Lie’sche Sätze

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Dieser Artikel behandelt die Lie’schen Sätze über Lie-Algebren und ihre zugehörigen Lie-Gruppen. Für den Satz von Lie über die Charakterisierung auflösbarer Lie-Algebren siehe Satz von Lie.

In der Mathematik stellen die Lie’schen Sätze, benannt nach Sophus Lie, den Zusammenhang zwischen Lie-Gruppen und Lie-Algebren her.

Lie-Gruppen und Lie-Algebren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Lie-Gruppe

Eine Lie-Gruppe ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, die zusätzlich die Struktur einer Gruppe besitzt, so dass die Gruppenverknüpfung und die Inversion beliebig oft differenzierbar sind.

Die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe ist der Vektorraum der links-invarianten Vektorfelder mit dem Kommutator als Lie-Klammer. Die Lie-Algebra kann auf kanonische Weise mit dem Tangentialraum im neutralen Element der Lie-Gruppe identifiziert werden:

.

Lie’sche Sätze[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Satz (Dritter Lie’scher Satz, auch Satz von Lie-Cartan): Für jede endlich-dimensionale reelle Lie-Algebra gibt es eine einfach zusammenhängende Lie-Gruppe , deren Lie-Algebra ist.

Satz (Zweiter Lie’scher Satz): Seien Lie-Gruppen mit Lie-Algebren und sei einfach zusammenhängend. Dann gibt es zu jedem Lie-Algebren-Homomorphismus einen eindeutigen Lie-Gruppen-Homomorphismus mit .

Historisches und Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der erste Lie’schee Satz ist eine rein lokale Aussage, die die Wirkung einer Lie-Gruppe auf sich selbst in lokalen Koordinaten als Lösung gewisser Differentialgleichungen mit analytischen Koeffizienten beschreibt.[1]

Auch der dritte Lie’schee Satz war von Sophus Lie ursprünglich nur in einer lokalen Version bewiesen worden, die hier zitierte globale Form geht auf Élie Cartan zurück.

Im dritten Lie’schen Satz erhält man neben der einfach zusammenhängenden Lie-Gruppe noch weitere (nicht einfach zusammenhängende) Lie-Gruppen mit Lie-Algebra als Faktorgruppe , wobei eine diskrete Untergruppe des Zentrums von ist.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Gilmore, Robert: Lie groups, Lie algebras, and some of their applications. Reprint of the 1974 original. Robert E. Krieger Publishing Co., Inc., Malabar, FL, 1994. ISBN 0-89464-759-8
  • Hilgert, Joachim; Neeb, Karl-Hermann: Structure and geometry of Lie groups. Springer Monographs in Mathematics. Springer, New York, 2012. ISBN 978-0-387-84793-1
  • W. Van Est: Une démonstration de E. Cartan du troisième théorème de Lie. Actions Hamiltoniennes des groupes, troisième théorème de Lie, travail en cours, Volume 27, Hermann Paris, 1987.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Lie theorem Encyclopedia of Mathematics