Pareto-Optimum

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Dieser Artikel behandelt den pareto-optimalen Zustand. Für die mathematische Lösung des Optimierungsproblems siehe Pareto-Optimierung.
Pareto-Optima (rot) einer zweidimensionalen Wertemenge (blau). Eine solche Pareto-Front muss nicht durchgängig sein - sie kann Unterbrechungen haben.
Pareto-effiziente Güterbündel liegen auf der Produktionsmöglichkeitenkurve. Von keinem der beiden Güter kann eine zusätzliche Einheit hergestellt werden, soll die Produktion des anderen Gutes nicht eingeschränkt werden.

Ein Pareto-Optimum (auch Pareto-effizienter Zustand), benannt nach dem Ökonomen und Soziologen Vilfredo Pareto (1848–1923), ist ein Zustand, in dem es nicht möglich ist, eine Eigenschaft zu verbessern, ohne zugleich eine andere verschlechtern zu müssen. Die Menge aller Pareto-Optima heißt auch Pareto-Menge. Das Pareto-Kriterium ist die Beurteilung, ob ein Zustand sich durch die Verbesserung eines Parameters verbessert (Pareto-Superiorität), ohne die anderen Parameter verschlechtern zu müssen. Vilfredo Pareto bezog sich ursprünglich nicht auf Eigenschaften/Parameter, sondern auf Individuen. In Bezug auf Individuen kennzeichnet einen Pareto-optimalen (Pareto-effizienten) Zustand einen Zustand, bei dem es keine Möglichkeit gibt, ein Individuum besser zu stellen ohne gleichzeitig ein anderes schlechter zu stellen.

Mathematisch ausgedrückt ist das -Tupel ein Pareto-Optimum (hier: Maximum) einer Menge von -Tupeln, wenn es in kein anderes -Tupel gibt, das in allen Parametern mindestens so gut ist (und in einem echt besser), wenn es also kein anderes -Tupel in gibt, so dass für alle gilt: und für mindestens ein gilt: .

Ein Pareto-Optimum ist das Ergebnis einer Pareto-Optimierung.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiel 1[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

y-Achse: Festigkeit
x-Achse: „Leichtigkeit“ (=Kehrwert der Masse)
Ein Bauteil soll sowohl stabil (z. B. druckfest) als auch leicht werden. Es sei also gekennzeichnet durch die zwei Eigenschaften Festigkeit und Masse. Je höher die Festigkeit und je geringer die Masse, desto besser sei das Bauteil. Trägt man die Wertepaare für viele verschiedene Bauteile in ein Diagramm ein, das Festigkeit und (Kehrwert der Masse) gegenüberstellt, so erhält man die blau markierte Menge in nebenstehender Grafik.

Bei gleicher Masse ist das Bauteil besser, das fester ist. Bei gleicher Festigkeit ist das Bauteil besser, das leichter ist. Trifft die Verbesserung des einen Wertes auf die Verschlechterung des anderen, so sind die Bauteile nicht Pareto-vergleichbar.

Bezogen auf die Grafik sind weiter rechts und weiter oben stehende Werte Pareto-superior gegenüber den links und unten stehenden Werten. Alle Bauteile auf der roten Kurve sind „die besten“. Sie sind pareto-optimal. Eine Erhöhung eines Wertes ist dann nur noch möglich, wenn der andere abnimmt. (Auf der roten Linie gilt: „Weiter nach rechts“ zwingt zu „weiter nach unten“; umgekehrt zwingt „weiter nach oben“ dazu, auch „weiter nach links“ gehen zu müssen.)

Eine zusätzliche Bedingung oder Anforderung kann die Pareto-Front auf ein einziges „(aller-)bestes“ Bauteil (bzgl. aller drei Anforderungen) reduzieren. Dies kann auch eine Norm sein, die Festigkeit und Masse in eine Größe überführt, und dadurch die Punkte auf der roten Linie vergleichbar macht, was zu einer eindeutig optimalen Lösung (bzgl. der Norm) führt. Je nachdem ob die Größen vergleichbar sind, ist mitunter keine Norm zu finden.

