Prädikatenlogik erster Stufe

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
Wechseln zu: Navigation, Suche

Die Prädikatenlogik erster Stufe ist ein Teilgebiet der mathematischen Logik. Sie befasst sich mit der Struktur gewisser mathematischer Ausdrücke und dem logischen Schließen, mit dem man von derartigen Ausdrücken zu anderen gelangt. Dabei gelingt es, sowohl die Sprache als auch das Schließen rein syntaktisch, das heißt ohne Bezug zu mathematischen Bedeutungen, zu definieren. Das dadurch ermöglichte Zusammenspiel von rein syntaktischen Überlegungen einerseits und semantischen Betrachtungen andererseits führt zu wichtigen Erkenntnissen, die Bedeutung für die gesamte Mathematik haben, denn diese lässt sich mittels der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre in der Prädikatenlogik erster Stufe formulieren.

Ein motivierendes Beispiel[Bearbeiten]

Die unten aufzustellenden Definitionen sollen am Beispiel der Theorie der geordneten abelschen Gruppen motiviert werden. Eine geordnete abelsche Gruppe besteht zunächst aus einer abelschen Gruppe (G,+), das heißt man hat folgende Eigenschaften

In mathematischer Kurzschreibweise kann man das auch als

\forall x y z: \,(x+y)+z=x+(y+z),\quad \forall x y: \, x+y=y+x,\quad \forall x: \, x+0=x\quad \forall x: \, x+(-x)=0

wiedergeben. Dabei schreiben wir \forall x an Stelle des oft verwendeten \forall x\in G, da wir hier ohnehin über nichts anderes als die Elemente der Gruppe aussagen wollen. Ferner haben wir eine \le-Relation für die Ordnung auf der Gruppe, die den folgenden Axiomen genügen muss, die hier gleich in Kurzschreibweise angegeben werden:

  • Reflexivität: \forall x: x\le x
  • Transitivität: \forall x y z: ((x\le y \land y\le z) \rightarrow x\le z )
  • Gruppenverträglichkeit: \forall x y z: (x\le y \rightarrow x+z\le y+z )

Beispiele für geordnete abelsche Gruppen sind etwa (\R,+,-,\le) oder (\Z,+,-,\le), die schon aus Mächtigkeitsgründen nicht isomorph sein können.

Insgesamt haben wir einige der sogenannten logischen Symbole \forall, \exists, \land, \lor, \rightarrow, \leftrightarrow, \neg verwendet, Klammern als Hilfssymbole, ferner das Gleichheitszeichen und Variablen für die Elemente. Die für die Theorie der geordneten abelschen Gruppen charakteristischen Symbole sind die Konstante 0, die Funktionen + und – sowie die Relation \le, wobei die in der Mathematik üblichen Schreibweisen benutzt wurden, das heißt x+y statt +(x,y) bzw.  x\le y statt (x,y)\in \le. Die beiden Funktionen haben unterschiedliche Stelligkeit, + ist 2-stellig, die Inversenbildung – ist 1-stellig, die betrachtete Ordnungsrelation ist 2-stellig. Damit sind die Symbole einer ganz bestimmten Sprache beschrieben, in der man die Theorie der geordneten abelschen Gruppen formulieren kann. Manche der aus den Symbolen gebildeten Zeichenketten sind "vernünftig", d.h. nach gewissen Gesetzmäßigkeiten gebildet, und manche von diesen drücken darüber hinaus "wahre Aussagen" aus. Dies wird im folgenden verallgemeinert, insbesondere wird der Unterschied zwischen den nach Regeln gebildeten "vernünftigen" Zeichenketten und einem möglichen "Wahrheitsgehalt" solcher Zeichenketten herausgearbeitet sowie sich daraus ergebende Konsequenzen. Diese haben für die gesamte Mathematik Bedeutung.

Die Sprache der Prädikatenlogik erster Stufe[Bearbeiten]

Wir beschreiben hier die verwendete Sprache auf rein syntaktische Weise, das heißt wir legen die betrachteten Zeichenketten, die wir Ausdrücke der Sprache nennen wollen, ohne Bezug auf ihre Bedeutung fest.

Symbole[Bearbeiten]

Eine Sprache erster Stufe wird aus folgenden Symbolen aufgebaut:

  • \forall, \exists, \land, \lor, \rightarrow, \leftrightarrow, \neg, (, ), \equiv
  • sogenannte Variablensymbole v_0,v_1,v_2,\ldots,
  • eine (möglicherweise leere) Menge \mathcal C von Konstantensymbolen,
  • eine (möglicherweise leere) Menge \mathcal F von Funktionssymbolen,
  • eine (möglicherweise leere) Menge \mathcal R von Relationssymbolen.

Das Komma wird hier nur als Trennzeichen für die Aufzählung der Symbole benutzt, es ist nicht Symbol der Sprache.

