Garbenkohomologie

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Garbenkohomologie ist in der Mathematik, hauptsächlich in der algebraischen Geometrie und in der komplexen Analysis, eine Technik, mit der man globale Eigenschaften topologischer Räume und auf ihnen definierter Garben studieren kann. Im einfachsten Fall beschreibt die erste Kohomologiegruppe die Schwierigkeiten, um aus lokalen Lösungen eine globale Lösung zu erhalten.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konkret ist eine Garbenkohomologie auf einem topologischen Raum ein Delta-Funktor von der Kategorie der Garben abelscher Gruppen in die Kategorie der abelschen Gruppen. Das bedeutet: Jeder Garbe abelscher Gruppen wird auf funktorielle Weise eine Folge abelscher Gruppen für zugeordnet, und für jede kurze exakte Sequenz

von Garben abelscher Gruppen gibt es eine natürliche lange exakte Sequenz

Außerdem ist die Gruppe der globalen Schnitte von .

Anwendungsbeispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Logarithmus einer holomorphen Funktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Problemstellung: Es sei ein Gebiet und eine holomorphe, nirgends verschwindende Funktion. Gesucht ist eine holomorphe Funktion , so dass für alle gilt.

Lokal existiert ein solches immer: Ist fest und so klein gewählt, dass , dann kann man auf Grund der Wegunabhängigkeit des Integrals

für

setzen, wobei derart gewählt ist, dass gilt. Will man nach demselben Prinzip global definieren, benötigt man, dass

für jeden geschlossenen Weg verschwindet. Teilt man noch durch , erhält man einen Homomorphismus

dessen Verschwinden notwendig und hinreichend für die Existenz einer globalen Lösung ist (dabei ist die Fundamentalgruppe von ).

Mit dem Begriff der Garbe ausgedrückt besagt die lokale Lösbarkeit, dass der Homomorphismus von Garben von der Garbe der holomorphen Funktionen (mit der Addition als Verknüpfung) in die Garbe der nichtverschwindenden holomorphen Funktionen (mit der Multiplikation) surjektiv ist. Sein Kern ist die Garbe der Funktionen, die lokal konstant ganzzahlige Vielfache von sind, also bis auf die Multiplikation mit die konstante Garbe . Zusammen ergibt sich die kurze exakte Sequenz

Die vorgegebene Funktion ist nun ein Element von , und gesucht ist ein Urbild unter in . Die Garbenkohomologie liefert eine exakte Sequenz

Also besitzt genau dann einen holomorphen Logarithmus, wenn das Bild von in verschwindet. Dieses Bild kann mit dem oben erklärten Homomorphismus identifiziert werden.

Existenz von Funktionen mit vorgegebenen Werten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Problemstellung: Es sei eine Folge komplexer Zahlen ohne Häufungspunkt sowie eine weitere Folge beliebiger komplexer Zahlen vorgegeben. Existiert dann eine ganze Funktion mit für alle ?

Es sei , und die konstante Garbe auf werde mit ihrem direkten Bild auf identifiziert. Dann ist der Homomorphismus , der durch die Auswertung einer Funktion in den Punkten in gegeben ist, surjektiv. Denn in einer ausreichend kleinen Umgebung von liegen keine anderen Punkte aus , so dass man zu einem vorgegebenen Wert als Urbild in die konstante Funktion mit Wert wählen kann. Der Kern von sei mit bezeichnet, so dass wir die kurze exakte Sequenz

erhalten. Aus der Garbenkohomologie erhält man eine exakte Sequenz

Man kann nun zeigen, dass verschwindet, also besitzt jedes Element ein Urbild in , d.h. jede Werteverteilung wird durch eine ganze Funktion realisiert.

Konstruktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien ein fest gewählter topologischer Raum und eine Garbe abelscher Gruppen auf , mit sei der Halm von über bezeichnet.

Die Godement-Auflösung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definiere eine Garbe auf durch

mit den Projektionen als Einschränkungsabbildungen. Es gibt einen kanonischen injektiven Homomorphismus , der einem Schnitt die Familie seiner Keime zuordnet. Die Definition von Garben als etale Räume erklärt die Bezeichnung „Garbe der unstetigen Schnitte“ für . Setze nun

und iterativ

Wir erhalten eine Auflösung

Dann ist die Garbenkohomologie als die -te Kohomologie des Komplexes definiert.

