Geschwindigkeitspotential

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Das Geschwindigkeitspotential führt man für wirbelfreie, zwei- und dreidimensionale Strömungen der Fluiddynamik ein. Mit ihm vereinfachen sich die Rechnungen und man gewinnt ein tieferes mathematisch-physikalisches Verständnis. Das Geschwindigkeitspotential der Fluiddynamik entspricht mathematisch dem elektrostatischen bzw. dem Gravitationspotential.

Dieser Artikel behandelt den zweidimensionalen Fall - der dreidimensionale ist im Artikel Potentialströmung dargestellt.

Löst man die Gleichung , so erhält man die Äquipotentiallinien des Strömungsfeldes.

Außerdem führt man die Stromfunktion ein, deren anschauliche Bedeutung darin besteht, dass die Lösungen der Gleichung die Stromlinien des Geschwindigkeitspotentiales darstellen.

Aus dem Geschwindigkeitspotential und der Stromfunktion bildet man das komplexe Geschwindigkeitspotential.

Grundlagen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für ein wirbelfreies zweidimensionales Strömungsfeld gilt, dass die Rotation gleich 0 ist:

Ähnlich wie im Fall des elektrostatischen Potentials führt man nun das Geschwindigkeitspotential ein. Der Gradient dieses Potentials ist dabei gerade das Strömungsfeld:

Wegen ist das Strömungsfeld automatisch wirbelfrei.

Ferner gilt für das Geschwindigkeitsfeld im Falle einer inkompressiblen Strömung auch die Kontinuitätsgleichung:

Setzt man darin die Definition des Geschwindigkeitspotentials ein, so sieht man, dass die Laplace-Gleichung (als Sonderfall der Poisson-Gleichung) erfüllt:

Die Stromfunktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Stromfunktion

Das Geschwindigkeitspotential wurde so eingeführt, dass die Wirbelfreiheit automatisch erfüllt ist. Allerdings musste die Erfüllung der Kontinuitätsgleichung bzw. der Laplace-Gleichung explizit gefordert werden.

Nun führt man die Stromfunktion ein, die definiert ist durch:

Aus dieser Definition sieht man, dass die Kontinuitätsgleichung automatisch erfüllt ist:

Die Rotationsfreiheit muss allerdings explizit gefordert werden:

Die Stromfunktion erfüllt in wirbelfreien Strömungen ebenfalls die Laplace-Gleichung.

Komplexes Geschwindigkeitspotential[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit den Definitionen von Geschwindigkeitspotential und Stromfunktion ergibt sich:

Dies ist exakt von der Form der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen für eine holomorphe Funktion, mit Realteil und Imaginärteil . Somit führt man das komplexe Geschwindigkeitspotential ein:

Damit erfüllt das komplexe Geschwindigkeitspotential ebenfalls die Laplace-Gleichung:

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]