Höhenfußpunktdreieck

Höhen­fußpunkt­dreieck mit Höhenfußpunkten H_a, H_b und H_c

Das Höhenfußpunktdreieck (seltener: orthisches Dreieck) ist ein Begriff aus der Dreiecksgeometrie. Es entsteht dadurch, dass die Fußpunkte der drei Höhen (also die Punkte $H_{a}$, $H_{b}$ und $H_{c}$, in denen die Lote von den Ecken des Dreiecks auf die gegenüber liegenden Seiten diese Seiten schneiden) miteinander verbunden werden. Im Sonderfall eines rechtwinkligen Dreiecks ist das Höhenfußpunktdreieck entartet, da dann zwei Fußpunkte zusammenfallen. Das Höhenfußpunktdreieck ist das zum Höhenschnittpunkt (Orthozentrum) gehörige Fußpunktdreieck.

Eigenschaften

Die Höhen des Referenzdreiecks als Seitenhalbierende des Höhenfußpunktdreiecks

Höhen­fußpunkt­dreieck mit Höhenfußpunkten H_a, H_b und H_c, Euler-Geraden e_a, e_b und e_c mit demeinsamen Schnittpunkt P auf dem Feuerbachkreis

• Jede Höhe des ursprünglichen Dreiecks halbiert entweder einen Innenwinkel oder einen Außenwinkel des Höhenfußpunktdreiecks. Daher stimmt für ein spitzwinkliges Dreieck ABC der Höhenschnittpunkt H dieses Dreiecks mit dem Inkreismittelpunkt des Höhenfußpunktdreiecks überein. Ist das Dreieck ABC dagegen stumpfwinklig, so ist H gleich einem der Ankreismittelpunkte des Fußpunktdreiecks.
• Der Umkreis des Höhenfußpunktdreiecks ist der Feuerbach-Kreis des ursprünglichen Dreiecks.
• Die Dreiecke $AH_{b}H_{c}$, $BH_{a}H_{c}$ und $CH_{a}H_{b}$ sind alle ähnlich zum Referenzdreieck $ABC$ aber mit unterschiedlicher Orientierung.
• Die Euler-Geraden der Dreiecke $AH_{b}H_{c}$, $BH_{a}H_{c}$ und $CH_{a}H_{b}$ schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt, der auf dem Feuerbachkreis des Referenzdreiecks $ABC$ liegt.
• Das Tangentendreieck $Q_{a}Q_{b}Q_{c}$ des Referenzdreiecks $ABC$ ist ähnlich zu dem Höhenfußpunktdreieck $H_{a}H_{b}H_{c}$ und die entsprechenden Dreiecksseiten sind parallel, das heißt $Q_{a}Q_{b}\parallel H_{a}H_{b}$, $Q_{b}Q_{c}\parallel H_{b}H_{c}$ und $Q_{a}Q_{c}\parallel H_{a}H_{c}$.
• Fagnano-Problem: Unter allen Dreiecken, die einem spitzwinkligen Dreieck einbeschrieben sind, hat das Höhenfußpunktdreieck den kleinsten Umfang.

Siehe auch

• Ausgezeichnete Punkte im Dreieck

Literatur

• Harold S. M. Coxeter, Samuel L. Greitzer: Zeitlose Geometrie. Klett, Stuttgart 1983, ISBN 3-12-983390-0.
• Boris Pritsker: Geometrical Kaleidoscope. Dover, 2017, ISBN 978-0-486-81241-0, S. 24–34

Weblinks

Commons: Höhenfußpunktdreieck – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

• Hoehenfußpunkte – eine Visualisierung mit GeoGebra
• Eric W. Weisstein: Orthic Triangle. In: MathWorld (englisch).
• Orthic Triangle (PDF; 104 kB)