Hilbertscher Nullstellensatz

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Der hilbertsche Nullstellensatz stellt in der Mathematik in der klassischen algebraischen Geometrie die zentrale Verbindung zwischen Idealen und affinen algebraischen Varietäten her. Er wurde von David Hilbert bewiesen. Es gibt verschiedene äquivalente Varianten, den Nullstellensatz zu formulieren:

  • Ist ein algebraisch abgeschlossener Körper und ein echtes Ideal, so gibt es ein , so dass
für alle .
ist also eine gemeinsame Nullstelle aller Elemente von .
  • Ist ein algebraisch abgeschlossener Körper und ein Ideal in , dann gilt:
Hierbei bedeutet
  • das Radikal von ,
  • die Menge aller gemeinsamen Nullstellen von (wie oben), und
  • das Ideal aller Polynome, die auf verschwinden.
Die Inklusion ist dabei trivial, denn jede Nullstelle von ist auch Nullstelle von .
  • Es sei ein Körper und ein maximales Ideal in . Dann ist der Grad der Körpererweiterung endlich.
  • Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und ein maximales Ideal in . Dann ist für einen Punkt
  • Es sei ein Körper und eine Körpererweiterung, die als -Algebra endlich erzeugt ist. Dann ist endlich; insbesondere ist die Erweiterung algebraisch.

Aus dem hilbertschen Nullstellensatz folgt, dass die Abbildungen und für einen algebraisch abgeschlossenen Körper eine bijektive Beziehung zwischen affinen algebraischen Mengen in und Radikalidealen in definieren. Diese lässt sich einschränken auf bijektive Beziehungen zwischen irreduziblen algebraischen Mengen und Primidealen und zwischen Punkten in und maximalen Idealen.

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