Basis (Modul)

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Der Begriff der Basis eines Moduls ist im mathematischen Teilgebiet der Algebra eine Verallgemeinerung des Begriffes der Basis eines Vektorraumes. Wie bei diesen wird eine Basis eines Moduls als linear unabhängiges Erzeugendensystem definiert; im Gegensatz zu Vektorräumen besitzt allerdings nicht jeder Modul eine Basis.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein System von Elementen eines Moduls über einem Ring mit Einselement definiert eine Abbildung

von der direkten Summe von Kopien von nach , die von den Abbildungen

induziert wird.

  • Ist injektiv, so heißt linear unabhängig.
  • Ist surjektiv, so heißt ein Erzeugendensystem.
  • Ist bijektiv, so heißt eine Basis von .

Eine Basis ist also ein linear unabhängiges Erzeugendensystem.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die lineare Unabhängigkeit von ist äquivalent dazu, dass sich die 0 nur als die triviale Linearkombination darstellen lässt:

Ist eine Menge linear abhängig, so folgt daraus – im Gegensatz zum Fall von Vektorräumen – im Allgemeinen nicht, dass sich eines der Elemente als Linearkombination der anderen darstellen lässt. Das hat die folgenden Konsequenzen:

  • Eine linear unabhängige Teilmenge lässt sich im Allgemeinen nicht zu einer Basis ergänzen.
  • Eine maximal linear unabhängige Teilmenge ist im Allgemeinen keine Basis.
  • Ein minimales Erzeugendensystem ist im Allgemeinen keine Basis.

Als Beispiele betrachte man den -Modul : Das System {2} ist maximal linear unabhängig, das System {2,3} ist ein minimales Erzeugendensystem, keines der beiden ist eine Basis.

Ein Modul über einem Ring mit Einselement besitzt genau dann eine Basis, wenn er frei ist. Der Begriff freier Modul ist eine Verallgemeinerung der Basisexistenz auf Moduln, deren Grundring nicht notwendig ein Einselement hat. Über Hauptidealringen ist jeder Untermodul eines freien Moduls wieder frei.

Induktive Berechnung einer Basis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein freier Modul über einem Hauptidealring und ein Untermodul von , dann kann eine Basis von induktiv berechnet werden:

Sei eine Basis von , betrachte .

Das Ideal werde von dem Ringelement erzeugt und es sei

,

dann gilt .

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein -Modul und der Untermodul definiert durch .

Eine Basis von kann nun wie folgt berechnet werden:

Wir suchen nun das kleinste positive , welches obige Gleichung erfüllt.

Wir suchen das kleinste positive , welches die Gleichung erfüllt.

Wir haben eine Basis gefunden.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

ℤ als ℤ-Modul[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei die abelsche Gruppe der ganzen Zahlen als Modul über dem Ring der ganzen Zahlen. Dann ist

  • eine maximale linear unabhängige Teilmenge, aber kein Erzeugendensystem.
  • ein minimales Erzeugendensystem, aber nicht linear unabhängig.

Die einzigen Basen von sind und .

Gitter in ℝn als ℤ-Modul[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gitter mit Basisvektoren und

Es seien linear unabhängige Vektoren des euklidischen Vektorraums . Dann nennt man den -Modul

ein Gitter mit Basis vom Rang .

Gitter in spielen eine zentrale Rolle in der Theorie der elliptischen Funktionen und elliptischen Kurven, Gitter in stehen in Beziehung zu komplexen Tori und abelschen Varietäten.