Terme[Bearbeiten]

Die nach folgenden Regeln aufgebauten Zeichenketten heißen Terme:[1]

  • Ist v ein Variablensymbol, so ist v ein Term.
  • Ist c ein Konstantensymbol, so ist c ein Term.
  • Ist f ein 1-stelliges Funktionssymbol und ist t_1 ein Term, so ist ft_1 ein Term.
  • Ist f ein 2-stelliges Funktionssymbol und sind t_1,t_2 Terme, so ist ft_1t_2 ein Term.
  • Ist f ein 3-stelliges Funktionssymbol und sind t_1,t_2,t_3 Terme, so ist ft_1t_2t_3 ein Term.
  • und so weiter für 4,5,6,...-stellige Funktionssymbole.

Ist zum Beispiel c eine Konstante und sind f und g 1- bzw. 2-stellige Funktionssymbole, so ist fgv_2fc ein Term, da er sich durch Anwendung obiger Regeln erstellen lässt: c ist ein Term, daher auch fc; fc und v_2 sind Terme, daher auch gv_2fc und damit schließlich auch fgv_2fc.

Wir verzichten hier auf Klammern und Kommata als Trennzeichen, das heißt wir schreiben fgv_2fc und nicht f(g(v_2,f(c))). Wir setzen damit implizit voraus, dass unsere Symbole derart beschaffen sind, dass eine eindeutige Lesbarkeit gewährleistet ist.

Die Regeln für die Funktionssymbole fasst man oft so zusammen:

  • Ist f ein n-stelliges Funktionssymbol und sind t_1,\ldots,t_n Terme, so ist ft_1\ldots t_n ein Term.

Damit ist nichts anderes als die oben angedeutete unendliche Folge von Regeln gemeint, denn die drei Punkte \ldots gehören nicht zu den vereinbarten Symbolen. Dennoch wird manchmal von dieser Schreibweise Gebrauch gemacht.

Über den Aufbau der Terme lassen sich weitere Eigenschaften definieren. So definieren wir offenbar durch die folgenden drei Regeln rekursiv, welche Variablen in einem Term vorkommen:

  • Ist v ein Variablensymbol, so sei \mathrm{var}(v) \,=\, \{v\}.
  • Ist c ein Konstantensymbol, so sei \mathrm{var}(c) \,=\, \emptyset.
  • Ist f ein n-stelliges Funktionssymbol und sind t_1,\ldots,t_n Terme, so sei \mathrm{var}(ft_1\ldots t_n) \,=\, \mathrm{var}(t_1)\cup\ldots \cup \mathrm{var}(t_n).

Ausdrücke[Bearbeiten]

Wir erklären nun durch Bildungsgesetze, welche Zeichenketten wir als Ausdrücke der Sprache ansehen wollen[2].

Atomare Ausdrücke

  • Sind t_1 und t_2 Terme, so ist t_1 \equiv t_2 ein Ausdruck.
  • Ist R ein 1-stelliges Relationssymbol und ist t_1 ein Term, so ist Rt_1 ein Ausdruck.
  • Ist R ein 2-stelliges Relationssymbol und sind t_1,t_2 Terme, so ist Rt_1t_2 ein Ausdruck.
  • und so weiter für 3,4,5,...-stellige Relationssymbole.

Dabei gelten die oben zur Schreibweise bei Termen gemachten Bemerkungen.

Zusammengesetzte Ausdrücke

Wir beschreiben hier, wie sich aus Ausdrücken weitere gewinnen lassen.

  • Ist \varphi ein Ausdruck, so ist auch \neg \varphi ein Ausdruck.
  • Sind \varphi und \psi Ausdrücke, so sind auch (\varphi \land \psi), (\varphi \lor \psi), (\varphi \rightarrow \psi) und (\varphi \leftrightarrow \psi) Ausdrücke.
  • Ist \varphi ein Ausdruck und ist x eine Variable, so sind auch \forall x \varphi und \exists x \varphi Ausdrücke.

Damit sind alle Ausdrücke unserer Sprache festgelegt. Ist zum Beispiel f ein 1-stelliges Funktionssymbol und R ein 2-stelliges Relationssymbol, so ist

\forall v_0((Rv_0v_1\lor v_0\equiv fv_1) \rightarrow \exists v_2 \neg Rv_0v_2)

ein Ausdruck, da er sich durch Anwendung obiger Regeln aufbauen lässt. Es sei noch einmal darauf hingewiesen, dass wir die Ausdrücke mittels der genannten Regeln rein mechanisch erstellen, ohne dass die Ausdrücke zwangsläufig irgendetwas bezeichnen müssten.

