Lot (Mathematik)

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Lot von einem Punkt auf eine Gerade mit Lotfußpunkt

Ein Lot ist in der Geometrie eine Strecke oder Gerade, die auf einer gegebenen Geraden oder Ebene senkrecht steht. Je nachdem, ob es sich um eine Gerade oder um eine Strecke handelt, spricht man auch von Lotgerade oder Lotstrecke. Der Schnittpunkt des Lots mit der gegebenen Geraden oder Ebene wird Lotfußpunkt genannt. Das Lot kann auf verschiedene Weisen mit Zirkel und Lineal geometrisch konstruiert werden. Berechnet werden kann es mit Hilfe der Vektorrechnung und des Skalarproduktes, das ein einfaches Mittel ist, um die Orthogonalität zweier Vektoren festzustellen. Die Länge der Lotstrecke ist dann gerade der Abstand (Normalabstand) eines Punkts von der Gerade oder Ebene.

Spezielle Lotgeraden/Lotebenen sind die Mittelsenkrechte zweier Punkte in der Ebene/Raum.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Strecke oder Gerade heißt Lot auf eine Gerade oder Ebene , wenn

  bzw.  

gilt, wenn sie also senkrecht auf der Geraden oder Ebene steht, also mit ihr einen rechten Winkel bildet. Der Lotfußpunkt ist dann der Schnittpunkt bzw. des Lots mit der Geraden oder Ebene.

Geometrische Konstruktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In zwei Dimensionen lässt sich das Lot auf eine Gerade auf einfache Weise mit Zirkel und Lineal konstruieren. Je nachdem, ob ein gegebener Punkt auf der Geraden oder außerhalb liegt, spricht man vom Errichten oder vom Fällen des Lots.

Errichten des Lots[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein Punkt auf der Geraden gegeben, dann findet man die Lotgerade durch diesen Punkt wie folgt:

Man sticht den Zirkel in den Punkt ein und bestimmt durch Ziehen eines Kreisbogens mit beliebigem Radius zwei Punkte auf mit gleichem Abstand von . Dann vergrößert man den Winkel des Zirkels, sticht ihn jeweils in einen der beiden gefundenen Punkte auf ein und findet durch Ziehen zweier Kreisbögen einen Punkt (von zwei möglichen) außerhalb der Geraden mit gleichem Abstand von den beiden Punkten. Die Gerade, die durch diesen Punkt und den gegebenen Punkt verläuft, ist dann die Lotgerade zu durch .

Eine Alternative, auf einer Geraden durch den Punkt mit eingeschränkten Platzverhältnissen ein Lot zu errichten, zeigt das rechte Bild. Die einfache Konstruktion lässt sich auf folgende Art und Weise beschreiben: Man schlägt um einen frei wählbaren Punkt einen Kreisbogen mit dem Radius , bis er die Gerade in schneidet (bspw. kann man so wählen, dass eine gedachte Linie von zu mit der Geraden einen Winkel von ca. 45° bildet). Es folgt das Zeichnen einer Linie ab durch , bis sie den Kreisbogen in schneidet. Die abschließende Linie, die durch und verläuft, ist dann die Lotgerade zu durch .

Errichten eines Lots als Mittelsenkrechte zweier Punkte.
Errichten eines Lots mithilfe des Thaleskreises. Die Position des Punktes ist frei wählbar.

Fällen des Lots[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Fällen des Lots
Alternative Methode zum Fällen des Lots

Ist ein Punkt außerhalb der Geraden gegeben, dann findet man das Lot durch auf wie folgt: Man sticht den Zirkel in den Punkt ein und bestimmt durch Ziehen eines Kreisbogens mit hinreichend großem Radius zwei Punkte auf mit gleichem Abstand von . Dann sticht man jeweils in einen der beiden gefundenen Punkte auf ein und findet durch Ziehen zweier Kreisbögen (mit hinreichend großem Radius) einen weiteren Punkt mit gleichem Abstand von den beiden Punkten. Die Gerade, die durch diesen Punkt und den gegebenen Punkt verläuft, ist dann die Lotgerade zu durch und der Schnittpunkt dieser Lotgeraden mit ist der Lotfußpunkt .

Eine alternative Konstruktion, von einem gegebenen Punkt das Lot auf eine Gerade zu fällen, besteht darin, den Zirkel an zwei beliebigen Punkten und auf der Geraden einzustechen und jeweils den Kreis, der durch den gegebenen Punkt verläuft, einzuzeichnen. Diese beiden Kreise schneiden sich dann in einem weiteren Punkt außerhalb der Gerade und die Linie die durch und verläuft, ist dann die Lotgerade durch . Diese Konstruktion kann auch für Spiegelungen benutzt werden.

Berechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Ebene[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lotgerade (rot) zu einer Gerade und einem Punkt

Lotgerade, Fußpunkt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für einen Punkt und eine Gerade in der Ebene hat diejenige Gerade (Lotgerade) durch , die auf senkrecht steht, die Normalenform

(LG2)

denn der Richtungsvektor der Geraden muss ein Normalenvektor der Lotgeraden sein. Soll der Lotfußpunkt (Schnittpunkt von ) bestimmt werden, setzt man die Parameterdarstellung von in die Gleichung der Lotgeraden ein, löst nach auf und setzt das Ergebnis in die Parameterdarstellung von ein, es ergibt sich:

(LF2)

Andere Vorgaben:
a) Falls die Gerade durch zwei Punkte gegeben ist, kann man setzen.
b) Falls die Gerade durch die Gleichung gegeben ist, hat die Lotgerade durch den Punkt die Gleichung . Der Lotfußpunkt ist der Schnittpunkt beider Geraden. Alternativ kann man und setzen und die obige Formel verwenden.
c) Falls die Gerade durch die Gleichung oder in Normalenform mit beschrieben wird, kann man setzen und für einen der Achsenschnittpunkte wählen.

Mittelsenkrechte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Mittelsenkrechte zweier Punkte ist die Lotgerade durch den Mittelpunkt der Strecke . Mit erhält man aus der Formel (LG2):

(MS)

In Koordinaten ergibt sich für

Im Raum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Punkt und Gerade[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lotebene (rot) zu einer Geraden und einem Punkt

Setzt man in der obigen Formel (LG2) Vektoren aus dem ein, so beschreibt sie diejenige Ebene durch , die auf der Geraden senkrecht steht, also die Lotebene:

(PGLE3)

Der Schnittpunkt der Lotebene mit der Geraden ergibt sich aus der 3-dimensionalen Form der obigen Formel (LF2):

(PGLF3)

ist der Lotfußpunkt.
Die Gerade schneidet die Gerade in senkrecht. Also ist

(PGLG3)

die Lotgerade von auf .

Punkt und Ebene[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Lotgerade (rot) zu einer Ebene und einen Punkt

Für den Punkt und die Ebene ist

(PELG3)

die Lotgerade. Der Schnittpunkt der Lotgeraden mit der Ebene liefert durch Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung den Lotfußpunkt:

(PELF3)

Alternative Vorgabe: Falls die Ebene in der Form gegeben ist, kann man setzen.

Mittellotebene[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Mittellotebene zweier Punkte ist die Lotebene durch den Mittelpunkt der Strecke . Mit erhält man, wie im ebenen Fall (Mittelsenkrechte), aus der Formel (PGLE3):

(MLE)

In Koordinaten ergibt sich für

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Commons: Perpendicular – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien