Restklassenkörper

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Restklassenkörper spielen in verschiedenen Bereichen der Algebra und Zahlentheorie eine wichtige Rolle. In ihrer einfachsten Form sind sie die mathematische Abstraktion des Restes bei der Division durch eine Primzahl, in der algebraischen Geometrie treten sie auf, wenn die lokale Struktur eines geometrischen Objektes in einem Punkt beschrieben wird.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein Ring mit einem maximalen Ideal . Dann heißt der Faktorring , der als Faktorring eines maximalen Ideals ein Körper ist, der Restklassenkörper von bezüglich .

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Restklassenkörper modulo einer Primzahl[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei der Ring der ganzen Zahlen. Da ein Hauptidealring ist, sind maximale Ideale von gerade die von Primelementen erzeugten Ideale. Ist also eine Primzahl, so ist der Restklassenring ein Körper, genauer ein endlicher Körper mit Elementen. Er wird Restklassenkörper modulo genannt und üblicherweise mit bezeichnet. Man beachte jedoch, dass es auch endliche Körper , gibt, die mit den jeweiligen Restklassenringen nichts zu tun haben.

Für weitere Details zu endlichen Körpern siehe endlicher Körper.

Restklassenkörper lokaler Ringe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein lokaler Ring, also ein Ring, in dem es nur ein maximales Ideal gibt. Dann gibt es zu nur einen Restklassenkörper nämlich und wir sprechen von dem Restklassenkörper von .

Restklassenkörper diskreter Bewertungsringe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei der Bewertungsring eines diskret bewerteter Körpers . Dann ist ein lokaler Hauptidealring, sodass das maximale Ideal von von einem Element erzeugt wird. Ein solches Element nennt man ein uniformisierendem Element und man bezeichnet in diesem Fall auch als Restklassenkörper von .

Restklassenkörper von Punkten auf Schemata[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein Schema mit einem Punkt . Dann wird der Restklassenkörper des lokalen Ringes der Restklassenkörper von in genannt und wird üblicherweise mit bezeichnet.

Ist ein Schema über einem Körper , so sind alle Restklassenkörper von Körpererweiterungen von . Ist lokal endlichen Typs und ein abgeschlossener Punkt, so ist eine endliche Erweiterung von . Dies ist im Wesentlichen die Aussage des hilbertschen Nullstellensatzes.