1. Stufe[Bearbeiten]

Unterschiedliche Sprachen erster Stufe unterscheiden sich lediglich in den Mengen \mathcal C, \mathcal F und \mathcal R, die man üblicherweise zur Symbolmenge S zusammenfasst und auch die Signatur der Sprache nennt. Man spricht dann auch genauer von S-Termen bzw. S-Ausdrücken. Die Sprache, das heißt die Gesamtheit aller nach obigen Regeln gebildeten Ausdrücke, wird mit L(S), L^S oder L_I^S bezeichnet. Bei letzterem steht die römische I für die 1-te Stufe. Dies bezieht sich auf den Umstand, dass gemäß letzter Erzeugungsregel nur über Variable quantifiziert werden kann. L_I^S sieht nicht vor, über alle Teilmengen einer Menge oder über alle Funktionen zu quantifizieren. So lassen sich die üblichen Peano-Axiome nicht in L_I^S ausdrücken, da das Induktionsaxiom eine Aussage über alle Teilmengen der natürlichen Zahlen macht. Das kann als Schwäche dieser Sprache angesehen werden, allerdings sind die Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre sämtlich in der ersten Stufe mit dem einzigen Symbol \in formulierbar, so dass die erste Stufe prinzipiell für die Mathematik ausreicht.[3]

Freie Variablen[Bearbeiten]

Weitere Eigenschaften von Ausdrücken der Sprache L_I^S lassen sich ebenfalls rein syntaktisch definieren. Gemäß dem oben beschriebenen Aufbau durch Bildungsregeln definieren wir die Menge \mathrm{frei}(\varphi) der im Ausdruck \varphi frei vorkommenden Variablen wie folgt[4]:

  • \mathrm{frei}(t_1\equiv t_2) = \mathrm{var}(t_1)\cup \mathrm{var}(t_2)
  • \mathrm{frei}(Rt_1\ldots t_n) = \mathrm{var}(t_1)\cup\ldots \cup \mathrm{var}(t_n)
  • \mathrm{frei}(\neg \varphi) = \mathrm{frei}(\varphi)
  • \mathrm{frei}(\varphi \land \psi) = \mathrm{frei}(\varphi)\cup \mathrm{frei}(\psi) und genauso für \lor, \rightarrow, \leftrightarrow
  • \mathrm{frei}(\forall x\varphi) = \mathrm{frei}(\varphi)\setminus \{x\}
  • \mathrm{frei}(\exists x\varphi) = \mathrm{frei}(\varphi)\setminus \{x\}

Nicht-freie Variable heißen gebundene Variable. Ausdrücke \varphi ohne freie Variable, das heißt solche mit \mathrm{frei}(\varphi)=\emptyset , nennt man Sätze. Sämtliche in obigem motivierenden Beispiel angegebenen Axiome der geordneten abelschen Gruppen sind bei entsprechender Übersetzung in die Sprache L_I^{\{0,+,-,\le\}} Sätze, so zum Beispiel \forall v_0 \forall v_1 +\!v_0v_1\equiv +v_1v_0 für das Kommutativgesetz.

Metasprachliche Ausdrücke[Bearbeiten]

Das gerade gegebene Beispiel \forall v_0 \forall v_1 +\!v_0v_1\equiv +v_1v_0 als Symbolisierung des Kommutativgesetzes in der Sprache L_I^{\{0,+,-,\le\}} zeigt, dass die entstehenden Ausdrücke oft schwer lesbar sind. Daher kehrt der Mathematiker, und oft auch der Logiker, gern zur klassischen Schreibweise \forall x,y: x+y = y+x zurück. Letzteres ist aber kein Ausdruck der Sprache L_I^{\{0,+,-,\le\}} sondern nur eine Mitteilung eines solchen Ausdrucks unter Verwendung anderer Symbole einer anderen Sprache, hier der sogenannten Metasprache, das heißt derjenigen Sprache, in der man über L_I^{\{0,+,-,\le\}} spricht. Aus Gründen der besseren Lesbarkeit lässt man auch gern überflüssige Klammern fort. Das führt nicht zu Problemen, solange klar bleibt, dass man die leichter lesbaren Zeichenketten jederzeit zurückübersetzen könnte.

Substitutionen[Bearbeiten]

Häufig werden in der Mathematik Variablen durch Terme ersetzt. Auch das lässt sich hier rein syntaktisch auf Basis unserer Symbole erklären. Durch folgende Regeln legen wir fest, was es bedeuten soll, den Term t für eine Variable x einzusetzen. Wir folgen dabei wieder dem regelhaften Aufbau von Termen und Ausdrücken. Die Ersetzung wird als [\,]\frac{t}{x} notiert, wobei die eckigen Klammern weggelassen werden dürfen.

Für Terme s wird die Einsetzung s\frac{t}{x} wie folgt definiert:

  • Ist v ein Variablensymbol, so ist v\frac{t}{x} gleich t falls v=x und v sonst.
  • Ist c ein Konstantensymbol, so ist c\frac{t}{x}:=c.
  • Sind f ein n-stelliges Funktionssymbol und t_1,\ldots,t_n Terme, so ist [ft_1\ldots t_n]\frac{t}{x} := ft_1\frac{t}{x}\ldots t_n\frac{t}{x}.

