Champernowne-Zahl

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Die Champernowne-Zahl ist eine reelle Zahl aus dem Bereich der Zahlentheorie. Benannt ist sie nach dem Mathematiker David Gawen Champernowne, der 1933 damit erstmals die explizite Konstruktion einer normalen Zahl publizierte.[1] Die dezimale Ziffernfolge ist die Folge A033307 in OEIS. Kurt Mahler zeigte 1937, dass es sich dabei um eine transzendente Zahl handelt.[2]

Die ersten 161 Quotienten des Kettenbruches. Die 4., 18., 40. und 101. Stelle fehlen, da sie wertmäßig sehr groß sind.

Sie wird gebildet durch das „Aneinanderreihen“ der natürlichen Zahlen als Nachkommastellen. Vor dem Komma steht eine Null.

Im Dezimalsystem lauten die ersten Stellen der Champernowne-Zahl:

Sie kann auch als Reihe ausgedrückt werden:

Darstellung als unendlicher Kettenbruch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Champernowne-Zahl ist, wie schon erwähnt wurde, transzendent. Weil somit keine rationale Zahl ist, ist der Kettenbruch, der diese Zahl darstellt, ein unendlicher Kettenbruch. Weil außerdem keine quadratische Irrationalzahl ist, ist der unendliche Kettenbruch zusätzlich auch nicht periodisch. Die Darstellung der Champernowne-Zahl als unendlicher Kettenbruch weist in der Folge der Quotienten im dezimalen System große Sprünge auf, wo auf mehrere sehr kleine Quotienten sehr große folgen. Sie lautet:

In der mathematisch üblichen Notation für reguläre Kettenbrüche geschrieben, lautet die Kettenbruchentwicklung:

(Folge A030167 in OEIS)

Man kann erkennen, dass der Wert an der 19. Position 166 Stellen hat. Der nächste sehr große Wert findet sich im Kettenbruch an der 41. Position und hat 2504 Stellen. Da Kettenbrüche vor allem dazu verwendet werden, „gute Näherungsbrüche“ für irrationale Zahlen zu finden (und jede transzendente Zahl ist auch irrational), bedeuten diese großen Werte in der Kettenbruchentwicklung, dass man die Champernowne-Zahl äußerst gut annähern kann, wenn man vor diesen großen Werten abbricht. Das heißt, wenn man den Kettenbruch an der 4. Position abbricht (also vor dem Wert 149083), erhält man für die Näherungsbrüche:

Dieser Näherungsbruch stimmt mit der Champernowne-Zahl schon auf 9 Stellen nach dem Komma überein. Wenn man den Kettenbruch an der 18. Position abbricht (also vor dem 166-stelligen Wert an der 19. Position), erhält man für die Näherungsbrüche:

Dieser Näherungsbruch stimmt mit der Champernowne-Zahl schon auf 186 Stellen nach dem Komma überein.

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Schneidet man die Champernowne-Zahl an der -ten Stelle nach dem Komma ab und macht daraus eine ganze Zahl, erhält man die folgende Zahl:

Die ersten Zahlen, die man so erhält sind die folgenden:

1, 12, 123, 1234, 12345, 123456, 1234567, 12345678, 123456789, 1234567891, 12345678910, 123456789101, 1234567891011, 12345678910111, 123456789101112, 1234567891011121, … (Folge A252043 in OEIS)

Ist eine solche Zahl eine Primzahl, so heißt sie Champernowne-Primzahl.[3]

Die ersten Champernowne-Primzahlen sind die folgenden:

1234567891, 12345678910111, 123456789101112131415161, … (Folge A176942 in OEIS)

Die Anzahl der Stellen der ersten Champernowne-Primzahlen sind die folgenden:

10, 14, 24, 235, 2804, 4347, 37735, … (Folge A071620 in OEIS)

Die achte (noch nicht entdeckte) Champernowne-Primzahl wird mehr als 37800 Stellen haben.[4]

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. D.G. Champernowne: The Construction of Decimals Normal in the Scale of Ten. J. London Math. Soc. 8, 1933.
  2. Kurt Mahler: Arithmetische Eigenschaften einer Klasse von Dezimalbrüchen. (PDF) In: Proc. Konin. Neder. Akad. Wet. Ser. A., 40, 1937, S. 421–428
  3. Eric W. Weisstein: Smarandache Prime. In: MathWorld (englisch).
  4. Neil Sloane: Champernowne primes – Comments. OEIS, abgerufen am 3. August 2018.