Beispiel 2[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Angenommen, es handelt sich um die 3 Individuen A, B und C, die an einer Straße wohnen. Zur Versorgung mit Trinkwasser muss ein Brunnen gebohrt werden. Die Leitung vom Brunnen zu seinem Haus muss jeder selbst bezahlen. Deshalb möchte jeder den Brunnen möglichst dicht bei seinem Haus haben.
In der folgenden Skizze sind die Plätze der 3 Häuser an der Straße als A, B und C eingezeichnet. Außerdem sind die 5 möglichen Plätze für den Brunnen als b1, b2, b3, b4 und b5 eingezeichnet. (Annahme: Die vertikalen/horizontalen Entfernungen zum jeweils naheliegendsten Brunnen oder Nachbarn seien jeweils 50m.)
        Skizze der möglichen Plätze für den Brunnen:

                     (b1)


                     (b2)    (b3)


                     (b4)    (b5)


        =====|A|=====|B|=====|C|========Straße=====
                   

Menge A = { b1 , b2 , b3 , b4 , b5 }

Parameter sind die 3 Tupel-Elemente „Entfernung zu A“, „Entfernung zu B“ und „Entfernung zu C“:

  • b1( 158,1m , 150,0m , 158,1m )
  • b2( 111,8m , 100,0m , 111,8m )
  • b3( 141,4m , 111,8m , 100,0m )
  • b4( 70,7m , 50,0m , 70,7m )
  • b5( 111,8m , 70,7m , 50,0m )

Für den ersten Tupeleintrag (= „Entfernung zu A“) ist b4 optimal, für das zweite Tupelelement ist ebenfalls b4 optimal, für das dritte Tupelelement ist b5 optimal.

Das Pareto-Optimum ist somit { b4 , b5 }.

  • Der Platz b1 ist nicht pareto-optimal, denn der Platz b2 ist dem Platz b1 paretomäßig überlegen (englisch: pareto-superior). Der Platz b2 stellt gegenüber b1 für alle Beteiligten eine Verbesserung dar.
  • Aber auch b2 ist nicht pareto-optimal, denn b4 ist b2 paretomäßig überlegen. Der Platz b4 stellt gegenüber b2 für alle Beteiligten eine Verbesserung dar.
  • Die Plätze b2 und b3 sind nach dem Pareto-Kriterium nicht vergleichbar, da eine Verlegung des Brunnens von b2 nach b3 sowohl einen der Beteiligten besser stellt als auch einen andern Beteiligten schlechter stellt. Entsprechendes gilt für eine Verlegung des Brunnens von b3 nach b2. Eine Abwägung der Vor- und Nachteile verschiedener Personen ist über das Pareto-Kriterium nicht möglich.
  • Der Platz b3 ist ebenfalls kein Pareto-Optimum, denn b5 stellt gegenüber b3 für alle eine Verbesserung dar.
  • Der Platz b4 ist pareto-optimal, denn zu b4 gibt es keine paretomäßig überlegene Alternative, die (mindestens) einen der Beteiligten besser stellt, ohne zugleich einen anderen schlechter zu stellen
  • Der Platz b5 ist allerdings ebenfalls pareto-optimal, denn jede Verlegung des Brunnens auf einen der anderen Plätze würde Individuum C schlechter stellen.
  • Die Plätze b4 und b5 sind nach dem Pareto-Kriterium nicht vergleichbar, da eine Verlegung des Brunnens von b4 nach b5 sowohl einen der Beteiligten besser stellt als auch einen anderen schlechter stellt. Entsprechendes gilt für eine Verlegung von b5 nach b4.

Das Pareto-Kriterium im Vergleich zum Kriterium der Nutzensumme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Kriterium der Pareto-Optimalität verdrängte in der ökonomischen Theorie das bis dahin vorherrschende utilitaristische Kriterium der "Summe der individuellen Nutzen".