Für Ausdrücke schreiben wir eckige Klammern um den Ausdruck, in dem die Substitution vorgenommen werden soll. Wir legen fest:

  • [t_1\equiv t_2]\frac{t}{x} := t_1\frac{t}{x} \equiv t_2\frac{t}{x}
  • [Rt_1\ldots t_n]\frac{t}{x} := Rt_1\frac{t}{x}\ldots t_n\frac{t}{x}
  • [\neg\varphi]\frac{t}{x} := \neg [\varphi]\frac{t}{x}
  • [(\varphi \lor \psi)]\frac{t}{x} := ([\varphi]\frac{t}{x} \lor [\psi]\frac{t}{x}) und genauso für \land, \rightarrow, \leftrightarrow
  • [\exists x \varphi]\frac{t}{x} := \exists x \varphi; analog für den Quantor \forall
  • [\exists y \varphi]\frac{t}{x} := \exists y [\varphi] \frac{t}{x} falls x\neq y und y\notin \mathrm{var}(t); analog für den Quantor \forall
  • [\exists y \varphi]\frac{t}{x} := \exists u [\varphi] \frac{u}{y} \frac{t}{x} falls x\neq y und y\in \mathrm{var}(t), wobei u eine Variable sei, die nicht in \varphi oder t vorkommt, zum Beispiel die erste der Variablen v_0,v_1,v_2,\ldots, die diese Bedingung erfüllt. Die analoge Festlegung wird für \forall getroffen.

Bei dieser Definition wurde darauf geachtet, dass Variablen nicht unbeabsichtigt in den Einflussbereich eines Quantors geraten. Falls die gebundene Variable x im Term auftritt, so wird diese zuvor durch eine andere ersetzt, um so die Variablenkollision zu vermeiden.

Semantik[Bearbeiten]

Wir gehen von einer Sprache L_I^S aus. Die nach obigen Regeln in dieser Sprache gebildeten Ausdrücke sollen nun mit mathematischen Strukturen in Verbindung gebracht werden. In diesen Strukturen kann man die Ausdrücke dann auf ihren Wahrheitsgehalt hin untersuchen, was im folgenden präzisiert wird.

Strukturen[Bearbeiten]

Eine Struktur \mathcal A über einer Signatur S ist eine nicht-leere Menge A zusammen mit

  • einem Element c^{\mathcal A}\in A für jedes Konstantensymbol c\in S,
  • einer Funktion f^{\mathcal A}:A^n\rightarrow A für jedes n-stellige Funktionssymbol f\in S,
  • einer Relation R^{\mathcal A}\subset A^n für jedes n-stellige Relationssymbol R\in S.

Im eingangs gegebenen Beispiel geordneter abelscher Gruppen ist (\R,0,+,-,\le) eine \{0,+,-,\le\}-Struktur. Durch S-Strukturen werden also die Symbole aus S mit „echten“ Konstanten, Funktionen und Relationen in Zusammenhang gebracht.

Interpretationen[Bearbeiten]

Eine Interpretation von L_I^S ist ein Paar {\mathcal I} = ({\mathcal A},\beta) bestehend aus einer S-Struktur \mathcal A und einer Abbildung \beta:\{v_i;\,i\in \N_0\}\rightarrow A.

Man verbindet damit die Vorstellung, dass die Struktur das mathematische Objekt ist, das mit der Sprache beschrieben werden soll, während \beta die Variablen mit Werten aus der Grundmenge A belegt, weshalb man diese Abbildung auch Belegung nennt. Die Belegung einer Interpretation kann leicht auf Terme ausgedehnt werden, diese Ausdehnung hängt von der Interpretation der Konstantensymbole und Funktionssymbole ab und wird daher ebenfalls mit \mathcal I bezeichnet; man legt fest:

  • Ist v eine Variable, so sei {\mathcal I}(v) := \beta(v).
  • Ist c ein Konstantensymbol, so sei {\mathcal I}(c) := c^{\mathcal A}.
  • Ist f ein n-stelliges Funktionssymbol und sind t_1,\ldots,t_n Terme, so sei {\mathcal I}(ft_1\ldots t_n) := f^{\mathcal A}({\mathcal I}(t_1),\ldots,{\mathcal I}(t_n)).

Setzt man etwa \beta(v_i) = i\in \R, so ist {\mathcal I} = ((\R,0,+,-,\le),\beta) eine solche Interpretation. Dann gilt {\mathcal I}(+v_1-v_7) = +^{\mathcal A}({\mathcal I}(v_1),-^{\mathcal A}({\mathcal I}(v_7)) = 1+(-7) = -6.

Ändern wir eine Belegung nur an der Stelle x ab und bilden dieses x auf a\in A ab, so schreiben wir \beta \frac{a}{x} für die so abgeänderte Belegung und {\mathcal I}\frac{a}{x} := ({\mathcal A},\beta\frac{a}{x}). Oft ist die Belegung der Variablen klar oder unwichtig; dann nennen wir, etwas unsauber aber praktisch, auch die Struktur \mathcal A eine Interpretation.

Modelle[Bearbeiten]

Wir wollen sagen, dass eine Interpretation {\mathcal I} = ({\mathcal A},\beta) ein Modell für einen S Ausdruck \varphi ist und dafür {\mathcal I} \vDash \varphi schreiben, wenn sich dies auf Grund folgender Regeln ergibt[5]:
\begin{matrix}
{\mathcal I} \vDash t_1\equiv t_2 & :\Leftrightarrow & {\mathcal I}(t_1) = {\mathcal I}(t_2) \\
{\mathcal I} \vDash Rt_1\ldots t_n & :\Leftrightarrow & R^{\mathcal A}({\mathcal I}(t_1),\ldots, {\mathcal I}(t_n))\\
{\mathcal I} \vDash \neg\varphi & :\Leftrightarrow & \text{nicht }{\mathcal I} \vDash \varphi\\
{\mathcal I} \vDash (\varphi\land \psi) & :\Leftrightarrow & {\mathcal I} \vDash \varphi \text{ und }{\mathcal I} \vDash \psi\\
{\mathcal I} \vDash (\varphi\lor \psi) & :\Leftrightarrow & {\mathcal I} \vDash \varphi \text{ oder }{\mathcal I} \vDash \psi\\
{\mathcal I} \vDash (\varphi\rightarrow \psi) & :\Leftrightarrow & \text{wenn }{\mathcal I} \vDash \varphi \text{ dann auch }{\mathcal I} \vDash \psi\\
{\mathcal I} \vDash (\varphi\leftrightarrow \psi) & :\Leftrightarrow & {\mathcal I} \vDash \varphi \text{ genau dann, wenn }{\mathcal I} \vDash \psi\\
{\mathcal I} \vDash \forall x\varphi & :\Leftrightarrow & {\mathcal I}\frac{a}{x} \vDash \varphi \mbox{ für alle } a\in A\\
{\mathcal I} \vDash \exists x\varphi & :\Leftrightarrow & \text{es gibt ein }a\in A \text{ mit }{\mathcal I}\frac{a}{x} \vDash \varphi
\end{matrix}

Diese Definition orientiert sich wieder am regelhaften Aufbau der Ausdrücke der Sprache L_I^S. Die Pünktchenschreibweise in der zweiten Regel steht hier wieder für eine Liste von Regeln, für jede Stelligkeit eine.

Durch den Begriff der Interpretation wurden die Variablen und die Symbole aus S mit einer Bedeutung versehen. Durch die gerade definierte Modellbeziehung werden erstmals auch die logischen Symbole interpretiert.

Für eine Menge \Phi von Ausdrücken schreiben wir {\mathcal I} \vDash \Phi, wenn {\mathcal I} \vDash \varphi für alle \varphi \in \Phi gilt, und sagen {\mathcal I} sei ein Modell von \Phi. Bezeichnet \Phi etwa die oben genannten Axiome der geordneten abelschen Gruppen, so gilt {\mathcal I}=({\mathcal A},\beta) \vDash \Phi genau dann, wenn {\mathcal A} eine geordnete abelsche Gruppe ist. Dabei scheint die Belegung \beta keine Rolle zu spielen, da \Phi nur aus Sätzen besteht, also keine freien Variablen enthält. Das ist tatsächlich der Fall, wie das sogenannte Koinzidenzlemma aussagt. In einem solchen Fall kann man \beta fortlassen und einfach {\mathcal A} \vDash \Phi schreiben. Damit ist dann ausgesagt, dass {\mathcal I}=({\mathcal A},\beta) für jede Belegung \beta ein Modell aller Ausdrücke aus \Phi ist.

Gleichheit[Bearbeiten]

Zur Verwendung der Gleichheit ist anzumerken, dass wir in der Sprache erster Stufe das Symbol \equiv eingeführt haben. Ein Ausdruck der Form \varphi = \psi ist kein Ausdruck der Sprache erster Stufe sondern die metasprachliche Behauptung der Gleichheit der beiden Ausdrücke \varphi und \psi. Letzteres lässt sich in der Sprache erster Stufe gar nicht symbolisieren, dort können nur Terme gleich sein. Parallel zum hier betrachteten Aufbau gibt es auch die Prädikatenlogik erster Stufe ohne Gleichheit, dazu entfernt man das Symbol \equiv und die es betreffende Bildungsregel. Zwar kann man die Gleichheit dann über eine Relation wieder ins Spiel bringen, setzt diese dann aber Interpretationen aus, so dass man nicht dasselbe erhält wie eine Logik mit Gleichheit. Die logische Gleichheit \equiv hingegen bedeutet in jeder Interpretation Gleichheit von Individuen, und das ist der Grund, warum man Logiken mit Gleichheit betrachtet[6].

Mathematisches Schließen[Bearbeiten]

Folgerungen[Bearbeiten]

Es sei \Phi eine gegebene Menge von Ausdrücken, zum Beispiel obige Axiome der geordneten abelschen Gruppen. Der Mathematiker interessiert sich dafür, welche Folgerungen aus ihnen gezogen werden können. Wir sagen, der Ausdruck \varphi folge aus \Phi und schreiben dafür \Phi \vDash \varphi, wenn jedes Modell von \Phi auch Modell von \varphi ist. Das ist die sogenannte semantische Schlussweise, da sie Bezug auf alle möglichen Interpretationen der Symbole nimmt.

Sequenzenkalkül[Bearbeiten]

Hauptartikel: Sequenzenkalkül

In der Regel schließt der Mathematiker nicht semantisch, sondern er wendet gewisse Schlussregeln an, mit denen er sich von einer Aussage zur nächsten bis zur Behauptung vorarbeitet. Ausgehend von einer gegebenen Folge \Phi von Ausdrücken geht er zu neuen Folgen \Phi \,\varphi \,\psi \,\ldots über, um am Ende mit einer Folge \Phi\, \varphi „bewiesen“ zu haben, dass \varphi aus \Phi folgt. Der „Beweis“ ist dabei eine endliche Liste solcher Folgen. Hier werden einige solcher Schlussregeln vorgestellt, ihr inhaltlicher Hintergrund beleuchtet und anschließend mit der semantischen Schlussweise verglichen. In \Phi \,\varphi \,\psi \,\ldots nennt man \Phi das Antezedenz und die nachfolgenden Ausdrücke das Sukzedenz.

Voraussetzungsregel: \Phi \,\varphi ist eine erlaubte Folge, wenn \varphi \in \Phi. Dahinter steckt der einfache Tatbestand, dass man jederzeit eine der Voraussetzungen aus \Phi verwenden darf.

Antezedenzregel: Falls man \Phi \,\varphi bereits hat, so kann man zu \Phi^' \,\varphi übergehen, falls \Phi\subset \Phi^'. Wenn man nämlich von \Phi auf \varphi schließen kann, so kann man das erst recht unter noch stärkeren Voraussetzungen tun.

Fallunterscheidung: Falls man \Phi \,\psi \,\varphi und \Phi \,\neg\psi\, \varphi bereits hat, so kann man zu \Phi \varphi übergehen. Man kann im Falle \psi von \Phi auf \varphi schließen, und auch im Falle von \neg \psi. Daher kann man in jedem Fall von \Phi auf \varphi schließen.

Widerspruch. Falls man \Phi \,\neg\varphi \,\psi und \Phi \,\neg\varphi \, \neg \psi bereits hat, so kann man zu \Phi \,\varphi übergehen. Nimmt man nämlich im Sinne eines Widerspruchsbeweises an, dass \neg \varphi, so ergibt sich aus den Voraussetzungen sowohl \psi als auch \neg\psi, insgesamt also ein Widerspruch. Daher war die Annahme \neg\varphi falsch und man kann auf \varphi schließen.

Odereinführung im Antezedenz: Falls man \Phi \,\varphi \,\chi und \Phi \,\psi \,\chi bereits hat, so kann man zu \Phi \,(\varphi\lor\psi) \,\chi übergehen. Unter den Voraussetzungen \Phi ergibt sich \chi sowohl aus \varphi als auch aus \psi. Daher ergibt sich \chi bereits, wenn \varphi oder \psi gilt.

Odereinführung im Sukzedenz: Falls man \Phi \,\varphi bereits hat, so kann man zu \Phi \,(\varphi\lor\psi) übergehen. Das ist klar, da mit \varphi erst recht \varphi\lor\psi gilt. Entsprechend kann man auch zu \Phi \,(\psi\lor\varphi) übergehen.

Gleichheit: Man kann jederzeit den Ausdruck t\equiv t hinschreiben, wobei t ein beliebiger Term ist. Diese Regel bedarf keiner Erläuterung.

Die noch folgenden drei Schlussregeln verwenden die oben definierte Substitution von Variablen durch Terme:

Substitution: Falls man \Phi \,\varphi\frac{t}{x} bereits hat, so kann man zu \Phi \,t\!=\!s\,\varphi\frac{s}{x} übergehen. Wenn man aus \Phi auf \varphi\frac{t}{x}, das heißt auf \varphi mit der Ersetzung t an Stelle von x, schließen kann, so auch auf \varphi mit der Ersetzung s an Stelle von x, falls t gleich s ist.

Existenzeinführung im Antezendenz: Falls man \Phi \,\varphi\frac{y}{x} \,\psi bereits hat, so kann man zu \Phi \, \exists x \varphi\, \psi übergehen. Um mit der Existenzvoraussetzung \exists x \phi arbeiten zu können, darf man ein y verwenden, für das \varphi\frac{y}{x} gilt. In Beweisen, die diese Regel verwenden, heißt dann nach der Existenzvoraussetzung: Sei y so ein ...

Existenzeinführung im Sukzendenz: Falls man \Phi \,\varphi\frac{t}{x} bereits hat, so kann man zu \Phi \, \exists x \varphi übergehen. Auch diese Regel ist einsichtig, denn wenn man mit t ein Beispiel für \varphi gefunden hat, so kann man auf die Existenzaussage schließen und das Beispiel dabei nicht mehr erwähnen.

Die hier vorgestellten Regeln, die den sogenannten Sequenzenkalkül bilden, sind logisch schlüssig, wie als Zusatz zu jeder Regelnennung ausgeführt wurde. Mathematiker verwenden noch einige andere Schlussregeln, von denen aber gezeigt werden kann, dass sie alle aus den oben genannten hergeleitet werden können, das heißt ihre Anwendung kann durch eine endliche Kette obiger Regeln ersetzt werden. Wenn man ausgehend von \Phi nach endlich vielen Anwendungen dieser Regeln zu \Phi\, \varphi gelangt ist, so ist damit \varphi aus \Phi logisch schlüssig abgeleitet, wir schreiben dafür \Phi\vdash \varphi.

Im Gegensatz zur oben erklärten semantischen Schlussweise sind die „Beweise“ \Phi\vdash \varphi rein syntaktischer Natur, man kann sie als Manipulation von Zeichenketten der betrachteten Sprache ansehen. Um die Schlussregeln anwenden zu können, muss man nicht wissen, was die Symbole bedeuten.

Vollständigkeit und Korrektheit[Bearbeiten]

Ist die Interpretation \mathcal I ein Modell für eine Menge \Phi von Ausdrücken der Sprache L_I^S und ist \Phi \vdash \varphi, so ist \mathcal I auch ein Modell für \varphi, denn der mit \Phi\vdash \varphi einhergehende Beweis lässt sich ja ohne Weiteres direkt im Modell ausführen. Es gilt also der sogenannte Korrektheitssatz, dass aus \Phi \vdash \varphi stets \Phi \vDash \varphi folgt.

Umgekehrt wäre es durchaus denkbar, dass es zu einer Ausdrucksmenge \Phi nur einige wenige Modelle gibt, die zufällig eine in der Sprache erster Stufe ausdrückbare Eigenschaft \varphi gemeinsam haben, ohne dass es dazu eine Möglichkeit gäbe, sie durch obige syntaktische Zeichenkettenoperationen aus \Phi ableiten zu können. Dass dies nicht der Fall ist, sondern dass semantische und syntaktische Schlussweisen gleichwertig sind, ist als Gödelscher Vollständigkeitssatz bekannt und ein zentrales Ergebnis der Prädikatenlogik erster Stufe. Man kann zeigen, dass sich zu einer Prädikatenlogik zweiter Stufe, in der man Quantifizierungen über Relationen zulässt, kein zur semantischen Schlussweise gleichwertiger Sequenzenkalkül finden lässt.

Eigenschaften[Bearbeiten]

Erfüllbarkeitssatz[Bearbeiten]

Eine Menge \Phi von Ausdrücken der Sprache L_I^S heißt widerspruchsfrei, wenn sich kein Ausdruck der Form (\varphi\land \neg\varphi) aus \Phi ableiten lässt. Damit ist Widerspruchsfreiheit ein rein syntaktischer Begriff. Es gilt folgender Erfüllbarkeitssatz, der sich aus dem Satz von Henkin herleiten lässt und eng mit dem Gödelschen Vollständigkeitssatz verbunden ist:

  • Zu jeder widerspruchsfreien Menge \Phi gibt es ein Modell.

Kompaktheitssatz[Bearbeiten]

  • Kompaktheitssatz : Ist \Phi eine Menge von Ausdrücken der Sprache L_I^S und gibt es zu jeder endlichen Teilmenge von \Phi ein Modell, so gibt es auch ein Modell für \Phi[7].

Gäbe es nämlich kein Modell für \Phi, so wäre \Phi nach dem Erfüllbarkeitssatz nicht widerspruchsfrei, und es gäbe dann eine Ableitung \Phi\vdash (\varphi\land \neg\varphi). Da ein Beweis aber nur eine endliche Länge hat und daher auch nur endlich viele der Ausdrücke aus \Phi involvieren kann, muss es bereits eine endliche Teilmenge \Phi_0 geben mit \Phi_0\vdash (\varphi\land \neg\varphi). Nach dem Vollständigkeitssatz folgt \Phi_0\vDash \varphi\land \neg\varphi, das heißt es kann für \Phi_0 kein Modell geben, im Widerspruch zur Voraussetzung.

