Minkowski-Ungleichung

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Die Minkowski-Ungleichung ist eine Aussage der Funktionalanalysis. Sie besagt, dass die Dreiecksungleichung in den Lp-Räumen gilt und liefert damit, dass es sich bei diesen Räumen um normierte Räume handelt.

Sie ist nach Hermann Minkowski benannt, der die Ungleichung für unendliche Summen erstmals 1896 im ersten Band seiner Geometrie der Zahlen zeigte[1].

Formulierung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben sei ein Maßraum , eine Zahl sowie messbare Funktion en , wobei oder ist. Mit der Vereinbarung für definiert man für

und für

,

das wesentliche Supremum der Funktion . Die Minkowski-Ungleichung lautet dann

für beliebige messbare und .

Sind speziell die (beziehungsweise in ), so ist die -Norm (beziehungsweise die -Halbnorm) und die Minkowski-Ungleichung lautet

Im Fall liegt Gleichheit genau dann vor, wenn f und g positiv linear abhängig sind (d.h. es gibt mit oder ).

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Minkowski-Ungleichung ist für und trivial. Es sei daher . Da eine konvexe Funktion ist, gilt

und daher .

Sei im Folgenden ohne Beschränkung der Allgemeinheit . Es gilt:

Sei . Dann ist q der zu p konjugierte Hölder-Exponent, es gilt:

Nach der Hölder-Ungleichung gilt:

Dies impliziert die Minkowski-Ungleichung nach Multiplikation beider Seiten mit .

Spezialfall[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wie die Höldersche Ungleichung kann auch die Minkowski-Ungleichung auf Folgen (im ersten Bsp. unten: endliche Folgen, also n-Tupel mit reellen (oder komplexen) Einträgen) spezialisiert werden, indem man das Zählmaß verwendet:

für alle reellen (oder komplexen) Zahlen , . Die Minkowski-Ungleichung ist somit die Dreiecksungleichung für die p-Normen. Allgemein kann man, für unendliche Folgen , , auch

schreiben. (Dies gilt stets: Denn wenn eine der beiden Summen rechterhand divergiert, so gilt die Ungleichung dann wegen für alle .)

Verallgemeinerung (Minkowski-Ungleichung für Integrale)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien und zwei Maßräume und eine messbare Funktion, dann gilt (Minkowski-Ungleichung für Integrale):

für . Ist und beide Seiten endlich, so gilt Gleichheit genau dann, wenn sich als Produkt zweier messbarer Funktionen und schreiben lässt.

Wählen wir als die zwei-elementige Menge mit dem zählenden Maß, so erhalten wir als Spezialfall wieder die übliche Minkowski-Ungleichung, mit für ist nämlich

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 2009, S. 226.