Unter dem Einfluss der positivistischen Wissenschaftstheorie wurde die Vorstellung von Nutzen als einer zahlenmäßig (kardinal) messbaren und für verschiedene Personen (interpersonal) vergleichbaren Größe nicht akzeptiert.

An die Stelle addierbarer, kardinaler Nutzengrößen treten nun ordinale Bewertungen in Form von Präferenzen ( ist besser / gleich gut / schlechter als / nicht entscheidbar). Daraus lassen sich in der Regel Rangordnungen (Präferenzordnungen) bilden (1. Rang , 2. Rang , 3. Rang usw. oder kurz ). Es wird dabei kein interpersonal anwendbarer Nutzenmaßstab benötigt, da es sich um individuelle Präferenzordnungen handelt. Die Gewichtung der Individuen mit ihren Interessen erfolgt beim Pareto-Kriterium implizit. Die Individuen mit ihren Interessen werden insofern gleich gewichtet, als es egal ist, welches der Individuen jeweils besser oder schlechter gestellt ist.

Die Einführung eines Nutzenmaßstabs reduziert die Parameter eines Tupels auf eine Größe. Erst dadurch entfällt die Nichtentscheidbarkeit der Größer-/Kleinerbeziehung zwischen den Tupeln und ermöglicht den Tausch als Pareto-Optimierung.

Das Pareto-Kriterium in Verbindung mit einer Status-quo-Regelung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für sich genommen ist das Pareto-Kriterium ein plausibles und unproblematisches Kriterium für gesellschaftliche Entscheidungen. Es befürwortet alle Veränderungen, die irgendjemandem nützen und niemandem schaden.

Ethisch problematisch wird es jedoch, wenn die so definierte Optimalität bzw. Effizienz der einzige Gesichtspunkt bleibt.

Wie gezeigt wurde, existieren u. U. eine Vielzahl von Pareto-Optima, die untereinander wertmäßig nicht vergleichbar sind. In der wirtschaftlichen Realität findet jedoch eine Auswahl statt, denn – wie bei Rechtsordnungen üblich – es bleibt beim bestehenden Zustand, dem Status quo, wenn es zu keinen Entscheidungen kommt. Es kommt folglich solange nicht zu einer Veränderung des Bestehenden, wie nur irgendeinem Eigentümer dadurch ein Nachteil entsteht. Durch die Verbindung des Kriteriums der Pareto-Optimalität mit einer Status-quo-Klausel wirkt das Pareto-Kriterium zugunsten der bestehenden Verhältnisse.

Pareto-Verbesserung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Zustand (bspw. eine Allokation) ist eine Pareto-Verbesserung verglichen mit einem anderen Zustand, wenn eine Konsumentin besser gestellt wird, ohne die andere Konsumentin zu verschlechtern.

Bedingungen für Effizienz (Pareto-Optimalität)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Pareto-Optimalität einer Volkswirtschaft bedeutet, dass die Produktionsfaktoren einer optimalen Verwendung zugeführt werden. Das ist der Fall, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:

1. Tauschoptimum
Die marginalen Nutzengewinne aller Güter, die ein Individuum konsumiert, sind identisch. Man spricht davon, dass die Grenzraten der Substitution gleich sind (Zweites Gossensches Gesetz). In diesem Fall konsumiert das Individuum gerade die Güter, durch die sein Nutzen maximal wird.
2. Optimaler Faktoreinsatz
Die Grenzproduktivitäten der eingesetzten Faktoren müssen gleich sein. Diese Bedingung stellt sicher, dass die größte mögliche Gütermenge erzeugt wird.

In modernen Volkswirtschaften treten regelmäßig Abweichungen von mehreren Bedingungen der Pareto-Optimalität auf. So können zugleich Monopole, Externalitäten, Informationsasymmetrien und das Vorliegen öffentlicher Güter das Funktionieren des Marktmechanismus beeinträchtigen. In diesem Fall ist nach der Theorie des Zweitbesten unklar, ob sich eine isolierte Maßnahme zur Herstellung der Bedingungen effizienzsteigernd auswirkt.[1]

Kritik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Pareto-Kriterium ist in der Ökonomik, insbesondere im Kontext der Sozialwahltheorie, umstritten.

