5, Satz 3.2.