Fermatsches Prinzip

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Die Cornu-Spirale illustriert das Beugungsintegral, das dem Fermatschen Prinzip zugrunde liegt.

Das Fermatsche Prinzip (nach Pierre de Fermat) besagt, dass Licht in einem Medium zwischen zwei Punkten Wege nimmt, auf denen seine Laufzeit sich bei kleinen Variationen des Weges nicht ändert. Insbesondere ist die Optische Weglänge extremal, d. h. die längste oder kürzeste. Es wird auch Prinzip des extremalen optischen Weges oder Prinzip der extremalen Laufzeit genannt. Die Ursache liegt in der Wellennatur des Lichts und der damit verbundenen Interferenz. Auf nicht extremalen Wegen variiert die Weglänge stark bei kleinen Variationen des Weges, die Interferenz ist folglich destruktiv.

Aus dem Fermatschen Prinzip lassen sich das snelliussche Brechungsgesetz und das Reflexionsgesetz herleiten. Außerdem ergibt sich, dass Lichtstrahlen in jedem homogenen Medium gerade verlaufen. Dies leistet auch das Huygenssche Prinzip, das die lokale Variante des Fermatschen Prinzips darstellt.

Ein verwandtes Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Rettungsschwimmer erreicht den Ertrinkenden am schnellsten, wenn er den grünen Weg nimmt.

Die Herleitung des Brechungsgesetzes aus dem Fermatschen Prinzip ist verwandt mit der Frage, welchen Weg ein Rettungsschwimmer nehmen sollte, der jemanden aus dem Wasser retten will. Ziel ist es natürlich, dem Ertrinkenden möglichst schnell zu Hilfe zu kommen. Dazu läuft der Rettungsschwimmer schnell am Strand auf einen Punkt zu, von dem aus der Weg durch das Wasser kurz ist, da er sich dort nur langsam fortbewegen kann. Läuft er aber zu weit, dann wird der Anteil des Weges im Wasser kaum noch kürzer, aber die Strecke an Land deutlich länger. Der im Bild grün eingezeichnete Weg ist der insgesamt schnellste.

Der Rettungsschwimmer muss aber nicht lange überlegen, denn wenn er den optimalen Punkt knapp verfehlt, ist die Zeit kaum länger, direkt am optimalen Punkt ändert sich die Zeit bei einer kleinen Variation gar nicht. Diese Unempfindlichkeit gegenüber kleinen Variationen ist eine Besonderheit des schnellsten Wegs. Sie ist der Kern des Fermatschen Prinzips.

Herleitung des Brechungsgesetzes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Brechungsgesetzes am Beispiel des Übergangs von einem Material zu einem Material höherem Brechungsindex

Aus dem Fermatschen Prinzip lässt sich sehr elegant das Brechungsgesetz von Snellius herleiten:

In der Abbildung rechts legt der Lichtstrahl den Weg von links oben über nach rechts unten zurück. Im oberen Medium sei die Lichtgeschwindigkeit und im unteren Teil . Damit ergibt sich für die Laufzeit:

Durch Ableiten nach finden wir die Extremalwerte von .

Es ist und . Damit folgt:

(Ohne Beweis: Es ist die minimale Laufzeit)

Lichtstrahlen folgen diesem Brechungsgesetz, weil es der schnellste Weg von nach ist.

Es stellt sich die berechtigte Frage, woher das Licht im Voraus weiß, welches der schnellste Weg ist. Die Quantenmechanik liefert darauf folgende Antwort:

Es probiert sie alle aus, und zwar gleichzeitig.

Vereinfacht kann man sagen, die Beiträge aller Alternativ-Wege löschen sich durch inkohärente Überlagerung aus.

Herleitung des Reflexionsgesetzes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Herleitung des Reflexionsgesetzes

Ebenso wie das Brechungsgesetz lässt sich auch das Reflexionsgesetz mit Hilfe des Fermatschen Prinzips herleiten.

In der rechten Abbildung legt der Lichtstrahl den Weg von links nach rechts über zurück. Da der Strahl immer in einem (homogenen) Medium bleibt gilt immer die Lichtgeschwindigkeit .

Damit ergibt sich für die Laufzeit:

Durch Ableiten nach finden wir den Extremalwerte von .

Es ist und . Nach Einsetzung dieser beiden Formeln erhält man:

Weil und zwei Winkel im Intervall sind und der Sinus in diesem Intervall injektiv ist, folgt das Reflexionsgesetz:

(Ohne Beweis: Es ist die minimale Laufzeit)

Lichtstrahlen folgen diesem Reflexionsgesetz, weil es der schnellste Weg von nach ist.

Allgemeine mathematische Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mathematisch beschrieben, durchläuft das Licht in einem Medium, mit dem Brechungsindex , von allen möglichen Bahnen zwischen zwei Punkten und genau die Bahn, auf der die Laufzeit

stationär ist. Die Größe ist die Lichtlaufzeit zwischen beiden Punkten. Dies entspricht dem Hamiltonschen Prinzip der stationären Wirkung.

Das Fermatsche Prinzip am Beispiel einer Ellipse

Meist ist die Lichtlaufzeit ein Minimum, das heißt: Jede kleine Änderung der Bahn vergrößert die Laufzeit. Dies muss aber nicht immer so sein, wie die rechte Abbildung zeigt. Für eine Bahn zwischen den zwei Brennpunkten und einer Ellipse sind drei mögliche Fälle eingezeichnet. Für eine beliebige Oberfläche am Rand dieser Ellipse gilt:

  1. Bei Reflexion an einer Fläche mit einer geringeren Krümmung als jene der Ellipsoidfläche ist die Laufzeit minimal.
  2. Bei Reflexion an der Ellipsoidfläche sind alle Punkte auf der Fläche gleichwertig: Bei Verschieben des Reflexionspunkts auf der Ellipsoidfläche ändert sich die Laufzeit nicht.
  3. Bei Reflexion an einer Fläche mit einer größeren Krümmung als jene der Ellipsoidfläche ist die Laufdauer, verglichen mit anderen Reflexionspunkten auf dieser Fläche, maximal. Dies tritt zum Beispiel bei Reflexion an einem Hohlspiegel auf.

Das Fermatsche Prinzip in einem inhomogenen Medium[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In einem inhomogenen Medium mit ortsabhängigem Brechungsindex durchläuft das Licht gekrümmte Bahnen. Daher erscheint zum Beispiel die untergehende Sonne abgeflacht: die Lichtstrahlen vom oberen Rand der Sonne werden weniger gebrochen als die vom unteren Rand.

Das Phänomen der Fata Morgana hat seine Ursache ebenfalls in einem optisch inhomogenen Medium. Über heißem Boden, etwa einer sonnenbeschienenen Straße, bildet sich eine heiße Luftschicht, deren Brechungsindex geringer ist als die der kühleren Luft darüber. Die Lichtstrahlen, die flach auf die heiße Luftschicht treffen, werden nach oben zurück reflektiert.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Florian Scheck: Theoretische Physik 3. Klassische Feldtheorie. ISBN 3-540-42276-5 (Kapitel 4.4 Geometrische Optik, 4.4.3 Medien mit negativem Brechungsindex).
  • Roger Erb: Geometrische Optik mit dem Fermat-Prinzip In: Physik in der Schule. 30, Nr. 9, 1992, S. 291–295.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]