Trägheitstensor

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Der Trägheitstensor ist in der Mechanik die Eigenschaft eines starren Körpers, die seine Trägheit gegenüber Änderungen seines Drehimpulses beschreibt. Er ist ein Tensor 2. Stufe und enthält alle Trägheitsmomente. Sein Formelzeichen ist oder . Mit seiner Hilfe lässt sich der Zusammenhang zwischen dem Drehimpuls eines Körpers und seiner Winkelgeschwindigkeit in vektorieller Form als Matrixprodukt des Trägheitstensors mit der Winkelgeschwindigkeit darstellen:

Die Trägheitsmomente als Elemente des Trägheitstensors beziehen sich immer auf die Rotation um einen Bezugspunkt, der zur Berechnung meist auf den Massenmittelpunkt des Körpers festgelegt wird. Mit Hilfe des Satzes von Steiner lässt er sich einfach auch für andere Bezugspunkte berechnen.

Für bestimmte Drehachsen liegt der Drehimpuls parallel zur Winkelgeschwindigkeit. Sie heißen Hauptträgheitsachsen. Zu jedem Körper gibt es mindestens drei aufeinander senkrecht stehende Hauptträgheitsachsen. Sie sind parallel zu den Eigenvektoren des Trägheitstensors. Die entsprechenden Eigenwerte des Trägheitstensors sind die Hauptträgheitsmomente des Körpers. Rotiert der Körper um eine andere Achse als eine der Hauptträgheitsachsen, sind sein Drehimpuls und seine Rotationsachse nicht parallel. Dann ist als Folge der Drehimpulserhaltung die Rotationsachse nicht fest, sondern rotiert ebenfalls: der Körper ‚eiert‘. Hält man die Rotationsachse in diesem Fall durch Zwang fest, wirken aufgrund der Unwucht Kräfte auf die Lager und der Drehimpuls ist veränderlich.

Trägheitstensoren einfacher Körper finden sich in der Liste von Trägheitstensoren.

Analogie zu translatorischer Bewegung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Vergleich mit der Definition des Impulses in der klassischen Mechanik, der proportional zur Geschwindigkeit mit der Masse als Proportionalitätsfaktor ist, zeigt, dass der Trägheitstensor für Drehungen eine vergleichbare Rolle wie die Masse für Translationsbewegungen spielt. Allerdings sind die Verhältnisse bei einer Translation wesentlich einfacher, weil die Masse eine skalare Größe (Tensor 0. Stufe) ist, sodass sie von der Orientierung des Körpers zur Bewegungsrichtung unabhängig ist und Impuls und Geschwindigkeit immer parallel sind. Überdies ändert sich die Masse während der Translation nicht. Der Trägheitstensor hingegen dreht sich mit dem drehenden Körper mit, ändert also laufend seine Lage im Raum, wenn er nicht gerade um die Drehachse rotationssymmetrisch ist. Jedoch bleibt der Trägheitstensor im körperfesten Bezugssystem zeitlich konstant.

Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Trägheitstensor für einen Massenpunkt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für den Drehimpuls einer Punktmasse mit Masse , die sich bezüglich des Ursprungs mit der Winkelgeschwindigkeit bewegt und momentan am Ort ist, gilt

.

Dies wird mithilfe der BAC-CAB-Formel so umgeformt, dass ein Skalarprodukt“ und ein dyadisches Produkt“ des Ortsvektors mit sich selbst erscheint:

( ist die Einheitsmatrix in drei Dimensionen.)

Die Größe vor der Winkelgeschwindigkeit ist der zum gewählten Koordinatenursprung gehörige Trägheitstensor für den Massenpunkt:

Damit entsteht die grundlegende Definitionsgleichung, die die lineare Abbildung von auf explizit darstellt:

Die Matrixdarstellung des Trägheitstensors bezüglich der Orthonormalbasis erhält man aus der Bilinearform , wobei die Indizes die Koordinaten nummerieren:

Trägheitstensor für ein System von Massenpunkten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für ein System aus Massenpunkten mit Massen , die um dieselbe Achse mit derselben Winkelgeschwindigkeit rotieren und sich gerade an den Positionen befinden, sind die Beiträge zu summieren:

Die Elemente der Matrixdarstellung sind:

Hierbei bezeichnen

  • die Masse des -ten Massenpunkts,
  • die kartesischen Koordinaten seines Ortsvektors ,
  • das Kronecker-Delta
  • den Einheitstensor und
  • das dyadische Produkt.

