Initial-σ-Algebra

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Eine Initial-σ-Algebra ist ein Begriff aus der Maßtheorie, einem Teilgebiet der Mathematik. Er dient dazu, σ-Algebren auf Räumen zu definieren, die bisher keine Struktur hatten, und hat als Spezialfälle die Produkt-σ-Algebra und die Spur-σ-Algebra. Er ist mit der Initialtopologie eng verknüpft. Das Gegenstück zur Initial-σ-Algebra bildet die Final-σ-Algebra. Sie ist das größte Mengensystem, so dass eine vorgegebene Menge an Funktionen messbar ist. Die Initial-σ-Algebra wird auch die (von den Funktionen ) erzeugte σ-Algebra genannt. Diese Benennung ist aber nicht eindeutig, da σ-Algebren auch von Mengensystemen erzeugt werden können.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben seien Abbildungen und eine Familie von Messräumen für eine nichtleere Indexmenge . Dann heißt die σ-Algebra

auf die Initial-σ-Algebra der Abbildungen oder die von den Abbildungen erzeugte σ-Algebra.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Die Initial-σ-Algebra ist per Definition die bezüglich mengentheoretischer Inklusion kleinste σ-Algebra auf , bezüglich derer alle Funktionen messbar sind.
  • Sind Erzeuger von , so ist ein Erzeuger von .

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Für eine einzelne Abbildung in einen Messraum ist bereits eine σ-Algebra, es gilt also . Ist beispielsweise eine konstante Funktion, so ist die triviale σ-Algebra . Für die Indikatorfunktion einer Teilmenge gilt .
  • Ist und ein Messraum sowie die natürliche Einbettung, so ist die Initial-σ-Algebra genau die Spur-σ-Algebra: .
  • Ist das kartesische Produkt von Mengen für eine nichtleere Indexmenge und Messräume. Wählt man als Abbildungen die Projektionen auf die -te Komponente, so ist die Initial-σ-Algebra der Projektionen genau die Produkt-σ-Algebra der :
.

Verwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Initial-σ-Algebren finden zum Beispiel Verwendung in der Wahrscheinlichkeitstheorie zur Definition der stochastischen Unabhängigkeit von Zufallsvariablen. Zwei Zufallsvariablen sind unabhängig genau dann, wenn ihre Initial-σ-Algebren unabhängige Mengensysteme sind.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]