HNN-Erweiterung

In der Mathematik ist die HNN-Erweiterung eine Konstruktion aus der Gruppentheorie. Die Theorie der HNN-Erweiterungen ist von grundlegender Bedeutung in der kombinatorischen und geometrischen Untersuchung von Gruppen. HNN-Erweiterungen und amalgamierte Produkte bilden die Grundlage der Bass-Serre-Theorie. Sie wurden von Graham Higman, Bernhard Neumann und Hanna Neumann 1949 in dem Artikel "Embedding Theorems for Groups" eingeführt, wo auch einige grundlegende Eigenschaften bewiesen wurden.

Eine HNN-Erweiterung ist eine Inklusion einer gegebenen Gruppe $G$ in eine andere Gruppe $G_{\alpha }$, so dass ein gegebener Isomorphismus zweier Untergruppen $J$ und $K$ von $G$ in $G_{\alpha }$ durch Konjugation mit einem Element $t\in G_{\alpha }$ realisiert wird.

Man spricht in diesem Fall von einer HNN-Erweiterung über der Gruppe $J$, und man spricht von einer nichttrivialen HNN-Erweiterung falls $J\not =G$ ist.

Definition

Gegeben seien eine Gruppe $G$, zwei Untergruppen $J,K\subset G$ und ein Isomorphismus $\alpha \colon J\to K$.

Wenn $G$ die Präsentierung $\langle S|R\rangle$ hat dann wird $G_{\alpha }$, die HNN-Erweiterung von $G$ durch $\alpha$, durch folgende Präsentierung definiert:

$\langle S,t\ |\ R,\ tjt^{-1}=\alpha (j)\ \forall j\in J\rangle$

Weil die Gruppe $G_{\alpha }$ die Erzeuger und Relationen von $G$ enthält ist es klar, dass es einen kanonischen Homomorphismus von $G$ nach $G_{\alpha }$ gibt. Higman, Neumann und Neumann bewiesen, dass dieser Morphismus injektiv ist.

Normalformen und Lemma von Britton

Für Berechnungen ist es oft nützlich, Elemente von $G_{\alpha }$ in eine Normalform bringen zu können. Diese Normalform ist nicht eindeutig, das Lemma von Britton beschreibt exakt, wann zwei Normalformen demselben Element entsprechen.

Normalform:

Jedes Element $w\in G_{\alpha }$ kann geschrieben werden als:

$w=g_{0}t^{\varepsilon _{1}}g_{1}t^{\varepsilon _{2}}\cdots g_{n-1}t^{\varepsilon _{n}}g_{N},\qquad g_{i}\in G,\varepsilon _{i}=\pm 1$

Das Lemma von Britton, bewiesen 1963 in "The word problem" bietet eine Möglichkeit, die nichttrivialen Elemente einer HNN-Erweiterung zu beschreiben:

Lemma von Britton: Sei $w\in G_{\alpha }$ in obiger Normalform, so dass * entweder $N=0$ und $g_{0}\not =1\in G$, * oder $N>0$ und in w kommen keine Teilwörter der Form $tjt^{-1}$ mit $j\in J$ oder $tkt^{-1}$ mit $k\in K$ vor,

dann ist $w\not =1$ in $G_{\alpha }$.

Eigenschaften

Sei $G$ eine Gruppe und $G_{\alpha }$ ihre HNN-Erweiterung mittels eines Isomorphismus $\alpha \colon J\to K$ zweier Untergruppen.

• Wenn $G$ abzählbar ist, dann auch $G_{\alpha }$.
• Wenn $G$ endlich erzeugt ist, dann auch $G_{\alpha }$.
• Wenn $G$ torsionsfrei ist, dann auch $G_{\alpha }$.

Topologische Interpretation

Es sei $X$ ein zusammenhängender Raum mit zwei zusammenhängenden Teilmengen $A,B\subset X$, für die es einen Homöomorphismus $\phi \colon A\to B$ gibt. Wir definieren auf $X$ eine Äquivalenzrelation durch

$x\sim y\Longleftrightarrow x\in A,y\in B,y=\phi (x)$ oder $x\in B,y\in A,y=\phi ^{-1}(x)$

und bezeichnen mit $Y=X/\sim$ den Quotientenraum dieser Äquivalenzrelation. Dann ist die Fundamentalgruppe von $Y$ eine HNN-Erweiterung der Fundamentalgruppe von $X$.

Genauer: sei $x_{0}\in X$ ein Basispunkt, $y_{0}=\left[x_{0}\right]\in X$ und für Basispunkte $a_{0}\in A,b_{0}=\phi (a_{0})\in B$ wähle Wege von $a_{0}$ bzw. $b_{0}$ nach $x_{0}$ und entsprechende Identifizierungen von $\pi _{1}(A,a_{0}),\pi _{1}(B,b_{0})$ mit Untergruppen $J,K\in \pi _{1}(X,x_{0})$. Der Homöomorphismus $\phi$ induziert einen Isomorphismus $\phi _{*}\colon \pi _{1}(A,a_{0})\to \pi _{1}(B,b_{0})$ und damit einen Isomorphismus $\alpha \colon J\to K$. Dann ist

$\pi _{1}(Y,y_{0})=\pi _{1}(X,x_{0})*_{\alpha }$.

Der Beweis benutzt den Satz von Seifert und van Kampen.

Bass-Serre-Theorie

Die HNN-Erweiterung $G_{\alpha }$ kann interpretiert werden als Fundamentalgruppe des Gruppengraphen mit einer Ecke v und einer Kante e, Kantengruppe $G_{e}:=G$, Eckengruppe $G_{v}:=J$ und Monomorphismen

$\alpha _{0},\alpha _{1}\colon G_{e}\to G_{v}$

gegeben durch $\alpha _{0}=id$ und $\alpha _{1}=\alpha$.

Literatur

• H. Zieschang, E. Vogt, H.-D. Coldewey: Flächen und ebene diskontinuierliche Gruppen. (= Lecture Notes in Mathematics. Vol. 122). Springer-Verlag, Berlin / New York 1970, ISBN 3-540-04911-8.
• Jean-Pierre Serre: Arbres, amalgames, SL₂. (= Astérisque. No. 46). Société Mathématique de France, Paris 1977, Kapitel 1.4.
• Ralph Stöcker, Heiner Zieschang: Algebraische Topologie. Eine Einführung. (= Mathematische Leitfäden). 2. Auflage. B. G. Teubner, Stuttgart 1994, ISBN 3-519-12226-X.
• Peter Scott, Terry Wall: Topological methods in group theory. (= London Math. Soc. Lecture Note Ser. 36). Homological group theory (Proc. Sympos., Durham, 1977), Cambridge Univ. Press, Cambridge / New York 1979, ISBN 0-521-22729-1, S. 137–203. (online)
• John Stillwell: Geometry of surfaces. Corrected reprint of the 1992 original. Universitext. Springer-Verlag, New York 1992, ISBN 0-387-97743-0, Kapitel 9.2.2.

Weblinks

• HNN-Extension (Encyclopedia of Mathematics)
• Gruppen und Graphen