Die Godement-Auflösung hat den Vorteil, dass sie einfach zu definieren ist und keinerlei Wahlen erfordert. Für konkrete Berechnungen ist sie aber meistens ungeeignet.

Kohomologie einer Überdeckung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine Familie offener Teilmengen von , so dass . Für und setze . Damit erhält man einen kosimplizialen topologischen Raum und durch Anwendung von eine simpliziale abelsche Gruppe, die gemäß der Dold-Kan-Korrespondenz einem Kokettenkomplex in nichtnegativen Graden entspricht. Seine Kohomologie ist die Kohomologie von bezüglich der Überdeckung .

Konkret ist der Komplex gegeben durch

mit dem Differential

wobei die Einschränkung von Schnitten von bezeichnet.

1-Kozykel sind Familien mit auf (mit impliziten Einschränkungen). Zwei 1-Kozykel sind kohomolog, wenn es eine Familie gibt mit für alle .

Ist eine Überdeckung mit für alle , dann ist der kanonische Homomorphismus für alle bijektiv. Diese als Satz von Leray bekannte Aussage gilt insbesondere für offene affine Überdeckungen separierter Schemata, wenn darüber hinaus eine quasikohärente Modulgarbe ist.

Čech-Kohomologie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine Überdeckung wie im vorherigen Abschnitt, so ist eine Verfeinerung von eine Überdeckung zusammen mit einer Abbildung , so dass für alle gilt. Dann erhält man Homomorphismen für alle . Im Prinzip ist Čech-Kohomologie der direkte Limes über diese Verfeinerungen. Aus technischen Gründen betrachtet man aber Überdeckungen mit für alle und Verfeinerungen mit für alle . Dann heißt

die Čech-Kohomologie von .

Es gibt kanonische Homomorphismen , die für bijektiv und für injektiv sind.[1] Ist ein parakompakter Hausdorffraum, sind sie für alle bijektiv.

Garbenkohomologie als derivierter Funktor[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine Garbe von Ringen und eine -Modulgarbe. (Der Fall von Garben abelscher Gruppen ist durch mit abgedeckt.) Dann hat die Kategorie der -Modulgarben genügend viele injektive Objekte, so dass man den derivierten Funktor zum Funktor der globalen Schnitte bilden kann. Allgemein gilt, dass man den derivierten Funktor über azyklische Auflösungen berechnen kann, und man kann zeigen, dass welke Garben azyklisch sind. (Eine Garbe heißt welk, wenn für alle offenen Teilmengen surjektiv ist.) Die Godement-Auflösung besteht aus welken -Modulgarben, also ist ein derivierter Funktor, und es kommt nicht darauf an, ob man den derivierten Funktor für -Modulgarben oder für Garben abelscher Gruppen bildet.

Auf einem Schema kann man den Funktor auf die Kategorie der quasikohärenten Modulgarben einschränken. Wenn quasikompakt und separiert ist, besitzt genügend viele injektive Objekte, und der auf berechnete derivierte Funktor stimmt mit dem auf der Kategorie aller -Moduln berechneten überein.[2]

Weitere Auflösungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weitere Klassen von azyklischen Garben, die damit für Auflösungen herangezogen werden können, sind weiche Garben und besonders in der (komplexen) Analysis feine Garben.

Nichtabelsches H1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine Garbe nicht notwendigerweise abelscher Gruppen (im Folgenden multiplikativ geschrieben), kann man die Überdeckungskonstruktion zumindest für übertragen. 1-Kozykel für eine Überdeckung sind Familien , die für alle erfüllen. Zwei Kozykel und heißen kohomolog, wenn es gibt, so dass für alle gilt. Kohomolog zu sein, ist eine Äquivalenzrelation auf den 1-Kozykeln, und die Menge der Äquivalenzklassen wird wieder mit bezeichnet. Sie enthält als ausgezeichnetes Element die Klasse des trivialen Kozykels. Im direkten Limes erhält man eine punktierte Menge .

Es gibt im nichtabelschen Fall unter verschiedenen Voraussetzungen immer noch exakte Sequenzen, die die lange exakte Sequenz für abelsche Garben verallgemeinern. Es gibt auch ein für nichtabelsche Garben. Siehe dazu Giraud.

