Keplerbahn

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Die vier Formen der Keplerbahnen,
jeweils mit numerischer Exzentrizität: Kreis (grau),
Ellipse (rot),
Parabel (grün),
Hyperbel (blau)

Keplerbahnen sind Lösungen des Zweikörperproblems der klassischen Himmelsmechanik, bei dem zwei Massepunkte sich um den gemeinsamen Schwerpunkt bewegen. Die Formen der Keplerbahnen sind Kegelschnitte: Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel. Auf annähernden Keplerellipsen bewegen sich z. B. die Planeten um die Sonne und der Mond um die Erde.

Für die Orientierung einer Keplerbahn im Raum siehe Bahnelemente. Für die Bewegung auf Keplerbahnen siehe Keplersche Gesetze. Für Abweichungen vom Ideal siehe Bahnstörung.

Details[Bearbeiten]

In Polarkoordinaten mit Ursprung im Zentralgestirn lässt sich die geometrische Form der Keplerbahnen durch die folgende Formel beschreiben:[1]

 r (T) = {p \over { 1 + \varepsilon \cdot \cos T}}, ~ T \in I

Dabei handelt es sich um den Abstand r des umlaufenden Himmelskörpers vom Zentralgestirn, den er bei vorgebenem Winkel T (Wahre Anomalie) zwischen den Verbindungslinien Zentralgestirn–Periapsis und Zentralgestirn–Himmelskörper einnimmt.

Die Form der Keplerbahn wird durch die zwei Konstanten \varepsilon (numerische Exzentrizität) und p (Halbparameter) beschrieben:

  • \varepsilon > 1: hyperbolische Bahn
  • \varepsilon = 1: parabolische Bahn
  • \varepsilon < 1: elliptische Bahn
  • \varepsilon = 0: Kreisbahn.

Das Intervall I, in dem der Winkel T variiert, hängt vom Typ der Bahn und, im Fall der Hyperbel, von der Exzentrizität ab:

  • Kreisbahn und Ellipse: I = \R
  • parabolische Bahn: I = (-\pi, \pi)
  • hyperbolische Bahn: I = (\arccos \tfrac{1}{\varepsilon} - \pi,\pi - \arccos \tfrac{1}{\varepsilon}).

Himmelskörper auf offenen Bahnen (Parabel oder Hyperbel) haben zum Zentralgestirn einen ungebundenen Zustand, d. h. sie nähern sich dem Zentralgestirn nur ein einziges Mal. Beispiele sind einige Kometen, die nach einmaliger Näherung an die Sonne ohne Wiederkehr aus dem Sonnensystem verschwinden.

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1.  Franz Embacher: Elemente der Theoretischen Physik. 1, Springer DE, 2010, ISBN 3834897825, S. 134 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).