Satz von Lie

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Der Satz von Lie, benannt nach Sophus Lie, ist ein mathematischer Satz aus der Theorie der Lie-Algebren. Er sichert die Existenz eines gemeinsamen Eigenvektors für alle Elemente einer auflösbaren Lie-Algebra über einem vom Nullraum verschiedenen, endlichdimensionalen -Vektorraum und daraus ergibt sich, dass eine solche Lie-Algebra zu einer Teilalgebra der oberen Dreiecksmatrizen isomorph ist.

Bezeichnungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In diesem Artikel sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum mit Dimension . Der Körper der komplexen Zahlen kann durch einen beliebigen algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik 0 ersetzt werden, was in den folgenden Formulierungen aber unterbleibt. Eine Fahne in ist eine aufsteigende Kette von Unterräumen mit für alle .

Des Weiteren bezeichne die allgemeine lineare Lie-Algebra über . Für eine Lie-Algebra seien die sogenannten abgeleiteten Lie-Algebren rekursiv definiert durch und , wobei letzteres für den von allen Produkten erzeugten Unterraum stehe. Eine Lie-Algebra heißt auflösbar, wenn es ein mit gibt. Ein verwandter Begriff ist die Nilpotenz. Man definiert rekursiv und und nennt eine Lie-Algebra nilpotent, wenn es ein mit gibt. Da offenbar , folgt die Auflösbarkeit aus der Nilpotenz, die Umkehrung gilt im Allgemeinen nicht.

Erste Formulierung des Satzes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Es sei eine auflösbare Lie-Algebra. Dann gibt es für einen gemeinsamen Eigenvektor.

Genauer bedeutet das, dass es einen Vektor aus gibt, so dass für jedes ein Vielfaches von ist, insbesondere ist für jedes in invarianter Unterraum, das heißt, er wird von in sich abgebildet.

Zweite Formulierung des Satzes[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Es sei eine auflösbare Lie-Algebra. Dann gibt es eine -invariante Fahne.

Das bedeutet genauer, dass es eine Fahne gibt mit für alle und . Diese Formulierung verschärft die erste, denn offenbar ist jeder Vektor aus ein gemeinsamer Eigenvektor.

Umgekehrt konstruiert man die Fahne der zweiten Formulierung wie folgt mittels Induktion aus der ersten. Der Induktionsanfang ist . Hat man für bereits konstruiert, so ist

wegen der -Invarianz von eine wohldefinierte Darstellung von auf dem Quotientenraum , und dieser ist wegen nicht der Nullraum. Dann ist als homomorphes Bild einer auflösbaren Lie-Algebra wieder auflösbar und auf Grund der ersten Formulierung gibt es einen gemeinsamen Eigenvektor . Setzt man nun , so rechnet man leicht nach, dass dieser Unterraum -invariant ist, womit die induktive Konstruktion beendet ist.

Folgerungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als erste wichtige Folgerung kann man auflösbare Lie-Algebren mit oberen Dreiecksmatrizen in Verbindung bringen. Ist eine Fahne wie in der zweiten Formulierung, so kann man mittels Basisergänzungssatz eine Basis von konstruieren, so dass für jedes eine Basis von ist. Stellt man die Elemente bzgl. dieser Basis als Matrizen dar, so erhält man wegen obere Dreiecksmatrizen. Wir haben daher:

  • Eine auflösbare Lie-Algebra ist isomorph zu einer Unteralgebra der Lie-Algebra der oberen Dreieckmatrizen.

Wie oben erwähnt sind nilpotente Lie-Algebren auflösbar, wobei die Umkehrung im Allgemeinen nicht gilt. Daher ist folgende Aussage auf den ersten Blick überraschend:

  • Ist eine auflösbare Lie-Algebra, so ist nilpotent.

Nach der ersten Folgerung ist isomorph zu einer Unteralgebra der oberen Dreiecksmatrizen. Da ein Kommutator zweier oberer Dreiecksmatrizen eine strikte obere Dreiecksmatrix ist, das heißt die Diagonalelemente sind sämtlich 0, ist isomorph zu einer Unteralgebra der nilpotenten Lie-Algebra der strikten oberen Dreiecksmatrizen und daher selbst nilpotent.

Als weitere Folgerung kann man in einer auflösbaren Lie-Algebra eine Fahne von Idealen konstruieren:

  • Ist eine auflösbare Lie-Algebra, so gibt es eine Fahne von Idealen.

Zum Beweis beachte man, dass das Bild der adjungierten Darstellung eine auflösbare Lie-Algebra in ist. Dort gibt es nach obigem Satz von Lie eine invariante Fahne, und die invarianten Unterräume von sind Ideale. Eine solche Kette von Idealen nennt man eine Hölder-Reihe der Lie-Algebra.

Ist eine irreduzible Darstellung, so ist mit auch auflösbar, hat also nach obigem Satz von Lie einen gemeinsamen Eigenvektor . Der von aufgespannte eindimensionale Unterraum ist dann invariant, muss also wegen der Irreduzibilität mit übereinstimmen, und das ist die Behauptung.

Andere Grundkörper[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Satz von Lie ist ebenfalls richtig fūr Vektorräume über algebraisch abgeschlossenen Körpern der Charakteristik Null. Dagegen gibt es Gegenbeispiele für Vektorräume über den reellen Zahlen oder über Körpern positiver Charakteristik.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg (1999), ISBN 3-528-06432-3, Kapitel II, §2: Nilpotente und auflösbare Lie-Algebren
  • James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Springer-Verlag (1972), ISBN 0-387-90052-7, Kapitel 4.1: Lie's Theorem