Minkowski-Ungleichung

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Die Minkowski-Ungleichung, auch als Minkowski'sche Ungleichung oder Ungleichung von Minkowski bezeichnet, ist eine Ungleichung im Grenzgebiet zwischen der Maßtheorie und der Funktionalanalysis, zwei Teilbereichen der Mathematik. Sie wird in unterschiedlichen Versionen formuliert, meist für den Folgenraum sowie die Lebesgue-Räume und . In diesen Räumen entspricht sie der Dreiecksungleichung und macht diese somit zu normierten Räumen (im Falle von zu einem halbnormierten Raum).

Sie ist nach Hermann Minkowski benannt, der die Ungleichung für unendliche Summen erstmals 1896 im ersten Band seiner Geometrie der Zahlen zeigte. [1]

Formulierung für Lp-Räume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei und der entsprechende Lp-Raum. Es sei die entsprechende -Norm. Für ein ist also

.

Hierbei bezeichnet das wesentliche Supremum. Die Minkowski-Ungleichung besagt dann:[2]

Ist und , so gilt
.

Die Ungleichung gilt auch in (siehe Lp-Raum#Definition). Die -(Halb-)Norm wird identisch wie die -Norm definiert, aber mit bezeichnet. Die Minkowski-Ungleichung besagt dann:[3]

Ist und , so gilt
.

Formulierung für messbare Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Minkowski-Ungleichung lässt sich auch etwas allgemeiner für messbare Funktionen formulieren. Mit den Vereinbarungen für definiert man

,

wobei eine messbare Funktion von dem Maßraum nach ist. Hierbei ist oder . Dann lautet die Minkwoski-Ungleichung:[1]

Sind die Funktionen von nach beide messbar, so gilt
.

Formulierung für Folgen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Minkowski-Ungleichung gilt auch für Folgen in oder in , unabhängig davon, ob die Folgen konvergieren. Sie lautet dann

für . [1]

Beschränkt man sich auf den passenden Folgenraum mit der Norm

,

so lautet die Minkowski-Ungleichung

.

für Folgen aus . Dies kann als Sonderfall der Ungleichung für den angesehen werden, wenn man als Grundmenge die natürlichen Zahlen wählt und als Maß das Zählmaß.

Beweis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Minkowski-Ungleichung ist für und trivial. Es sei daher . Da eine konvexe Funktion ist, gilt

und daher .

Sei im Folgenden ohne Beschränkung der Allgemeinheit . Es gilt:

Sei . Dann ist q der zu p konjugierte Hölder-Exponent, es gilt:

Nach der Hölder-Ungleichung gilt:

Dies impliziert die Minkowski-Ungleichung nach Multiplikation beider Seiten mit .

Verallgemeinerung (Minkowski-Ungleichung für Integrale)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien und zwei Maßräume und eine messbare Funktion, dann gilt (Minkowski-Ungleichung für Integrale):

für . Ist und beide Seiten endlich, so gilt Gleichheit genau dann, wenn sich als Produkt zweier messbarer Funktionen und schreiben lässt.

Wählen wir als die zwei-elementige Menge mit dem zählenden Maß, so erhalten wir als Spezialfall wieder die übliche Minkowski-Ungleichung, mit für ist nämlich

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. 1. Auflage. Birkhäuser-Verlag Basel Boston Berlin, 2001, ISBN 3-7643-6613-3

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. a b c Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, S. 224–226, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.
  2. Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. 6. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-22260-3, S. 57, doi:10.1007/978-3-642-22261-0.
  3. Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 154, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.