Entsprechend sind bei einer kontinuierlichen Massenverteilung mit der Dichte die Beiträge aller Volumenelemente zu integrieren:

Die Elemente des Trägheitstensors haben unmittelbare physikalische Bedeutung: Die drei Elemente der Hauptdiagonale sind die Trägheitsmomente des Körpers bei Rotation um die -, - bzw. -Achse des Koordinatensystems. Die Nichtdiagonalelemente heißen Deviationsmomente, denn sie geben (nach Multiplikation mit ) die Drehmomente an, die von den Lagern ausgeübt werden müssen, damit die Drehachse ihre Richtung beibehält.

Der Trägheitstensor ist ein symmetrischer Tensor, denn es gilt stets .

Trägheitsmoment um eine beliebige Achse[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Trägheitsmoment um eine Achse in Richtung eines beliebigen Einheitsvektors ergibt sich durch

.

Das folgt aus der obigen Matrixdarstellung, wenn man durch zwei orthogonale Einheitsvektoren zu einer Orthogonalbasis erweitert, weil die Diagonalelemente die Trägheitsmomente um die Richtungen der Basisvektoren sind.

Trägheitsellipsoid[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Trägheitsellipsoid

Definiert man die Länge des Ortsvektors in jeder Richtung durch die Gleichung

,

dann liegen die Endpunkte dieser Vektoren auf einer geschlossenen Fläche in Form eines Ellipsoids (Beweis). In jeder Richtung ist der Abstand der Fläche vom Ursprung gleich dem Kehrwert der Wurzel aus dem Trägheitsmoment für die in dieser Richtung liegende Achse:

Die drei Achsen des Ellipsoids sind Hauptträgheitsachsen. Die längste hat die Richtung der Drehachse mit dem kleinstmöglichen Trägheitsmoment bei der gegebenen Anordnung der Massen, die kürzeste Halbachse die Richtung mit dem größtmöglichen Trägheitsmoment. Diese Achsen haben feste Richtungen im körpereigenen Bezugssystem, denn ihre räumliche Lage ist durch die Lage des Körpers festgelegt. Zeigt der Körper eine bestimmte Symmetrie, muss das Trägheitsellipsoid sie auch zeigen. Daraus lässt sich die Lage der Hauptträgheitsachsen häufig leicht ermitteln. Insbesondere ist jede Symmetrieachse auch eine Hauptträgheitsachse. Da ein Ellipsoid mit drei verschieden langen Achsen nur drei Symmetrieebenen und drei Symmetrieachsen besitzt, haben die Trägheitsellipsoide aller Körper mit höherer Symmetrie mindestens zwei gleich lange Achsen, sind also entweder Rotationsellipsoide oder Kugeln. Daher gilt:

  • Bei geraden prismatischen Körpern mit Grundfläche in Form eines Kreises oder eines regelmäßigen Vielecks sind zwei der drei Hauptträgheitsmomente untereinander gleich. Deren Hauptträgheitsachsen sind parallel zur Grundfläche, die dritte Hauptträgheitsachse ist senkrecht dazu.
  • Bei flächensymmetrischen Körpern liegt eine Hauptträgheitsachse senkrecht zur Symmetrieebene, die beiden anderen in der Symmetrieebene.
  • Besitzt der Körper zwei zueinander senkrechte Symmetrieebenen, dann sind ihre Normalen und ihre Schnittgerade Hauptträgheitsachsen.
  • Bei einem Tetraeder, einem Würfel, bei den übrigen drei regulären Körpern und bei der Kugel ist jede Raumrichtung Hauptträgheitsachse.
  • Sind , und paarweise voneinander verschieden, so liegt keine Rotationssymmetrie vor und/oder der Bezugspunkt liegt nicht im Massenmittelpunkt.

