Gleichheit (Mathematik)

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Gleichheit, in Formeln als Gleichheitszeichen“ geschrieben, bedeutet in der Mathematik vollständige Übereinstimmung. Ein mathematisches Objekt ist nur sich selbst gleich. Es kann natürlich verschiedene Bezeichnungen und Beschreibungen für dasselbe Objekt geben, etwa verschiedene arithmetische Ausdrücke für dieselbe Zahl, verschiedene Definitionen derselben geometrischen Figur oder verschiedene Aufgabenstellungen, die dieselbe eindeutige Lösung haben.

Was dasselbe ist, ist austauschbar. Ist für zwei Terme und , dann gilt:

  • Wird in einer Aussage, in der als Bestandteil vorkommt, ein Vorkommen von durch ersetzt, so ändert sich an der Wahrheit oder Falschheit der Aussage nichts.
  • Wird in einem Term, in dem als Bestandteil vorkommt, ein Vorkommen von durch ersetzt, so ist der so abgeänderte Term gleich dem ursprünglichen.

Dieses Prinzip „Gleiches darf durch Gleiches ersetzt werden“ wird unter anderem bei algebraischen Umformungen benutzt. Wird etwa ein Term, der in einem anderen Term oder in einer Formel enthalten ist, vereinfacht oder berechnet und das Ergebnis an der Herkunftsstelle wieder eingesetzt, so ist das eine Anwendung dieses Prinzips, und ebenso, wenn auf beide Seiten einer Gleichung dieselbe Operation angewandt wird. Solche Umformungen sind schon seit dem Altertum zur Lösung algebraischer Aufgaben benutzt worden, z.B. bei Diophant und bei al-Chwarizmi.[1]

Objekte, die in dieser Weise in jedem Zusammenhang ununterscheidbar und austauschbar sind, werden im Sprachgebrauch des täglichen Lebens als identisch (oder dasselbe) bezeichnet, was mehr aussagt als nur gleich (oder das gleiche) . Dort, aber nicht in der Mathematik, bedeutet Gleichheit nur eine Übereinstimmung in allen im jeweiligen Zusammenhang relevanten Merkmalen, aber keine Identität – ein Sachverhalt, den man in der Mathematik als Äquivalenz oder Kongruenz, aber nicht als Gleichheit bezeichnet.

Gleichheit ist ein grundlegender Begriff in der gesamten Mathematik und wird daher nicht in den einzelnen Teilgebieten der Mathematik, sondern in der mathematischen Logik untersucht. Der Begriff der Identität wird dagegen in der Mathematik nur selten im Sinne von Gleichheit benutzt.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Helmuth Gericke: Mathematik in Antike und Orient. 4. Auflage. Fourier, Wiesbaden 1996, ISBN 3-925037-64-0, S. 144, 198.