Vergleich mit singulärer Kohomologie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein topologischer Raum und eine abelsche Gruppe, kann man einerseits die singuläre Kohomologie bilden, andererseits die Garbenkohomologie der konstanten Garbe. Die Bedingung, dass ein CW-Komplex ist, ist hinreichend dafür, dass man kanonisch isomorphe Gruppen erhält, aber auch schwächere Voraussetzungen genügen.[3]

H1 und Torsore[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein geringter Raum, d.h. ein topologischer Raum zusammen mit einer Garbe von Ringen, dann gibt es eine kanonische Bijektion zwischen und der Menge der Isomorphieklassen von Geradenbündeln auf .

Diese Aussage erlaubt eine weitreichende Verallgemeinerung: Für jede Garbe von Gruppen gibt es eine kanonische Bijektion zwischen und der Menge der Isomorphieklassen von -Torsoren. Der Bezug zu Geradenbündeln entsteht folgendermaßen: Ist ein Objekt auf , dann gibt es eine Korrespondenz zwischen lokal zu isomorphen Objekten und -Torsoren. Die Korrespondenz ordnet einem Objekt den Torsor zu.[4]

Ein Torsor für eine Garbe von (nicht notwendigerweise abelschen) Gruppen auf einem Raum ist eine Garbe von Mengen auf zusammen mit einer -(Links-)Operation, so dass eine offene Überdeckung von existiert, auf der trivial wird. Ausführlicher bedeutet das: Gegeben ist ein Garbenmorphismus , der für jede offene Teilmenge eine Operation von auf induziert. Für jedes soll nun als Garbe mit -Operation isomorph zu mit der Linkstranslation als Operation sein. Ein Torsor ist genau dann trivial, d.h. global isomorph zu mit der Linkstranslation, wenn nicht leer ist.

Ist ein System von Trivialisierungen, erhält man durch einen 1-Kozykel, umgekehrt kann man Kozykel verwenden, um triviale Torsore zu verkleben.

Im Logarithmus-Beispiel bilden die Logarithmen von einen -Torsor: Für jeden Logarithmus auf einer Teilmenge und jede ganze Zahl ist auch ein Logarithmus, und wenn zusammenhängend ist, kann es auch keine anderen geben. Die Klasse dieses Torsors in ist genau dann trivial, wenn er ein globaler Logarithmus existiert.

Höhere direkte Bilder[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist eine stetige Abbildung und eine Garbe abelscher Gruppen auf , dann ist das direkte Bild ein linksexakter Funktor, und man kann den derivierten Funktor bilden. Er ist die Vergarbung der Prägarbe .

Die Kohomologie von und die Kohomologie von hängen über die Leray-Spektralsequenz miteinander zusammen: Es existiert eine Spektralsequenz mit , die gegen konvergiert.

Wichtige Sätze über Garbenkohomologie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Algebraische Geometrie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ist eine quasikohärente Modulgarbe auf einem affinen Schema , dann ist für alle .
  • Ist ein Schema, dessen zugrundeliegender Raum noethersch ist und Dimension hat, dann ist für und jede Garbe abelscher Gruppen .
  • Kohärenzsatz von Grothendieck: Ist eigentlich über einem noetherschen Ring und eine kohärente Modulgarbe, dann ist für jedes ein endlich erzeugter -Modul.
  • Verschwindungssatz von Serre: Für eine kohärente Garbe auf einem projektiven Schema ist für und .
  • Serre-Dualität
  • Halbstetigkeitssatz von Hans Grauert
  • Serres GAGA und Grothendiecks GFGA

Komplexe Analysis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Theorem B von Henri Cartan: Für kohärente Garben auf steinschen Räumen verschwindet die höhere Kohomologie
  • Endlichkeitssatz von Cartan-Serre: Kohomologiegruppen kohärenter Garben auf kompakten komplexen Räumen sind endlichdimensional (als -Vektorräume), verallgemeinert im Kohärenzsatz von Grauert
  • Halbstetigkeitssatz von Grauert
  • Hodge-Theorie

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Fußnoten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Godement, II, 5.9
  2. Siehe Thomason, Trobaugh, Appendix B
  3. Siehe Bredon, III, 1.
  4. Siehe Giraud, III, 2.5.1 für die genauen Voraussetzungen.