Drehimpuls

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Physikalische Größe
Name Drehimpuls
Formelzeichen
Größen- und
Einheitensystem
Einheit Dimension
SI kg·m2·s−1 M·L2·T−1
Demonstrationsexperiment zur Drehimpulserhaltung (Video, 18 s). Indem die Person ein Drehmoment aufbringt, ändert der Drehimpuls des Rades seine Richtung in die Senkrechte (roter Pfeil). Nach dem Prinzip Actio gleich Reactio bekommt der Drehstuhl durch das Reaktionsmoment einen entgegengesetzten Drehimpuls (gelber Pfeil). Der vertikale Drehimpuls von null bleibt dabei erhalten.

Der Drehimpuls oder Drall, veraltet auch Schwung oder Impulsmoment, ist eine physikalische Erhaltungsgröße, die den mechanischen Bewegungszustand eines physikalischen Objekts charakterisiert. Der Drehimpuls nimmt damit eine ähnliche Stellung wie die Energie oder der Impuls ein. Der Drehimpuls eines Körpers ist umso größer, je schneller er sich dreht und je größer sein Trägheitsmoment ist. Um den Drehimpuls eines Körpers zu ändern, muss ein Drehmoment auf den Körper einwirken, siehe Drallsatz. Die SI-Einheit für den Drehimpuls ist Newtonmetersekunde. Der Drehimpuls ist ein Pseudovektor.

Der Drehimpuls bezieht sich immer auf den Punkt im Raum, der als Bezugspunkt der Drehbewegung gewählt wird. Bei einem frei rotierenden Körper wird als Bezugspunkt meist der Schwerpunkt genommen. Wenn die Rotation durch ein Lager vorgegeben ist, wird meist ein Punkt auf der Achse gewählt, oftmals ohne dass dies ausdrücklich erwähnt wird.

Im Rahmen der Quantenmechanik wird der Drehimpuls durch den Drehimpulsoperator beschrieben. Dabei zeigt sich, dass er eine quantisierte Größe ist. Der Betrag des Drehimpulses ist stets ein ganz- oder halbzahliges Vielfaches des reduzierten Planckschen Wirkungsquantums. Die Ausrichtung des Drehimpulses ist ebenfalls gequantelt. Sie unterliegt der Richtungsquantelung in Bezug auf die Quantisierungsachse. Der Drehimpuls tritt bei Quantenobjekten in zwei Formen auf: Der aus der klassischen Mechanik von Dreh- und Kreisbewegung abgeleitete Drehimpuls heißt Bahndrehimpuls. Daneben gibt es den Spindrehimpuls, der nicht mit einer bestimmten Drehbewegung verbunden ist.

In der Astronomie unterscheidet man bei einem Himmelskörper den Bahndrehimpuls aufgrund einer Bewegung seines Massenmittelpunkts um ein Zentralgestirn von seinem Eigendrehimpuls aufgrund einer Drehung um seinen Massenmittelpunkt.

Die Erkenntnis, dass der Drehimpuls eine Erhaltungsgröße ist, geht auf Leonhard Euler zurück, der 1775 den Drallsatz als ein fundamentales von den Newton’schen Gesetzen unabhängiges Prinzip einführte.[1]

Definition und Veranschaulichung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mit der Rechte-Hand-Regel kann die Richtung des Drehimpulsvektors als Daumenrichtung bestimmt werden.

Für einen Massenpunkt, der sich am Ort mit dem Impuls bewegt, wird der Drehimpuls durch das Kreuzprodukt

definiert. Bezugspunkt ist dabei der Ursprung . Für den Drehimpuls um einen anderen Bezugspunkt muss man durch ersetzen.

Zur Veranschaulichung geeignet ist der Fall, dass der Massenpunkt eine ebene Kreisbewegung um den Ursprung ausführt. Dann liegt der Drehimpulsvektor senkrecht zur Kreisebene, also in Richtung der Achse der Kreisbewegung, und hat die Länge

.

Der Drehimpuls gibt den Schwung der Drehung an und wächst mit

  • höherer Winkelgeschwindigkeit ,
  • größerer Masse sowie
  • größerem Abstand dieser Masse zur Drehachse.

Der Drehimpulsvektor zeigt in die Richtung, in der sich bei gleichem Drehsinn eine Rechtsschraube voranbewegen würde. Es gilt die Korkenzieherregel oder Rechte-Faust-Regel: Wenn die gekrümmten Finger der rechten Hand die Richtung der Drehbewegung angeben, so zeigt der Daumen in Richtung des Drehimpulses (siehe Bild). Dass die rechte Hand für diese Regel verwendet werden muss und nicht die linke, liegt an der Definition des Kreuzprodukts zweier Vektoren.

Den Drehimpuls eines ausgedehnten Körpers zu einem bestimmten Bezugspunkt erhält man, in dem man die Drehimpulse seiner Massenpunkte zu diesem Bezugspunkt bildet und vektoriell addiert.

Auch wenn die Bezeichnung anderes vermuten lässt, haben auch solche Körper einen Drehimpuls, die anschaulich gesehen gar keine Drehung ausführen. Selbst ein geradlinig bewegter, nicht um sich selbst rotierender Körper besitzt einen Drehimpuls, wenn man den Bezugspunkt so wählt, dass er nicht auf der Bahn des Massenmittelpunkts des Körpers liegt. Der Drehimpuls berechnet sich dann einfach aus dem Produkt von Masse, Geschwindigkeit und senkrechtem Abstand des Bezugspunktes von der Bahn. Es lassen sich daher auch stets Bezugssysteme finden, in denen zur Bewegung des Massenmittelpunktes kein Drehimpuls gehört. Der Drehimpuls eines um seinen Massenmittelpunkt rotierenden Körpers hingegen verschwindet nur in einem mitrotierenden, also beschleunigten Bezugssystem.

Drehimpulserhaltung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Erfahrungsgemäß bleibt der Drehimpuls eines isolierten physikalischen Systems nach Betrag und Richtung unverändert, gleichgültig, welche inneren Kräfte und Wechselwirkungen zwischen den Bestandteilen des Systems wirken. Dies wird als Drehimpulserhaltung bezeichnet. Nahezu perfekt isolierte Systeme sind z. B. die Atomkerne, die Moleküle in verdünnten Gasen und astronomische Objekte im Weltall. Das zweite Keplersche Gesetz, nach dem ein Planet sich auf seiner exzentrischen Umlaufbahn umso schneller bewegt, je näher er der Sonne ist, lässt sich aus der Drehimpulserhaltung herleiten.

Die Drehimpulserhaltung gilt auch in Anwesenheit äußerer Kräfte, wenn diese Kräfte insgesamt kein Drehmoment auf das System ausüben. In einem homogenen Schwerefeld gilt das z. B. für den Drehimpuls jedes Körpers um seinen eigenen Schwerpunkt. Sind die äußeren Kräfte auf verschiedene Teile eines Systems parallel zueinander, so bleibt jedenfalls die zu den Kräften parallele Komponente des Drehimpuls erhalten.

Die Drehimpulserhaltung zeigt sich beispielsweise bei Spielzeugkreiseln, beim Diskuswurf und beim Pirouetteneffekt.

Die Drehimpulserhaltung ist ein Spezialfall des Drallsatzes und kann mithilfe des Noether-Theorems daraus hergeleitet werden, dass die physikalischen Gesetze nicht von der Orientierung des betrachteten Systems im Raum abhängen.

Verschiebung, Drehung, Spiegelung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Während Ortsvektor und Impuls bei einer Punktspiegelung um den Koordinatenursprung ihre Richtung umkehren, bleibt die des Drehimpulses bezüglich der Scheibenmitte unverändert. (Im Bild sind die Vektoren in Fettdruck und nicht mit Pfeil gezeichnet.)

Betrag und Richtung des Drehimpulses einer Punktmasse hängen davon ab, welchen Punkt man als Bezugspunkt wählt. Bei Verschiebung des Bezugspunkts ändert sich der Vektor jedes Ortes in und der Drehimpuls in

Oft wählt man als Bezugspunkt den Massenmittelpunkt oder einen Punkt, der bei den betrachteten Drehungen ruht, also auf der Drehachse liegt.

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren steht stets senkrecht auf der von ihnen aufgespannten Ebene, eine Drehung des betrachteten Systems aber dreht sowohl die Ortsvektoren als auch die Bahngeschwindigkeiten um denselben Betrag, wodurch auch der Drehimpuls in gleicher Weise mitgedreht wird.

Bei einer Punktspiegelung am Bezugspunkt geht der Ort in den gegenüber liegenden Ort über. Auch das Vorzeichen der Geschwindigkeit in Bezug auf diesen Punkt kehrt sich um. Bei der Bildung des Kreuzprodukts kompensieren sich diese beiden Vorzeichenwechsel, sodass sich bei einer Punktspiegelung der Drehimpuls nicht ändert. Damit unterscheidet er sich vom Verhalten der Geschwindigkeit oder des Ortsvektors: der Drehimpuls gehört zur Klasse der Pseudovektoren.

Eulerscher Drehimpulssatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Drallsatz

Um den Impuls eines Körpers zu ändern, muss eine Kraft wirken. Genauer gesagt ist die zeitliche Änderung des Impulses die Kraft:

Ganz analog formulierte 1754 Leonhard Euler den Eulerschen Drehimpulssatz, nach dem die zeitliche Änderung des Drehimpulses bezüglich des Ursprungs gleich dem des angreifenden Drehmoments M um den Ursprung ist:

Um den Drehimpuls eines Körpers zu ändern, muss ein Drehmoment auftreten. Ein Drehmoment ist das Kreuzprodukt von Abstandsvektor und Kraft:

Der Drehimpulssatz ergibt sich, wenn man den Drehimpuls nach der Zeit ableitet, beispielsweise bei einer Punktmasse am Ort :

Da die Geschwindigkeit und der Impuls parallel sind, entfällt ihr Kreuzprodukt im unterstrichenen Term. Um den (Bahn-) Drehimpuls einer Punktmasse zu verändern, bedarf es also eines Moments , das dem Moment der an der Punktmasse angreifenden Kraft entspricht. Bei einem ausgedehnten Körper vermag auch ein Kräftepaar mit resultierender Kraft eine Änderung des Drehimpulses auszulösen, was den Eigendrehimpuls betrifft, siehe unten. Der Eigendrehimpuls entfällt freilich bei einer Punktmasse.

Handelt es sich bei der Kraft um eine Zentralkraft , so bleibt der Drehimpuls um das Zentrum erhalten, denn die zeitliche Änderung des Drehimpulses – das angreifende Moment der Zentralkraft – verschwindet:

Folglich ist der Drehimpuls um das Zentrum über die Zeit konstant. Dies betrifft insbesondere Planetenbewegungen um ein Zentralgestirn.

Ebene Bahn, Flächensatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Behält der Drehimpuls einer Punktmasse (beispielsweise die Erde, die die Sonne umläuft) jederzeit den anfänglichen Wert, dann verläuft die Bahn der Punktmasse in einer Ebene.

Denn das Kreuzprodukt steht senkrecht auf seinen Faktoren und zu allen Zeiten gilt für den Drehimpuls bezüglich des Koordinatenursprungs

wenn die Masse und die Bahngeschwindigkeit der Punktmasse sind. Wenn nun der Drehimpuls zeitunabhängig ist, dann erfüllt jeder Bahnpunkt die Ebenengleichung

Es handelt sich also um eine Bewegung in der Ebene durch den Massenmittelpunkt des Systems senkrecht zum Drehimpuls.

Dann gilt das zweite Keplersche Gesetz (auch Flächensatz genannt): Der Fahrstrahl zum Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleich große Flächen.

Denn in einer kurzen Zeit ändert sich der Fahrstrahl um und überstreicht dabei die Fläche des Dreiecks mit diesen beiden Seiten. Das Dreieck ist halb so groß wie das von beiden Vektoren aufgespannte Parallelogramm, dessen Inhalt durch den Betrag des Kreuzprodukts gegeben ist. In der Zeit überstreicht der Fahrstrahl folglich die Fläche

Wenn der Drehimpuls sich nicht mit der Zeit ändert, ist folglich die Flächengeschwindigkeit konstant. Dieser Sachverhalt lässt sich auch auf Situationen verallgemeinern, in denen sich der Drehimpuls ändert, siehe Drallsatz#Flächensatz.

Der Flächensatz gilt auch in relativistischer Physik, wenn zudem die Energie erhalten ist. Denn in relativistischer Physik ist

und

Für ebene Bahnen gibt es einen Zusammenhang zwischen Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit , der für den Runge-Lenz-Vektor relevant ist:

Zum Beweis zerlegt man die Geschwindigkeit in eine radiale und eine azimutale Komponente (siehe Polarkoordinaten/Geschwindigkeit), . Im Kreuzprodukt mit fällt die Radialgeschwindigkeit weg, und man erhält

Der Drehimpuls eines starren Körpers[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Drehimpuls eines Körpers ist die Summe der Drehimpulse seiner Komponenten.

bzw. für einen Körper mit kontinuierlicher Masseverteilung das Integral:

  • die Massen der Massepunkte des Körpers mit diskreter Masserverteilung, bzw.
  • die Massendichte der kontinuierlichen Masseverteilung
  • und die Orte, bzw. Geschwindigkeiten der Massepunkte, des Körpers mit diskreter Masseverteilung, bzw.
  • das Geschwindigkeitsfeld, das angibt, mit welcher Geschwindigkeit die Masse am Ort bewegt.

