Freier Modul

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Im mathematischen Teilgebiet der Algebra ist ein freier Modul ein Modul, der eine Basis besitzt. Damit ist der Begriff des freien Moduls eine Verallgemeinerung der Begriffe Vektorraum oder freie abelsche Gruppe.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Familie von Elementen eines Moduls (oder allgemeiner eines Linksmoduls) über einem Ring heißt linear unabhängig oder frei, wenn für jede endliche Indexmenge und alle gilt:

Erzeugen die zugleich den Modul , so heißt eine Basis (von ) und der Modul heißt der freie -Modul über oder auch einfach frei.

Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Erste Beispiele und Gegenbeispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Jeder Ring ist über sich selbst frei. Das heißt ist freier Rechtsmodul. Entsprechend ist ein freier Linksmodul.
  2. Ist , so ist der -Modul nicht frei. Der -Modul ist torsionsfrei, aber nicht frei (freie Moduln sind immer torsionsfrei).
  3. Ist eine natürliche Zahl, so ist ein freier Modul. Eine Basis ist die Familie . Dabei ist die -te Komponente von gleich , alle anderen Komponenten sind . Dieses Beispiel ordnet sich folgender Situation unter. Ist eine beliebige Menge, und eine Familie von Moduln, so ist das Koprodukt genau dann frei, wenn alle frei sind. Insbesondere ist frei.
  4. Das Produkt einer Familie von freien Moduln ist im Allgemeinen nicht frei. So ist beispielsweise nicht frei.[1]
  5. Der Polynomring über dem Ring ist ein freier Modul mit Basis .
  6. Die Menge der positiven rationalen Zahlen ist bezüglich der Multiplikation eine kommutative Gruppe. Wegen der eindeutigen Primfaktorzerlegung lässt sich jedes eindeutig schreiben mit Primzahlen . Es ist also eine freie abelsche Gruppe mit abzählbarer Basis.
  7. Der Ring ist genau dann ein Schiefkörper, wenn jeder Modul über diesem Ring frei ist.

Der Rang eines freien Moduls[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Viele der Sätze über Basen von Vektorräumen gelten bei freien Moduln nicht mehr:

  1. Ist ein Vektorraum über dem Körper mit einer Basis von Elementen, so ist jedes System von freien Elementen auch ein Erzeugendensystem, also eine Basis. Über Ringen gilt das im Allgemeinen nicht: So ist beispielsweise im -Modul die Menge frei, aber keine Basis.
  2. Ist ein Vektorraum, so sind je zwei Basen gleich mächtig. Dies gilt noch bei kommutativen Ringen. Ist also der Ring kommutativ und , so ist . Einen kurzen relativ elementaren Beweis hierzu findet man in dem Buch von Jens Carsten Jantzen und Joachim Schwermer.[2] Über nicht kommutativen Ringen ist der Satz im Allgemeinen falsch. In dem genannten Buch ist ein Beispiel hierzu angegeben. Man kann daher den Rang eines freien Moduls nicht allgemein definieren. Ringe, bei denen je zwei Basen eines freien Moduls gleich mächtig sind, heißen IBN-Ringe.[3] Noethersche Ringe haben diese Eigenschaft.
  3. Es gilt allgemeiner: Ist ein Homomorphismus von Ringen und ist ein IBN-Ring, so auch . Gibt es also beispielsweise von einen Ringhomomorphismus nach einem noetherschen Ring , so ist ein IBN-Ring.

Eigenschaften freier Moduln[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allgemeine Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Ist eine Familie von Elementen aus dem Modul , so gibt es genau einen Homomorphismus mit . Dabei ist eine Basis (im Zweifel die kanonische) von . Erzeugt die Familie den Modul , so ist ein Epimorphismus. Jeder Modul ist also epimorphes Bild eines freien Moduls.
  2. Ist ein freier Modul und ein Epimorphismus, so ist direkter Summand in . Es gibt ein mit .
  3. Die Aussage 1. kann allgemeiner und zugleich genauer ausgedrückt werden. Zu jeder Menge gehört der freie Modul und die kanonische injektive Abbildung . Ist eine weitere Menge und eine Abbildung zwischen den Mengen, so gibt es zu der Familie genau einen Homomorphismus , so dass gilt. Das heißt folgendes Diagramm ist kommutativ:
    Funktorinfreiesobjekt.png
    Sind Abbildungen, so ist . In der Sprache der Kategorientheorie lässt sich das so ausdrücken: ist ein treuer Funktor von der Kategorie der Mengen in die Kategorie der freien Moduln. ist ein funktorieller Monomorphismus zwischen dem Identitätsfunktor und dem Funktor .
  4. Wie in 3. gehört zu jedem Modul der freie Modul . Dazu gehört der eindeutig bestimmte Epimorphismus . Für alle ist . Es ist ein funktorieller Epimorphismus zwischen dem Funktor und dem Identitätsfunktor.

Freie Moduln über besondere Ringen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Über Hauptidealringen ist jeder Untermodul eines freien Moduls wieder frei.
  2. Über lokalen Ringen sind alle direkte Summanden von freien Moduln (das sind projektive Moduln) frei.

Konstruktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zu jeder Menge und jedem Ring gibt es den freien -Linksmodul über . Sein Träger ist die Menge der formalen Linearkombinationen von -Elementen, kodiert etwa als . Addition und Skalarmultiplikation erfolgen dabei punktweise:

Die Elemente von sind hierbei keine Elemente von . Wenn eine (oder auch nur eine Links-Erzeugende mit ) hat, so dass lassen sie sich aber einbetten mittels

Der freie -Rechtsmodul ist der freie -Linksmodul, wobei den Gegenring von bezeichnet.

Abschwächungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das folgende Diagramm setzt die Freiheit eines Moduls über einem kommutativen Ring mit den Eigenschaften projektiv, flach und torsionsfrei in Beziehung:

Moduleigenschaften kommutative Algebra.svg

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Tsit-Yuen Lam: Lectures on modules and rings. GTM 189, Springer, 1999, ISBN 0-387-98428-3.
  • Friedrich Kasch: Moduln und Ringe. Teubner, Stuttgart 1977, ISBN 3-519-02211-7.
  • Robert Wisbauer: Grundlagen der Modul- und Ringtheorie. Reinhard Fischer, München 1988, ISBN 3-88927-044-1.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Tsit-Yuen Lam: Lectures on modules and rings. GTM 189, Springer, 1999, ISBN 0-387-98428-3, S. 22 f.
  2. Jens Carsten Jantzen, Joachim Schwermer: Algebra, Springer, 2006, ISBN 3-540-21380-5, doi:10.1007/3-540-29287-X, Seite 194
  3. Siehe hierzu den Artikel en:Invariant basis number