Hopf-Verschlingung

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Hopf-Verschlingung

In der Knotentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Hopf-Verschlingung (auch Hopf-Link) das einfachste Beispiel einer Verschlingung zweier Kreise.

Hopf-Verschlingung[Bearbeiten]

Die Hopf-Verschlingung ist eine Verschlingung bestehend aus zwei Unknoten (d.h. unverknoteten Kreisen), deren Verschlingungszahl (je nach Orientierung) plus oder minus 1 beträgt.

Ein konkretes Modell sind zum Beispiel die im \R^3 durch (\cos t,\sin t,0) und (\cos t + 1,0,\sin t) parametrisierten Kreise.

Topologie des Komplements[Bearbeiten]

Das Komplement der Hopf-Verschlingung in der 3-Sphäre S^3 ist homöomorph zu S^1\times S^1\times\left[0,1\right]. Die Linkgruppe, also die Fundamentalgruppe des Komplements, ist isomorph zu \Z\oplus\Z, der freien abelschen Gruppe mit zwei Erzeugern.

Invarianten[Bearbeiten]

Das Jones-Polynom ist

V(t)=-t-t^{-1},

das HOMFLY-Polynom ist

P(z,\alpha)=z^{-1}(\alpha^{-1}-\alpha^{-3})-z\alpha^{-1},

die Hopf-Verschlingung ist der (2,2)-Torus-Link und sie ist der Abschluss des Zopfes \sigma_1^2.

Hopf-Faserung und Homotopiegruppen[Bearbeiten]

Heinz Hopf untersuchte 1931 die Hopf-Faserung

h\colon S^3\to S^2

und stellte fest, dass je zwei Fasern eine Hopf-Verschlingung bilden.

Allgemein definierte er für Abbildungen f\colon S^3\to S^2 die heute als Hopf-Invariante bezeichnete Invariante H(f)\in\Z als Verschlingungszahl der Urbilder zweier regulärer Werte von f und er bewies, dass die Zuordnung

Shingon-shu Buzan-ha crest
f\to H(f)

einen Isomorphismus

\pi_3(S^2)\to\Z

ergibt.

Vorkommen in Kunst, Wissenschaft und Philosophie[Bearbeiten]

Catenane
  • Die Hopf-Verschlingung wird von der dem Shingon-shū zuzuordnenden buddhistischen Sekte Buzan-ha als Symbol verwendet.
  • Catenane stellen eine Hopf-Verschlingung dar.
  • Die Hopf-Verschlingung kommt in zahlreichen Skulpturen des japanischen Künstlers Keizo Ushio vor.

Literatur[Bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten]

 Commons: Hopf links – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien