Euklidischer Algorithmus

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Der euklidische Algorithmus ist ein Algorithmus aus dem mathematischen Teilgebiet der Zahlentheorie. Mit ihm lässt sich der größte gemeinsame Teiler zweier natürlicher Zahlen berechnen. Das Verfahren ist nach dem griechischen Mathematiker Euklid benannt, der es in seinem Werk „Die Elemente“ beschrieben hat.

Der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen kann auch aus ihren Primfaktorzerlegungen ermittelt werden. Ist aber von keiner der beiden Zahlen die Primfaktorzerlegung bekannt, so ist der euklidische Algorithmus das schnellste Verfahren zur Berechnung des größten gemeinsamen Teilers.

Der euklidische Algorithmus lässt sich nicht nur auf natürliche Zahlen anwenden. Vielmehr kann damit der größte gemeinsame Teiler von zwei Elementen eines jeden euklidischen Rings berechnet werden. Dazu zählen beispielsweise Polynome über einem Körper.

Der klassische Algorithmus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wenn CD aber AB nicht misst, und man nimmt bei AB, CD abwechselnd immer das kleinere vom größeren weg, dann muss (schließlich) eine Zahl übrig bleiben, die die vorangehende misst.
(Aus Euklid, Die Elemente, Herausgegeben von Clemens Thaer, Wissenschaftliche Buchgesellschaft Darmstadt, VII Buch, §2)
Beispiel: ggT(44,12) = 4

Euklid berechnete den größten gemeinsamen Teiler, indem er nach einem gemeinsamen „Maß“ für die Längen zweier Linien suchte. Dazu zog er wiederholt die kleinere der beiden Längen von der größeren ab. Dabei nutzt er aus, dass sich der größte gemeinsame Teiler zweier Zahlen (oder Längen) nicht ändert, wenn man die kleinere von der größeren abzieht.

Ist die Differenz von und sehr groß, sind unter Umständen viele Subtraktionsschritte notwendig. Hippasos von Metapont benutzte schon vor Euklid diese so genannte Wechselwegnahme geometrisch für den Beweis der Inkommensurabilität bei gewissen regelmäßigen n-Ecken: Im Quadrat oder im regelmäßigen Fünfeck etwa gibt es keinen gemeinsamen Teiler (Maß) einer Seite mit der Diagonalen.

Heutzutage wird in der Regel der weiter unten beschriebene Divisions-Algorithmus verwendet, bei dem die Schritte 2 und 3 dadurch ersetzt werden, dass man, an Stelle der Differenz von und , für den Rest bei der Division von durch nimmt. Ein weiterer Vorteil dieser Variante ist, dass man sie auf beliebige euklidische Ringe (zum Beispiel Polynomringe über einem Körper) übertragen kann, in denen der klassische Algorithmus nicht funktioniert.

Beschreibung durch Pseudocode[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der klassische Algorithmus hier in Pseudocode für nichtnegative ganze Zahlen a und b dargestellt:

EUCLID_OLD(a,b)
1  wenn a = 0
2      dann return b
3  sonst solange b ≠ 0
4      wenn a > b
5          dann a  a - b
6      sonst b  b - a
7  return a

Dieser Algorithmus kann auch in einer rekursiven Version angegeben werden:

EUCLID_OLD_RECURSIVE(a,b)
1  wenn b = 0
2      dann return a
3  sonst wenn a = 0
4      dann return b
5  sonst wenn a > b
6      dann return EUCLID_OLD_RECURSIVE(a - b, b)
7  sonst return EUCLID_OLD_RECURSIVE(a, b - a)

Moderner euklidischer Algorithmus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Heutzutage ersetzt man die im klassischen Algorithmus auftretenden wiederholten Subtraktionen eines Wertes jeweils durch eine einzige Division mit Rest. Der moderne euklidische Algorithmus führt nun in jedem Schritt solch eine Division mit Rest aus. Er beginnt mit den beiden Zahlen und , deren größter gemeinsamer Teiler bestimmt werden soll.

In jedem weiteren Schritt wird mit dem Divisor und dem Rest des vorhergehenden Schritts eine erneute Division mit Rest durchgeführt. Und zwar so lange, bis eine Division aufgeht, das heißt, der Rest Null ist.

Der Divisor der letzten Division ist dann der größte gemeinsame Teiler.

Da sich die Zahlen in jedem zweiten Schritt mindestens halbieren, ist das Verfahren auch bei großen Zahlen extrem schnell.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der größte gemeinsame Teiler von 1071 und 1029 wird mit dem Euklidischen Algorithmus wie folgt berechnet:

Der größte gemeinsame Teiler von 1071 und 1029 ist somit 21.

Beschreibung durch Pseudocode[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Folgenden wird der moderne Euklidische Algorithmus sowohl in einer rekursiven als auch einer iterativen Variante beschrieben. Dabei sind und jeweils die beiden Zahlen, deren größter gemeinsamer Teiler berechnet werden soll.

Rekursive Variante[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

EUCLID(a,b)
1  wenn b = 0
2      dann return a
3  sonst return EUCLID(b, a mod b)

Iterative Variante[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

EUCLID(a,b)
1  solange b ≠ 0
2      h  a mod b
3      a  b
4      b  h
5  return a

Korrektheit des Algorithmus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In jedem Schritt des Algorithmus wird eine Division mit Rest ausgeführt.

Die Division mit Rest hat die Eigenschaft, dass

gilt.

Im letzten Schritt des Algorithmus

ist und es gilt deshalb

Da im ersten Schritt und war, ist

Historische Entwicklung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Darstellung Euklids von Justus von Gent (15. Jahrhundert)

Der euklidische Algorithmus ist der älteste bekannte nicht-triviale Algorithmus. Das Verfahren wurde von Euklid um 300 v. Chr. in seinem Werk Die Elemente beschrieben. In Buch VII (Proposition 1 und 2) formulierte er den Algorithmus für ganze Zahlen und in Buch X (Proposition 2 und 3) für reelle Zahlen. Die letztere Version ist ein geometrischer Algorithmus und Euklid nannte ihn antepheiresis (Wechselwegnahme). Er suchte ein größtes gemeinsames „Maß“ zweier Strecken: eine dritte Strecke, sodass die Länge der beiden ursprünglichen Strecken Vielfache der Länge der dritten Strecke sind.

Das Verfahren wurde wahrscheinlich nicht von Euklid erfunden, da er in den Elementen die Erkenntnisse früherer Mathematiker zusammenfasste. Der Mathematiker und Historiker Bartel Leendert van der Waerden vermutet, dass Buch VII ein schon von den Pythagoreern verwendetes Lehrbuch der Zahlentheorie ist.[1] Hippasos von Metapont führte etwa 500 v. Chr. vermutlich seinen Beweis der Inkommensurabilität von gewissen Strecken und Diagonalen auf Grundlage des euklidischen Algorithmus durch, und auch Eudoxos von Knidos (um 375 v. Chr.) kannte wohl das Verfahren. Aristoteles (um 330 v. Chr.) wies auf dieses Verfahren in seinem Werk Topik (158b, 29-35) hin.[2]

Jahrhunderte später wurde der euklidische Algorithmus voneinander unabhängig in Indien und China entdeckt, um damit hauptsächlich diophantische Gleichungen aus der Astronomie zu lösen und genaue Kalender zu erstellen.[3] Im fünften Jahrhundert beschrieb der indische Mathematiker und Astronom Aryabhata den Algorithmus als „Pulverisator“,[4] wahrscheinlich aufgrund seiner Effektivität beim Lösen diophantischer Gleichungen.[5] Zwar hat schon der chinesische Mathematiker und Astronom Sun Tzu einen Spezialfall des chinesischen Restsatzes beschrieben,[6] die allgemeine Lösung wurde jedoch von Qin Jiushao 1247 in seinem Buch Shushu Jiuzhang (chinesisch 數書九章 / 数书九章 ‚Mathematische Abhandlung in neun Kapiteln‘) veröffentlicht.[4][7] Im neuzeitlichen Europa wurde der euklidische Algorithmus erstmals wieder in der zweiten Auflage von Bachets Problèmes plaisants et délectables, qui se font par les nombres beschrieben.[4] Der Algorithmus wurde in Europa zum Lösen diophantischer Gleichungen und zur Berechnung der Kettenbruchentwicklung verwendet. Nicholas Saunderson veröffentlichte den erweiterten euklidischen Algorithmus und schrieb ihn Roger Cotes zu als Methode zur effizienten Berechnung von Kettenbrüchen.[4]

Im 19. Jahrhundert gab der euklidische Algorithmus den Anstoß zur Entwicklung neuer Zahlensysteme wie den gaußschen Zahlen und den Eisenstein-Zahlen. 1815 verwendete Carl Friedrich Gauß den euklidischen Algorithmus, um die eindeutige Faktorisierung der gaußschen Zahlen zu zeigen. Seine Arbeit wurde jedoch erst im Jahr 1832 veröffentlicht.[8] Gauß erwähnte den Algorithmus zudem in seinem 1801 veröffentlichten Werk Disquisitiones Arithmeticae, allerdings nur als Methode zur Berechnung von Kettenbrüchen.[9] Peter Gustav Lejeune Dirichlet scheint der Erste zu sein, der den euklidischen Algorithmus als Grundlage eines großen Teils der Zahlentheorie beschrieben hat.[9] Er bemerkte, dass viele Ergebnisse der Zahlentheorie, wie beispielsweise die eindeutige Faktorisierung, auch für andere Zahlensysteme gelten, in denen der euklidische Algorithmus angewendet werden kann.[10] Dirichlets Vorlesungen über Zahlentheorie wurden von Richard Dedekind herausgegeben und erweitert, der den euklidischen Algorithmus für das Studium algebraischer Zahlen nutzte, einer neuen allgemeineren Zahlenart. Dedekind war beispielsweise der Erste, der Pierre de Fermats Zwei-Quadrate-Satz mit der eindeutigen Faktorisierung der gaußschen Zahlen bewies.[11] Dedekind führte das Konzept des euklidischen Rings ein, ein Zahlensystem, in dem eine verallgemeinerte Variante des euklidischen Algorithmus angewendet werden kann. In den letzten Jahrzehnten des 19. Jahrhunderts trat der euklidische Algorithmus allmählich hinter Dedekinds allgemeinere Theorie der Ideale zurück.[3]

Jacques Charles François Sturm entwickelte 1829 die sturmschen Ketten zur Berechnung der Anzahl der Nullstellen eines Polynoms in einem vorgegebenen Intervall. Dabei wird eine Variante des euklidischen Algorithmus verwendet, um die einzelnen Glieder einer Kette zu bestimmen.

In der Vergangenheit gab es zahllose Versuche, den euklidischen Algorithmus auf mehr als zwei natürliche Zahlen zu verallgemeinern, beispielsweise um außer ihrem größten gemeinsamen Teiler auch optimale (etwa kleinstmögliche) Multiplikatoren zu finden, die in der Linearkombination mit den Zahlen diesen Teiler liefern. Der moderne Stand der Forschung hierzu wurde von Havas, Majewski und Matthews dargestellt.[12]

Der euklidische Algorithmus war der erste Algorithmus zur Berechnung von Ganzzahlbeziehungen kommensurabler reeller Zahlen. In den vergangenen Jahren wurden weitere Algorithmen für diese Aufgabenstellung entwickelt, beispielsweise der Ferguson–Forcade-Algorithmus[13] aus dem Jahr 1979 und verwandte Algorithmen, der LLL-Algorithmus, der HJLS-Algorithmus (nach den Autoren Håstad, Just, Lagarias und Schnorr) und der PSLQ-Algorithmus (nach partial sum of squares plus LQ matrix decomposition). Im Jahr 2001 wurde gezeigt, dass die von einigen Autoren berichtete Instabilität des HJLS-Algorithmus lediglich auf einer unzweckmäßigen Implementierung beruhte und dass dieser Algorithmus äquivalent zum PSLQ-Algorithmus ist.[14] Enger an den eigentlichen euklidischen Algorithmus angelehnt sind seine mehrdimensionalen Verallgemeinerungen von George Szekeres (1970),[15] Helaman Ferguson und Rodney Forcade (1981),[16] Just (1992),[17] von Rössner und Schnorr (1996)[18] sowie der sehr allgemeine Ansatz von Lagarias (1994).[19]

1969 entwickelten Cole und Davie das Zwei-Spieler-Spiel „Euklid“, das auf dem euklidischen Algorithmus basiert.[20] Bei diesem Spiel gibt es eine optimale Strategie.[21] Die beiden Spieler beginnen mit zwei Stapeln von und Steinen. In jeder Runde nimmt ein Spieler -mal soviele Steine vom größeren Stapel, wie der kleinere Stapel groß ist. Auf diese Weise kann der nächste Spieler den größeren Stapel mit Steinen auf Steine verkleinern, wobei die Größe des kleineren Stapels ist. Es gewinnt der Spieler, der einen Stapel komplett abträgt.[22]

Laufzeitanalyse[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

"Farbige Linien beginnen im Ursprung eines x-y-Koordinatensystems. Jede Linie entspricht einer Menge von Zahlenpaaren, für die der Euklidische Algorithmus die gleiche Anzahl von Schritten benötigt."
Anzahl der Schritte zur Berechnung von ggT(x,y). Rote Punkte bedeuten wenige Schritte, gelbe, grüne und blaue Punkte relativ mehr Schritte. Die dunkelblaue Linie hat die Steigung Φ, wobei Φ der Goldene Schnitt ist.

Mit dem euklidischen Algorithmus kann man den ggT mit verhältnismäßig geringem Aufwand (im Vergleich zur Berechnung der Primfaktorzerlegung der Zahlen a und b) berechnen. Bei der Laufzeitanalyse stellt sich heraus, dass der schlimmste Eingabefall zwei aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen sind. Bei aufeinander folgenden Fibonacci-Zahlen ergibt sich als Rest immer die nächstkleinere Fibonacci-Zahl. Die Anzahl der benötigten Divisionen beträgt im schlimmsten Fall Θ(log(ab)), wobei log(ab) proportional zur Anzahl der Ziffern in der Eingabe ist (siehe Landau-Symbole).

Da die für die Division zweier Zahlen benötigte Zeit ihrerseits von der Anzahl der Ziffern der Zahlen abhängt, ergibt sich eine tatsächliche Laufzeit von O(log(ab)^3) bei naiver Ausführung der Division. Durch die vollständige Überführung der eigentlichen Berechnung in den Frequenzbereich mittels einer speziellen schnellen Fourier-Transformation wie sie im Schönhage-Strassen-Algorithmus Verwendung findet, schneller Reziprokwertberechnung mit dem Newton-Verfahren (im Frequenzbereich) für die Division und anschließender Rücktransformation mittels inverser schneller Fourier-Transformation kommt man so zu einer theoretischen Untergrenze von O(n⋅log(n)²), wobei n die maximale Anzahl an Ziffern von a und b ist.

Die von Schönhage entwickelte Variante des euklidischen Algorithmus konnte durch Parallelisierung auf einem Multi-Prozessor-System weiter beschleunigt werden.[23]

Euklidischer Algorithmus und Kettenbruchzerlegung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Quotienten, die im euklidischen Algorithmus auftreten, sind genau die Teilnenner, die in der Kettenbruchzerlegung von vorkommen. Hier für das obige Beispiel mit hervorgehobenen Ziffern:

1071 = 1 × 1029 + 42
1029 = 24 × 42 + 21
42 = 2 × 21 + 0

Hieraus lässt sich der Kettenbruch entwickeln:

.

Dieses Verfahren lässt sich auch für jede beliebige reelle Zahl anwenden. Ist nicht rational, so endet der Algorithmus einfach nie. Die so gewonnene Folge an Quotienten stellt dann die unendliche Kettenbruchzerlegung von dar.

Andere Zahlensysteme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wie oben beschrieben wird der euklidische Algorithmus zur Berechnung des größten gemeinsamen Teilers zweier natürlicher Zahlen verwendet. Der Algorithmus lässt sich jedoch auch auf reelle Zahlen und exotischere Zahlensysteme wie Polynome, quadratische Zahlen und die nicht-kommutativen Hurwitzquaternionen verallgemeinern. Im letzten Fall wird der euklidische Algorithmus dazu verwendet, die wichtige Eigenschaft einer eindeutigen Faktorisierung zu zeigen. Das heißt, dass eine solche Zahl eindeutig in irreduzible Elemente, der Verallgemeinerung von Primzahlen, zerlegt werden kann. Die eindeutige Faktorisierung ist grundlegend für viele Beweise der Zahlentheorie.

Rationale und reelle Zahlen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wie schon von Euklid im Buch 10 seines Werks „Die Elemente“ beschrieben, kann der euklidische Algorithmus auch auf reelle Zahlen angewandt werden. Das Ziel des Algorithmus ist es dann, eine reelle Zahl zu finden, sodass die beiden Zahlen und ganzzahlige Vielfache dieser Zahl sind. Diese Aufgabenstellung ist gleichbedeutend mit der Suche nach einer Ganzzahlbeziehung zwischen den beiden reellen Zahlen und , also der Berechnung zweier ganzer Zahlen und , für die gilt. Euklid verwendete diesen Algorithmus bei der Betrachtung der Inkommensurabilität von Strecken.

Der euklidische Algorithmus für reelle Zahlen unterscheidet sich in zwei Punkten von seinem Gegenstück für ganze Zahlen. Zum einen ist der Rest eine reelle Zahl, obwohl die Quotienten weiterhin ganze Zahlen sind. Zum anderen endet der Algorithmus nicht immer nach einer endlichen Anzahl von Schritten. Wenn er dies jedoch tut, dann ist der Bruch eine rationale Zahl; es gibt also zwei ganze Zahlen und mit

und kann als Kettenbruch geschrieben werden. Wenn der Algorithmus nicht endet, dann ist der Bruch eine irrationale Zahl und mit dem unendlichen Kettenbruch identisch. Beispiele für unendliche Kettenbrüche sind die Goldene Zahl und die Wurzel aus 2 . Im Allgemeinen ist es unwahrscheinlich, dass der Algorithmus anhält, da fast alle Verhältnisse zweier reeller Zahlen irrationale Zahlen sind.

Polynome[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Polynome in einer Variablen über einem Körper bilden einen euklidischen Ring. Die Polynomdivision ist für diese Polynome also eine Division mit Rest und der euklidische Algorithmus kann genauso wie bei den ganzen Zahlen durchgeführt werden. Die Berechnung des größten gemeinsamen Teilers der Polynome und in gestaltet sich beispielsweise folgendermaßen:

Damit ist (oder das dazu assoziierte Polynom ) ein größter gemeinsamer Teiler von und .

Polynome mit Koeffizienten aus einem faktoriellen Ring[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wir halten einen faktoriellen Ring (d. h. einen Ring mit bis auf Einheiten eindeutiger Primfaktorzerlegung) fest und betrachten Polynome aus dem Polynomring , also Polynome in einer Variablen mit Koeffizienten aus . Im Spezialfall , wobei ein Körper sei, erhalten wir so den Ring der Polynome in zwei Variablen über .

In ist Division mit Rest nicht mehr allgemein durchführbar. Seien z. B. und in . Polynomdivision in liefert den Quotienten , der nicht in liegt. Wir können allerdings eine Pseudodivision wie folgt definieren: Seien und Polynome aus mit Grad bzw. , sei der Leitkoeffizient des Polynoms , und . Dann gibt es Polynome , so dass

wobei wieder von geringerem Grad ist als . Durch wiederholte Durchführung der Pseudodivision lässt sich der ggT von und bestimmen, allerdings ist das Verfahren in der Praxis ineffizient, da die Faktoren die Koeffizienten der Zwischenergebnisse exponentiell anwachsen lassen. Um das zu vermeiden kann nach jedem Schritt der Inhalt des Rests entfernt werden, was allerdings wiederum ggT-Berechnungen in erfordert. Effizienter lässt sich der ggT mit dem Subresultantenverfahren berechnen.

Varianten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Von Josef Stein stammt der nach ihm benannte steinsche Algorithmus, der ohne die aufwändigen Divisionen auskommt. Er verwendet nur noch Divisionen durch Zwei, die von einem Rechner sehr schnell durchzuführen sind. Aus diesem Grund wird dieser Algorithmus auch binärer euklidischer Algorithmus genannt. Der Performancevorteil auf realen Rechnern zeigt sich aber erst, wenn der Integertyp die Registerbreite des Prozessors überschreitet.

Merkt man sich beim euklidischen Algorithmus die Quotienten der Zwischenschritte, dann lässt sich damit eine Darstellung

mit ganzen Zahlen und finden. Dies nennt man den erweiterten euklidischen Algorithmus. Damit lassen sich die Inversen in Restklassenringen berechnen.

Eine andere Erweiterung ist der Algorithmus, der hinter dem Quadratischen Reziprozitätsgesetz steckt. Mit diesem lässt sich das Jacobi-Symbol effizient berechnen.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Bartel Leendert van der Waerden: Erwachende Wissenschaft. Ägyptische, babylonische und griechische Mathematik. Birkhäuser Verlag, Basel 1956, S. 188.
  2. Donald E. Knuth: The Art of Computer Programming. Volume 2: Seminumerical Algorithms. 3. Auflage. Addison-Wesley Professional, 1997, ISBN 0-201-89684-2, S. 334–337.
  3. a b John Stillwell: Elements of Number Theory. Springer-Verlag, 2003, ISBN 0-387-95587-9, S. 41–42.
  4. a b c d James Joseph Tattersall: Elementary number theory in nine chapters. Cambridge University Press, 2005, ISBN 978-0-521-85014-8, S. 70–72.
  5. Kenneth H. Rosen, Bart Goddard: Elementary Number Theory and Its Applications. 2000, ISBN 0-201-87073-8, S. 86–87.
  6. Øystein Ore: Number Theory and Its History. McGraw–Hill, New York 1948, S. 247–248.
  7. James Joseph Tattersall: Elementary number theory in nine chapters. Cambridge University Press, 2005, ISBN 978-0-521-85014-8, S. 72, 184–185.
  8. Carl Friedrich Gauß: Theoria residuorum biquadraticorum.
  9. a b John Stillwell: Elements of Number Theory. Springer-Verlag, 2003, ISBN 0-387-95587-9, S. 31–32.
  10. Peter Gustav Lejeune Dirichlet & Richard Dedekind: Vorlesungen über Zahlentheorie. 2. Auflage. Friedrich Vieweg und Sohn, Braunschweig 1871, S. 30–31 (Online).
  11. Peter Gustav Lejeune Dirichlet, Richard Dedekind: Vorlesungen über Zahlentheorie. 4. Auflage. Friedrich Vieweg und Sohn, Braunschweig 1894, Supplement XI.
  12. siehe etwa: George Havas, Bohdan S. Majewski, Keith R. Matthews: Extended GCD algorithms (PDF, 160 kB). Technical Report TR0302, The University of Queensland, Brisbane 1994. oder G. Havas, B. S. Majewski, K. R. Matthews: Extended GCD and Hermite normal form algorithms via lattice basis reduction (PDF, 266 kB). Experimental Mathematics 7 (1998) No. 2, S. 125–136 und die reichhaltige Bibliografie darin
  13. Eric W. Weisstein: Integer Relation. In: MathWorld (englisch).
  14. Alan Meichsner: Integer relation algorithms and the recognition of numerical constants. Master's thesis, Simon Fraser University, Juni 2001.
  15. George Szekeres: Multidimensional continued fractions. Ann. Univ. Sci. Budapest. Sectio Math. 13 (1970), S. 113–140
  16. Helaman R. P. Ferguson, Rodney W. Forcade: Multidimensional Euclidean algorithms. J. Reine Angew. Math. 334 (1982) S. 171–181
  17. Bettina Just: Generalizing the continued fraction algorithm to arbitrary dimensions. SIAM J. Comput. 21 (1992), S. 909–926
  18. Carsten Rössner, Claus-Peter Schnorr: An optimal, stable continued fraction algorithm for arbitrary dimension. Electronic Colloquium on Computational Complexity, ECCC-TR96-020
    Carsten Rössner, Claus-Peter Schnorr: An optimal, stable continued fraction algorithm. In: Lecture Notes Computer Science 1084, Springer 1996, S. 31–43
  19. Jeffrey Lagarias: Geodesic multidimensional continued fractions. Proc. London Math. Soc. 69 (1994) S. 464–488
  20. A. J. Cole, A. J. T. Davie: A game based on the Euclidean algorithm and a winning strategy for it. In: Mathematica Gazette. Band 53, 1969, S. 354–357, doi:10.2307/3612461.
  21. E. L. Spitznagel: Properties of a game based on Euclid's algorithm. In: Mathematical Magazine. Band 46, 1973, S. 87–92.
  22. Joe Roberts: Elementary Number Theory: A Problem Oriented Approach. MIT Press, Cambridge, MA 1977, ISBN 0-262-68028-9, S. 1–8.
  23. Giovanni Cesari: Parallel implementation of Schönhage's integer GCD algorithm. In: ANTS-III (Lecture Notes Computer Science). Band 1423. Springer-Verlag, 1998, S. 64–76.