Berechnung der Hauptträgheitsachsen und Hauptträgheitsmomente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Hauptträgheitsachse

Allgemein gilt , aber da bei Rotation um eine Hauptträgheitsachse mit dem Hauptträgheitsmoment der Drehimpuls parallel zur Drehachse liegt, gilt auch , wobei im Gegensatz zu eine reine Zahl ist, nämlich ein Eigenwert der durch definierten linearen Abbildung. ist ein zugehöriger Eigenvektor.

Zum Auffinden der Hauptträgheitsmomente und Hauptträgheitsachsen ist daher das Eigenwertproblem zu lösen. Dabei ergeben sich die Eigenwerte als Nullstellen des charakteristischen Polynoms des Trägheitstensors

und die zugehörigen Eigenvektoren , die die Lagen der Hauptträgheitsachsen angeben, aus den Lösungen der homogenen linearen Gleichungen

.

Da in Matrixdarstellung symmetrisch ist, sind alle Eigenwerte und Eigenvektoren reell, und die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind orthogonal. Sind die drei Hauptträgheitsmomente paarweise voneinander verschieden, dann sind die Richtungen der Hauptträgheitsachsen eindeutig bestimmt und paarweise orthogonal zueinander. Sind zwei Hauptträgheitsmomente gleich, spannen die zugehörigen Drehachsen eine Ebene auf, und jede in dieser Ebene liegende Achse ist eine Hauptträgheitsachse zum selben Hauptträgheitsmoment. Bei drei gleichen Hauptträgheitsmomenten ist also überhaupt jede Achse eine Hauptträgheitsachse. Wenn nur zwei Hauptträgheitsmomente gleich sind, ist die Hauptträgheitsachse für das dritte Hauptträgheitsmoment dadurch eindeutig festgelegt, dass sie senkrecht auf den anderen steht.

Es lassen sich daher stets drei Hauptträgheitsachsen finden, die paarweise orthogonal sind und somit die Achsen eines rechtwinkligen körperfesten Koordinatensystems bilden. In diesem Koordinatensystem hat die Matrix von Diagonalgestalt, und die Diagonalelemente sind die Hauptträgheitsmomente:

Drehimpuls und Rotationsenergie im körperfesten Hauptachsensystem[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Koordinatensystem, dessen drei Basisvektoren durch die Hauptträgheitsachsen definiert sind, wird die Winkelgeschwindigkeit so ausgedrückt:

Dann gilt für den Drehimpuls

.

und für die Rotationsenergie

.

Beispiel: Trägheitstensor eines homogenen Würfels[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Massenmittelpunkt eines Würfels mit Kantenlänge wird ein kartesisches Koordinatensystem so gelegt, dass die Koordinatenachsen parallel zu den Würfelkanten sind. Wegen der Homogenität ist die Dichte konstant und kann vor das Integral gezogen werden:

Nun lassen sich die sechs unabhängigen Tensorkomponenten bestimmen: Das sind drei Massenträgheitsmomente und drei Deviationsmomente, da der Tensor wegen symmetrisch ist. Beim Würfel mit Kantenlänge wird zur Berechnung des Trägheitstensors bezüglich des Ursprungs in allen drei Raumrichtungen von bis integriert. Für den Würfel ergibt sich:

Dabei wurde

benutzt, Analoges gilt in - und -Richtung. Mit diesen Ergebnissen, der Kantenlänge und der Masse des Würfels bekommt der Tensor die Form

.

Siehe auch[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Herbert Goldstein: Klassische Mechanik. 6. Auflage. Akademische Verlagsgesellschaft, Wiesbaden 1981, ISBN 3-400-00134-1.
  • R. Gammel: Der Kreisel. Seine Theorie und seine Anwendungen. 2. überarb. Aufl. Band 2. Springer, Berlin, Göttingen, Heidelberg 1950, DNB 451641280.