Hopf-Verschlingung

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Hopf-Verschlingung

In der Knotentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Hopf-Verschlingung (auch Hopf-Link) das einfachste Beispiel einer Verschlingung zweier Kreise.

Hopf-Verschlingung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Hopf-Verschlingung ist eine Verschlingung bestehend aus zwei Unknoten (d.h. unverknoteten Kreisen), deren Verschlingungszahl (je nach Orientierung) plus oder minus 1 beträgt.

Ein konkretes Modell sind zum Beispiel die im durch und parametrisierten Kreise.

Topologie des Komplements[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Komplement der Hopf-Verschlingung in der 3-Sphäre ist homöomorph zu . Die Linkgruppe, also die Fundamentalgruppe des Komplements, ist isomorph zu , der freien abelschen Gruppe mit zwei Erzeugern.

Invarianten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Jones-Polynom ist

,

das HOMFLY-Polynom ist

,

die Hopf-Verschlingung ist der -Torus-Link und sie ist der Abschluss des Zopfes .

Hopf-Faserung und Homotopiegruppen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Heinz Hopf untersuchte 1931 die Hopf-Faserung

und stellte fest, dass je zwei Fasern eine Hopf-Verschlingung bilden.

Allgemein definierte er für Abbildungen die heute als Hopf-Invariante bezeichnete Invariante als Verschlingungszahl der Urbilder zweier regulärer Werte von und er bewies, dass die Zuordnung

Shingon-shu Buzan-ha crest

einen Isomorphismus

ergibt.

Vorkommen in Kunst, Wissenschaft und Philosophie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Catenane
  • Die Hopf-Verschlingung wird von der dem Shingon-shū zuzuordnenden buddhistischen Sekte Buzan-ha als Symbol verwendet.
  • Catenane stellen eine Hopf-Verschlingung dar.
  • Die Hopf-Verschlingung kommt in zahlreichen Skulpturen des japanischen Künstlers Keizo Ushio vor.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Hopf links – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien