Pirouetteneffekt

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Beim Eiskunstlauf wird der Pirouetteneffekt genutzt, um eine schnelle Rotation um die Körperachse zu erzielen.

Der Pirouetteneffekt ist die Steigerung der Rotationsgeschwindigkeit, die sich ergibt, wenn bei einem sich drehenden Objekt die Masse näher zur Rotationsachse gezogen wird. Im Alltag erfahrbar ist der Effekt bei der namensgebenden Pirouette im Eiskunstlauf. Dabei versetzen sich Eiskunstläufer zunächst bei zur Seite ausgestreckten Armen in Rotation. Wenn die Arme eng an den Körper angelegt werden, verringert sich dadurch das Trägheitsmoment der Läufer. Da dabei der Drehimpuls näherungsweise erhalten bleibt, nimmt die Winkelgeschwindigkeit der Rotation zu.

Das gleiche Prinzip nutzen Turner und Turmspringer beim Salto[1] oder bei Schrauben. In der Luft werden Arme und Beine angezogen, um so aus dem beim Absprung erhaltenen Drehimpuls eine möglichst schnelle Drehung zu gewinnen. Eine Öffnung der Haltung vor dem Auftreffen auf den Boden verringert die Drehgeschwindigkeit und erlaubt eine stehende Landung.

Der Pirouetteneffekt tritt auch bei anderen Drehbewegungen auf. Beispielsweise bei einem Tornado in der Entstehungsphase. Bei einer Supernova bricht der Innenbereich des Sterns zusammen, der entstehende Neutronenstern hat dann Umdrehungszeiten im Millisekundenbereich.

Physikalische Grundlagen des Pirouetteneffekts[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Physikalische Größe Formelzeichen SI-Einheiten
Drehimpuls N·m·s, kg·m2/s
Geschwindigkeit m/s
Masse kg
Winkelgeschwindigkeit rad/s
Trägheitsradius m
Rotationsenergie N·m, kg·m2/s2
Hubarbeit N·m, kg·m2/s2
Massenpunkt, der von einer Kreisbahn mit Radius auf eine Bahn mit größerem Radius wechselt.

Der Drehimpuls lässt sich ausdrücken als Produkt von Trägheitsradius , Masse und Winkelgeschwindigkeit :

Aufgrund der Drehimpulserhaltung gilt für ein System ohne äußere Einflüsse und unveränderter Masse, wobei die Indizes und zwei Zustände des Systems bezeichnen:

Daraus ergibt sich, dass die Winkelgeschwindigkeiten sich antiproportional zu den Quadraten der Trägheitsradien verhalten:

Für Punktmassen im Abstand kann die Umfangsgeschwindigkeit an Stelle der Winkelgeschwindigkeit genutzt werden, sodass gilt:

Da die Rotationsenergien ist, gilt

Bei konstanter Masse kann, wenn beispielsweise Trägheitsradien und eine der Winkelgeschwindigkeiten bekannt sind mit obiger Formel die andere Winkelgeschwindigkeit, die Rotationsenergien sowie die Hubarbeit berechnet werden.

Ermittlung der Hubarbeit als Produkt aus Kraft und Weg. Die Zentrifugalkraft wird über die Änderung des Radius integriert.

Die Hubarbeit kann auch direkt ermittelt werden:

Der Pirouetteneffekt ist ein Wechselspiel zwischen Hubenergie und Rotationsenergie. Die Differenz der Rotationsenergien ist die Hubarbeit, die beim Wechsel auf einen kleineren Radius wieder in Rotationsenergie zurück verwandelt werden kann. D. h. die Verringerung des Radius` erfordert einen wachsenden Kraftaufwand über die Distanz . Bei der Vergrößerung des Radius wird die in der Rotation gebundene Energie frei.

Der Trägheitsradius von einem Massenpunkt ist sein Abstand von der Rotationsachse. Bei mehreren Massepunkten wird dieser effektive Abstand bestimmt, indem die Beiträge alle Massen mit ihren jeweiligen Radien aufsummiert werden:

Für starre Körper, die nicht um eine Hauptträgheitsachse rotieren, was bei Massenpunkten die untereinander wechselwirken und sich nicht in einer Ebene senkrecht zur Drehachse befinden im Allgemeinen der Fall ist, muss die Drehimpulserhaltung

mit den Trägheitstensoren und angenommen werden.

Trigonometrische Erklärung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Geschwindigkeits- und Energieberechnung mit Winkelfunktionen

Der rotierende Massenpunkt wird vom Radius zum Radius versetzt, etwa durch Verlängern der Verbindung mit dem Drehpunkt. Die Masse bewegt sich tangential geradlinig weiter bis zur äußeren Bahn. Dabei nimmt sie die Geschwindigkeit und die Rotationsenergie aus dem inneren Radius als kinetische Energie bis zum Radius mit:

Auf dem äußeren Radius kann die Geschwindigkeit in die Komponenten und zerlegt werden. ist die neue Umfangsgeschwindigkeit, und ist die gedachte Radialgeschwindigkeit, die jedoch, weil sie auf dem neuen Radius = Null ist, in Hubarbeit umgerechnet werden kann.

Die im Bild verwendeten Variablen
Physikalische Größe Formel
Umfangsgeschwindigkeit2
Radialvektor
Rotationsenergiedifferenz

Die Art des Übergangs auf einen anderen Radius spielt für den Endzustand keine Rolle. In der Praxis wird die Bewegung spiralförmig verlaufen, im Ergebnis entsprechen aber die Werte für Energie und Geschwindigkeit dem vereinfachten Beispiel.

Einschränkung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Dieses Schema ist auf Planetensysteme nicht anwendbar. Die Verhältnisse zwischen den einzeln Umlaufradien liegen anders:

  • Die Rotationsenergien verhalten sich antiproportional zu den Radien.
  • Die Kuben der Radien verhalten sich antiproportional zu den Quadraten der Winkelgeschwindigkeiten.
  • Die Kuben der Rotationsenergien verhalten sich proportional zu den Quadraten der Winkelgeschwindigkeiten.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Sportmechanik, Abschnitt „Drehimpuls und Drehimpulserhaltung“, Abb. 70 auf S. 78.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • G. Bäumler: Sportmechanik: Grundlagen für Studium und Praxis. BLV Verlagsgesellschaft, München Wien Zürich 1981, ISBN 3-405-12435-2.
  • D. Halliday, R. Resnick, J. Walker: Physik. 2. Auflage. WILEY-VCH Verlag GmbH & co. KGaA, Berlin 2009, ISBN 978-3-527-40645-6.