Quotientenmodul

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Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist ein Quotientenmodul oder Faktormodul eine der grundlegenden Konstruktionen der Theorie der Moduln. Zu einem Modul und einem Untermodul ist der Quotientenmodul das im Wesentlichen eindeutig bestimmte Ziel eines surjektiven Homomorphismus mit Kern .

Quotientenmoduln sind das Analogon der Begriffe Faktorraum in der Theorie der Vektorräume sowie Faktorgruppe in der Gruppentheorie.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein Ring. Zu einem -(Links-)Modul und einem Untermodul ist der Quotientenmodul die Menge der Äquivalenzklassen von Elementen von nach der Äquivalenzrelation

mit der eindeutig bestimmten Modulstruktur, für die die kanonische surjektive Abbildung ein Homomorphismus ist:

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Isomorphiesätze: Für zwei Untermoduln eines Moduls gilt
Für Untermoduln gilt
  • Es gibt eine kanonische Entsprechung zwischen Isomorphieklassen von Monomorphismen mit Ziel und Isomorphieklassen von Epimorphismen mit Quelle ; einem Monomorphismus entspricht der Quotientenmodul , einem Epimorphismus der Untermodul .
  • Ist ein Modul endlich erzeugt, oder hat er eine endliche Länge, so gilt dies auch für jeden Quotientenmodul.
  • Ist eine (unitäre, assoziative) -Algebra, so ist
dabei steht für das Bild von in .
  • Ist ein (zweiseitiges) Ideal in , so ist der Faktormodul dasselbe wie der Faktorring .