Mit Hilfe des Massenmittelpunkts eines Körpers und dessen Ortskoordinate sowie seiner Schwerpunktsgeschwindigkeit können darauf bezogene Ortskoordinaten und die Winkelgeschwindigkeiten der Massepunkte definiert werden. Dann lassen sich die Geschwindigkeiten ausdrücken als:

Bei einem starren Körper sind zudem alle Winkelgeschwindigkeiten gleich groß . Damit ergibt sich der Drehimpuls zu:

Hier sind zusätzlich:

  • : die Gesamtmasse des Körpers
  • : der Trägheitstensor des Körpers bezogen auf seinen Massenmittelpunkt.
Herleitung

Herleitung

Bei der Herleitung kommen verschiedene Umstellungen, die Graßmann-Identität (BAC-CAB-Formel), und die Definition des Massenmittelpunkts zum Einsatz:

Der erste Term hängt jeweils nur vom Massenmittelpunkt des Körpers ab und wird Bahndrehimpuls genannt, der zweite Term hängt nur von Größe bezogen auf den Massenmittelpunkt des Körpers ab und ist der Eigendrehimpuls.

Der Eigendrehimpuls[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Trägheitstensor

Der Eigendrehimpuls eines starren Körpers ist der Anteil seines Drehimpulses, der durch die Rotation um seinen Massenmittelpunkt darstellbar ist. Mit Hilfe der Winkelgeschwindigkeit und des Trägheitstensors , jeweils auf den Massenmittelpunkt bezogen, lässt er sich als deren Matrixprodukt berechnen:

Im Allgemeinen zeigen und nicht in die gleiche Richtung – ein rotierender Körper „eiert“, wenn er sich frei bewegen kann, oder zeigt Unwucht, wenn die Richtung der Achse festgehalten wird. Nur bei Rotation um eine der Hauptträgheitsachsen des Körpers sind und parallel, sodass die Erhaltung des Drehimpulses auch gleichbleibende Richtung der Drehachse und damit die Konstanz des Trägheitsmoments bewirkt. Der Trägheitstensor ist symmetrisch und deshalb sind die Hauptträgheitsachsen paarweise orthogonal oder orthogonalisierbar. Aus dem Trägheitstensor kann man zu jeder beliebigen Drehachse das Trägheitsmoment und die Hauptträgheitsachsen durch Lösung des Eigenwertproblems berechnen.

Der Trägheitstensor hat für die Drehbewegung vergleichbare Bedeutung wie die Masse für die Translationsbewegung (siehe Rotation (Physik)#Vergleich mit der Translationsbewegung). Allerdings sind die Verhältnisse bei einer Rotation wesentlich komplizierter als bei einer Translation und das hat folgende Gründe:

  1. Es gibt keine Koordinaten, deren Ableitungen direkt Geschwindigkeiten darstellen, wie bei den Translationen.
  2. Wie bereits erläutert, sind Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit zumeist nicht parallel, weswegen ihr „Proportionalitätsfaktor“ durch einen Tensor – den Trägheitstensor – dargestellt werden muss.
  3. Die Komponenten des Trägheitstensors hängen im Allgemeinen von der Ausrichtung des Körpers ab, die sich bei einer Drehung natürlich laufend ändert. So werden diese Komponenten eine Funktion der Zeit, während bei Translationen die Masse konstant ist. Nur in einem körperfesten Bezugssystem sind die Komponenten des Trägheitstensors konstant. Hier verkomplizieren jedoch die Auswirkungen des rotierenden Bezugssystems die Analyse.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Spezifischer Drehimpuls

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Drehimpuls – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien
 Wiktionary: Drehimpuls – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Clifford Truesdell: Die Entwicklung des Drallsatzes. In: Gesellschaft für Angewandte Mathematik und Mechanik (Hrsg.): Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik (= Heft 4/5). Band 44, April 1964, S. 149 – 158, doi:10.1002/zamm.19640440402 (wiley.com).