Inhalt (Polynom)

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Als Inhalt (engl. content) eines Polynoms über einem Ring bezeichnet man den größten gemeinsamen Teiler (in ) der Koeffizienten des Polynoms. Die Abhängigkeit vom Ring ist dabei essentiell.

Eine Anwendung hat dieser Begriff im Satz von Gauß. Dieser stellt den Inhalt eines Produktes von zwei Polynomen in Bezug zum Inhalt seiner Faktoren. Dieses Resultat ist theoretisch sehr interessant, da man damit nachweisen kann, dass Polynomringe in endlich vielen Variablen über faktoriellen Ringen insbesondere über Körpern faktoriell sind. Praktisch kann man den Satz auch nutzen, um Einschränkungen von rationalen Nullstellen eines Polynoms mit ganzen Koeffizienten zu erhalten. Insbesondere lassen sich die Kandidaten für rationale Nullstellen auf endlich viele reduzieren, dies kann bei der Faktorisierung von Polynomen nützlich sein.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

für einen faktoriellen Ring[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein Polynom mit Koeffizienten aus einem beliebigen faktoriellen Ring . Dann ist der Inhalt von und wird im Folgenden mit bezeichnet, wobei in der Literatur teilweise auch die englische Bezeichnung verwendet wird. Der Inhalt ist bis auf eine Einheit eindeutig bestimmt. Weiter wird festgelegt.

für den Quotientenkörper über einem faktoriellen Ring[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein faktorieller Ring und der Quotientenkörper. Die Elemente des Quotientenkörpers kann man mit Hilfe der Primelemente wie folgt schreiben.

mit und paarweise nicht assoziierte Primelemente.

Die auftretenden Exponenten sind eindeutig bestimmt und man kann für jedes Primelement die Bewertung

mit wie oben definieren.

Damit lässt sich nun die Ordnung für ein Polynom mit Koeffizienten aus dem Körper bestimmen.

, wobei .

Weiter lässt sich nun der Inhalt von definieren über

Dabei sei eine maximale Menge paarweise nicht assoziierter Primelemente aus . Zur Vollständigkeit definiert man dann noch

und

Wie im Falle eines Quotientenkörpers ist der Inhalt nur bis auf Assoziiertheit eindeutig bestimmt (eine andere Wahl von führt zur Multiplikation des Inhalts mit einer Einheit aus ).

Die beiden Definitionen stimmen für Polynome über dem Ring überein, die zweite Definition ist eine echte Verallgemeinerung der ersten.

Falls klar ist, aus welchem Ring die Koeffizienten von stammen, schreibt man auch einfach .

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiel 1 (Zur 1. Definition):

Der Inhalt von als Polynom mit Koeffizienten aus ist

oder auch . Fassen wir dagegen als Polynom mit Koeffizienten aus auf, so erhalten wir

oder jede andere rationale Zahl außer der Null.


Beispiel 2 (Zur 2. Definition):

Der Inhalt von als Polynom mit Koeffizienten aus als Quotientenkörper von ist

oder auch . Fassen wir dagegen als Polynom mit Koeffizienten aus auf, so erhalten wir

oder jede andere rationale Zahl außer der Null.

Bemerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Polynome, deren Inhalt eine Einheit ist, heißen primitiv. Mit wird der primitive Anteil (engl. primitive part) bezeichnet.

Ein Polynom mit Koeffizienten aus dem Quotientenkörper eines faktoriellen Rings ist genau dann aus dem Polynomring über , wenn der Inhalt in liegt.

Lemma von Gauß[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aussage[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein faktorieller Ring und sein Quotientenkörper, dann gilt für

,

insbesondere ist das Produkt zweier primitiver Polynome wieder primitiv.

Korollare[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als Lemma von Gauß werden oft auch die vier folgenden Korollare aus dieser Aussage bezeichnet:

  • Der Polynomring über einem faktoriellen Ring ist faktoriell.
  • Wenn ein nicht-konstantes Polynom (in einer Variablen) über einem faktoriellen Ring irreduzibel ist, dann ist es auch über seinem Quotientenkörper irreduzibel.
  • Wenn ein normiertes Polynom eine Nullstelle im Quotientenkörper hat, dann liegt diese bereits im Ring selbst.
  • Das Produkt zweier normierter Polynome mit rationalen Koeffizienten hat nur dann ganzzahlige Koeffizienten, wenn bereits die Koeffizienten von und ganzzahlig sind.

Weitere Korollare sind:

  • Ist ein Polynom aus dem Ring gegeben, so kann jede Nullstelle im Quotientenkörper derart als Bruch dargestellt werden, dass der Nenner ein Teiler des höchsten Koeffizienten und der Zähler ein Teiler des Absolutgliedes ist (siehe auch Satz über rationale Nullstellen).
  • Die Primelemente in dem Polynomring über einem faktoriellen Ring sind genau die Primelemente des Ringes zusammen mit den primitiven Primelementen des Polynomringes über dem Quotientenkörper von .
  • Ist ein faktorieller Ring, dann ist der Polynomring in endlich vielen Variablen faktoriell

Beweisidee[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zuerst überzeugt man sich, dass dies für gilt. Man kann also annehmen, dass primitiv (also ) sind, und muss somit nur diesen Spezialfall des Satzes zeigen. Man erkennt auch leicht, dass

Dann ist der Satz aber trivial, denn und damit ist ein Integritätsring, weil ein Primideal ist.

Zum ersten Korollar:

Man beweist, dass alle Primelemente des Ringes und alle primitiven Primelemente von prim in sind. Wenn man den Fakt ausnutzt, dass als Euklidischer Ring faktoriell ist, kann man jedes Element aus als Produkt dieser Primelemente schreiben (dies musste man zeigen). Die anderen Korollare benötigen keine Beweisidee. Man muss einfach die Aussagen direkt nachweisen.

Historisch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gauß selbst zeigt in den Disquisitiones Arithmeticae (art. 42) die Variante:

  • Das Produkt zweier normierter Polynome mit rationalen Koeffizienten hat nur dann ganzzahlige Koeffizienten, wenn bereits die Koeffizienten von und ganzzahlig sind.

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • ist nicht durch teilbar in , denn der Inhalt von ist 1 und von 3.
  • hat keine rationalen Nullstellen, denn die einzig möglichen rationalen Nullstellen wären nach Gauß und .
  • ist irreduzibel als Polynom in , denn es hat Grad 3 und keine rationale Nullstellen (Mit Gauß muss man nur endlich viele überprüfen).
  • ist als Polynom in zu faktorisieren. Dabei nimmt man zuerst folgende triviale Faktorisierungen vor (primitiv machen und mit maximaler Potenz ausklammern!):
Und damit hat das verbleibende Polynom die möglichen rationalen Nullstellen nach Gauß
Durch Einsetzen erkennt man, dass nur und die rationalen Nullstellen sind. Und durch Polynomdivision ergibt sich

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]