Injektives Tensorprodukt

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Das injektive Tensorprodukt ist eine Erweiterung der in der Mathematik betrachteten Tensorprodukte von Vektorräumen auf den Fall, dass zusätzlich Topologien auf den Vektorräumen vorhanden sind. In dieser Situation liegt es nahe, auch auf dem Tensorprodukt der Räume eine Topologie erklären zu wollen. Unter den vielen Möglichkeiten, dies zu tun, sind das projektive Tensorprodukt und das hier zu behandelnde injektive Tensorprodukt natürliche Wahlen.

Zunächst wird der leichter zugängliche Fall der normierten Räume und Banachräume besprochen, anschließend wird auf die Verallgemeinerungen in der Theorie der lokalkonvexen Räume eingegangen.

Die Konstruktion für normierte Räume und Banachräume geht auf Robert Schatten[1] zurück, die Verallgemeinerungen auf lokalkonvexe Räume wurden von Alexander Grothendieck[2] erzielt.

Normierte Räume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Tensorprodukt zweier normierter Räume lässt sich wie folgt ebenfalls zu einem normierten Raum machen.

Konstruktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien und normierte Räume. Je zwei stetige, lineare Funktionale und definieren eine bilineare Abbildung . Nach der Universaldefinition des Tensorproduktes induziert diese eine lineare Abbildung , die üblicherweise mit bezeichnet wird. Man setzt nun für

,

wobei die Normen auf den Dualräumen wie in den Ausgangsräumen bezeichnet seien. Durch diese Definition erhält man eine Norm auf dem Tensorprodukt, das sogenannte injektive Tensorprodukt der Normen und . Versieht man mit dieser Norm, so nennt man das injektive Tensorprodukt oder auch das -Tensorprodukt der normierten Räume und und schreibt dafür .[3] Das injektive Tensorprodukt wird auch schwaches Tensorprodukt genannt.[4]

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind in der Situation obiger Definition , so gilt .

Es gilt stets , wobei das projektive Tensorprodukt bezeichne.

Jedes definiert einen stetigen linearen Operator , indem man setzt. Es ist leicht zu zeigen, dass die -Norm von mit der Operatornorm von übereinstimmt. Dies hätte man als eine alternative Definition für die -Norm verwenden können, wobei aber die Symmetrie, mit der und in die Definition eingehen, dann nicht so offensichtlich gewesen wäre wie bei der oben gegebenen Definition.

Banachräume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das injektive Tensorprodukt zweier Banachräume und ist in der Regel nicht vollständig, so dass die Bildung des Tensorproduktes aus der Kategorie der Banachräume herausführt. Um in der Kategorie der Banachräume zu bleiben, muss man vervollständigen.

Man definiert daher als die Vervollständigung des normierten Raums und nennt das injektive Tensorprodukt in der Kategorie der Banachräume.

Hilberträume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein Hilbertraum, so ist nach obigem eine isometrische Einbettung in den Raum der stetigen linearen Operatoren auf . Man kann zeigen, dass bei dieser Identifikation das Tensorprodukt genau mit den kompakten Operatoren zusammenfällt, das heißt, es gilt . Insbesondere zeigt dieses Beispiel, dass das injektive Tensorprodukt von Hilberträumen im Allgemeinen kein Hilbertraum ist.

Das Tensorprodukt mit Räumen stetiger Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ist ein kompakter Raum, so bezeichne den Banachraum der stetigen Funktionen mit der Supremumsnorm. sei ein weiterer Banachraum und sei der Banachraum der -wertigen stetigen Funktionen mit der Supremumsnorm. Dann ist durch eine isometrische Einbettung mit dichtem Bild gegeben, das heißt, diese Einbettung setzt sich zu einem isometrischen Isomorphismus zwischen und fort. Das schreibt sich kurz und prägnant als

.

Insbesondere erhält man für zwei kompakte Räume und die erwarteten Isometrien

.[5]

Tensorprodukt mit ℓ1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien der Folgenraum der absolut konvergenten, reellen Reihen und ein Banachraum. Das projektive Tensorprodukt kann bekanntlich mit dem Raum der absolut konvergenten Reihen in identifiziert werden. Für das injektive Tensorprodukt gelingt eine ähnliche Charakterisierung, wenn man die absolute Konvergenz durch unbedingte Konvergenz ersetzt.

Es sei der Raum der unbedingt konvergenten Reihen in . Ist eine solche Reihe, so ist für jedes absolut konvergent. Es gilt sogar, dass

endlich ist und eine Norm auf definiert, die zu einem Banachraum macht. Dann kann man zeigen, dass die bilineare Abbildung

eine isometrische Abbildung

induziert, die sich zu einem isometrischen Isomorphismus

fortsetzt.[6]

Lokalkonvexe Räume[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Konstruktion des injektiven Tensorproduktes kann wie folgt auf den Fall der lokalkonvexen Räume verallgemeinert werden.[7]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es seien und zwei lokalkonvexe Räume, und es seien und absolutkonvexe Nullumgebungen. Weiter bezeichne die Polare von und analog die Polare von . Man erhält eine Halbnorm auf durch die Definition .

Das injektive Tensorprodukt oder -Tensorprodukt ist der mit dem System der Halbnormen ausgestattete Tensorproduktraum, wobei und die absolutkonvexen Nullumgebungen von bzw. durchlaufen. Das verallgemeinert die Definition des injektiven Tensorproduktes normierter Räume.

Die Vervollständigung von wird wie im Falle normierter Räume mit bezeichnet.

Stabilitätseigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einige Klassen lokalkonvexer Räume sind stabil gegenüber der Bildung des injektiven Tensorproduktes. Gehören und beide zu einer der Klassen

so gehört auch dieser Klasse an.

  • Sind und Fréchet-Montel-Räume, so auch .

Das Tensorprodukt mit Räumen stetiger Funktionen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei ein vollständig regulärer Raum, und bezeichne den Raum der stetigen Funktionen mit der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz auf kompakten Mengen. Ist ein weiterer lokalkonvexer Raum, so sei der Raum der -wertigen stetigen Funktionen mit der Topologie der gleichmäßigen Konvergenz auf kompakten Mengen. Dann besteht die natürliche Isomorphie

,

wenn vollständig und ein Kelley-Raum ist. Dabei heißt ein Kelley-Raum, wenn eine Funktion bereits dann stetig ist, wenn ihre Einschränkungen auf kompakten Teilmengen stetig sind. Das ist beispielsweise bei lokalkompakten Räumen der Fall.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. R. Schatten: A theory of cross spaces. Annals of Mathematical Studies 26, Princeton, N.J. (1950)
  2. A. Grothendieck: Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires. Mem. Amer. Math. Soc. 16 (1955)
  3. Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Kapitel 3: The Injective Tensor Product
  4. A. Y. Helemskii: The Homology of Banach and Topological Algebras. Kluwer Academic Publishers (1989), ISBN 0-7923-0217-6, Kapitel II, Definition 2.55
  5. Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Kapitel 3.2
  6. Raymond A. Ryan: Introduction to Tensor Products of Banach Spaces, Springer-Verlag 2002, ISBN 1-85233-437-1, Beispiel 3.4
  7. H. Jarchow: Locally Convex Spaces. Teubner, Stuttgart (1981), ISBN 3-519-02224-9