In einem 1970 veröffentlichten Artikel behauptete Amartya Sen die „Unmöglichkeit eines Pareto-Liberalen“. Unter Annahmen, die denen ähneln, die Arrow für sein berühmtes Unmöglichkeitstheorem getroffen hatte, aber weniger streng sind, wies er nach, dass es Situationen gibt, in denen eine „liberale Gesinnung“ (formalisiert als soziale Präferenz, die in bestimmten Situationen streng den Präferenzen des betreffenden Individuums folgt) mit dem Pareto-Kriterium konfligieren. Er verdeutlichte dies an einem Beispiel, in dem ein prüder Mensch sich wünschte, dass sein Nachbar nicht Lawrence' Lady Chatterley's Lover liest, und das Buch lieber selbst lesen würde, auch wenn es ihm zuwider ist. Der Nachbar würde das Buch gern selbst lesen, noch lieber wäre es ihm aber, wenn der Prüde es liest. Sen zeigte, dass die „liberal optimale“ Lösung wäre, dass keiner der beiden das Buch liest, während es Pareto-optimal wäre, wenn der Prüde es liest. Er zog daraus den Schluss, dass das Pareto-Kriterium hinterfragt werden sollte.[2][3]

In der Praxis wird es nur selten die Möglichkeit zum Regierungshandeln oder einer Gesetzesänderung geben, die tatsächlich niemanden schlechter stellt.[4] Guido Calabresi argumentierte sogar, das Kriterium der Pareto-Optimalität könne für den Staat bereits deshalb keine Leitlinie sein, weil rationale Individuen unter den Annahmen des Coase-Theorems schon immer untereinander in privaten Verhandlungen Pareto-optimale Lösungen gefunden haben werden. Staatliche Entscheidungen hätten also notwendig immer auch eine distributive Wirkung, einige der betroffenen Bürger würden immer schlechter gestellt.[4][5]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Dieter Brümmerhoff: Finanzwissenschaft. 9., vollständig überarbeitete und erweiterte Auflage. Oldenbourg Verlag, München u. a. 2007, ISBN 978-3-486-58483-7.
  • Eberhard Feess: Mikroökonomie. Eine spieltheoretisch- und anwendungsorientierte Einführung. Metropolis, Marburg 1997, ISBN 3-89518-276-1 ((= Kompaktstudium Wirtschaftswissenschaften. Bd. 1). 3., vollständig überarbeitete Auflage. Vahlen, München 2004, ISBN 3-8006-3069-9).
  • Amartya K. Sen: Collective Choice and Social Welfare (Mathematical Economics Texts. Bd. 5). Holden-Day u. a., San Francisco CA u. a. 1970, ISBN 0-8162-7765-6.
  • Harald Wiese: Kooperative Spieltheorie. Oldenbourg, München u. a. 2005, ISBN 3-486-57745-X.
  • Harald Wiese: Mikroökonomik. 4., überarbeitete Auflage. Springer, Berlin u. a. 2005, ISBN 3-540-24203-1.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Belege[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Dieter Brümmerhoff: Finanzwissenschaft. 2007, S. 102.
  2. Amartya Sen: The Impossibility of a Paretian Liberal. In: Journal of Political Economy. Band 78, 1970, S. 152–157.
  3. Amartya Sen: Liberty, Unanimity and Rights. In: Economica. Band 43, 1976, S. 217–245 (PDF-Datei; 1,9 MB).
  4. a b Allan M. Feldman: Pareto Optimality. In: Peter Newman (Hrsg.): The New Palgrave Dictionary of Economics and the Law. 1998.
  5. Guido Calabresi: The Pointlessness of Pareto: Carrying Coase Further. In: The Yale Law Journal. Band 100, Nr. 5, 1991, doi:10.2307/796691.