Der Endlichkeitssatz wird auch Kompaktheitssatz genannt: Man wähle zu jeder widerspruchsfreien Menge \Phi von Sätzen ein Modell {\mathcal A}_\Phi und fasse die so gefundenen Modelle zu einer Menge \mathcal X zusammen. Für einen Satz \varphi sei X_\varphi := \{{\mathcal A}\in {\mathcal X};\, {\mathcal A}\vDash \varphi \}. Dann bilden die Mengen X_\varphi die Basis einer Topologie auf \mathcal X und der Endlichkeitssatz ist zur Kompaktheit dieses Raums äquivalent.

Isomorphien[Bearbeiten]

Aus dem Endlichkeitssatz folgt:

  • Gibt es zu einer Menge \Phi von Ausdrücken der Sprache L_I^S ein unendliches Modell, so gibt es Modelle beliebig hoher Mächtigkeit.

Ist nämlich \Phi gegeben und ist \kappa eine Kardinalzahl, so sei \{c_\alpha;\, \alpha < \kappa\} eine Menge von nicht in S enthaltenen Konstantensymbolen. Jede endliche Teilmenge von \Phi\cup \{\neg c_\alpha\equiv c_\beta;\, \alpha < \beta < \kappa\} hat dann ein Modell in der Sprache L_I^{\tilde{S}}, wobei \tilde{S} die um die neuen Konstantensymbole erweiterte Symbolmenge sei. Wegen des Endlichkeitssatzes gibt es dann ein Modell für \Phi\cup \{\neg c_\alpha\equiv c_\beta;\, \alpha < \beta < \kappa\}, und das hat mindestens die Mächtigkeit \kappa. Mit etwas genauerer Argumentation kann man sogar ein Modell der Mächtigkeit \kappa finden, falls die Mächtigkeit von \Phi kleiner gleich \kappa ist.

Hier zeigt sich eine Schwäche der Prädikatenlogik erster Stufe. Mittels der Sprache der ersten Stufe kann für Ausdrucksmengen mit unendlichen Modellen niemals eine Charakterisierung bis auf Isomorphie gelingen, denn die Klasse aller Modelle zu einer solchen widerspruchsfreien Menge von Ausdrücken enthält stets Modelle beliebig hoher Mächtigkeit, also auch nicht isomorphe Modelle. Man nennt zwei Modelle elementar äquivalent, wenn die Mengen der Ausdrücke, für die sie Modelle sind, übereinstimmen. Die Sprachen erster Stufe können daher unendliche Strukturen bzw. Modelle nur bis auf elementare Äquivalenz charakterisieren.

Löwenheim-Skolem-Theorem[Bearbeiten]

Hauptartikel: Löwenheim-Skolem-Theorem

Ebenfalls aus dem Satz von Henkin lässt sich das Löwenheim-Skolem-Theorem ableiten:

  • Gibt es zu einer höchstens abzählbaren Menge \Phi von Ausdrücken der Sprache L_I^S ein unendliches Modell, so gibt es auch ein abzählbares Modell.

Im einleitenden Beispiel ist (\Z,+,-,\le) ein abzählbares Modell. In vielen mathematischen Theorien lassen sich diese sehr leicht finden, in der Modelltheorie hat das Löwenheim-Skolem-Theorem aber tiefgehende Anwendungen.

Satz von Lindström[Bearbeiten]

Wegen oben genannter Schwächen der Sprache erster Stufe kann man nach geeigneten Erweiterungen suchen. Wenn man auf diese Weise echt ausdrucksstärkere Sprachen findet, was natürlich noch zu präzisieren wäre, so zeigen die Sätze von Lindström, dass man dann auf den Endlichkeitssatz oder auf den Satz von Löwenheim-Skolem verzichten muss. Will man beide Sätze beibehalten, so ist die Prädikatenlogik erster Stufe also „das beste“, was man erreichen kann.

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. H.-D. Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas: Einführung in die mathematische Logik, Spektrum Akademischer Verlag, ISBN 3-8274-0130-5, II, Definition 3.1
  2. H.-D. Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas: Einführung in die mathematische Logik, Spektrum Akademischer Verlag, ISBN 3-8274-0130-5, II, Definition 3.2
  3. H.-D. Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas: Einführung in die mathematische Logik, Spektrum Akademischer Verlag, ISBN 3-8274-0130-5, VII: Zur Tragweite der ersten Stufe
  4. H.-D. Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas: Einführung in die mathematische Logik, Spektrum Akademischer Verlag, ISBN 3-8274-0130-5, II, Definition 5.1
  5. H.-D. Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas: Einführung in die mathematische Logik, Spektrum Akademischer Verlag, ISBN 3-8274-0130-5, III, Definition 3.2
  6. Philipp Rothmaler: Einführung in die Modelltheorie, Spektrum Akademischer Verlag 1995, ISBN 978-3-86025-461-5, Ende des Absatzes 3.1.
  7. H.-D. Ebbinghaus, J. Flum, W. Thomas: Einführung in die mathematische Logik, Spektrum Akademischer Verlag, ISBN 3-8274-0130-5, VI.2.1

Literatur[Bearbeiten]