Rotationsenergie

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Rotationsenergie ist die kinetische Energie eines starren Körpers (Beispiel: Schwungrad), der um eine feste Achse rotiert. Diese Energie ist abhängig vom Trägheitsmoment und der Winkelgeschwindigkeit des Körpers: je mehr Masse von der Rotationsachse entfernt ist, desto mehr Energie wird benötigt, um einen Körper auf eine bestimmte Rotationsgeschwindigkeit zu bringen.

Dies lässt sich durch folgendes Experiment verdeutlichen: Zwei gleich schwere Kugeln mit identischen Radien werden auf eine schiefe Ebene gelegt und rollen herunter. Eine Kugel besteht aus einem leichten Material wie Kunststoff und ist massiv gefertigt. Die andere Kugel jedoch ist hohl, besteht aber aus einem dichteren und somit schwereren Material als Kunststoff. Die hohle Kugel wird langsamer rollen, da bei ihr die gesamte Masse auf einer dünnen Schale mit gewissem Abstand zur Rotationsachse verteilt ist. Die massive Kugel mit derselben Masse rollt schneller, weil prozentual mehr Masse nahe der Rotationsachse liegt und sich daher langsamer auf der Kreisbahn bewegen muss.

Rotationsenergie ist unter anderem von Bedeutung bei: Turbinen, Generatoren, Rädern und Reifen, Wellen, Propellern.

Trägheitsmoment[Bearbeiten]

Ein Körper, der mit der Winkelgeschwindigkeit \omega um die x-Achse rotiert, besitzt die Rotationsenergie

E_\mathrm{rot} = \frac{1}{2} \cdot J_x \cdot \omega^2

mit

Dies lässt sich allgemein ausdrücken als:

\begin{align}
E_\mathrm{rot} & = \frac{1}{2} \; \vec{\omega}^T \, J \; \vec{\omega}\\
               & = \frac{1}{2} \sum_{\alpha, \beta = 1}^{3} \, J_{\alpha\beta} \; \omega_\alpha \; \omega_\beta
\end{align}

mit

Um die Energie eines Körpers anzugeben, der um eine beliebige Achse rotiert (Einheitsvektor \vec{n} mit \left| {\vec{n}} \right| = 1 ), wird die Winkelgeschwindigkeit jeweils durch ihre Vektorkomponenten in x-, y- und z-Richtung ausgedrückt:

\vec{\omega} = \omega \, \vec{n} = \omega \cdot \begin{pmatrix}
                                                                       n_1\\
                                                                       n_2\\
                                                                       n_3\\
                                                        \end{pmatrix}

Für die Rotationsenergie gilt damit:

\begin{align}
\Rightarrow E_\mathrm{rot} & = \frac{1}{2} \sum_{\alpha, \beta = 1}^{3} J_{\alpha\beta} \; n_{\alpha} \; n_{\beta} \;    \omega^2\\
                           & = \frac{1}{2} \cdot J_n                                                               \cdot \omega^2
\end{align}

mit dem Trägheitsmoment J_n bezüglich einer beliebigen Achse \vec{n}:

J_n = \sum_{\alpha, \beta = 1}^{3} J_{\alpha\beta} \; n_{\alpha} \; n_{\beta}

Beispiele[Bearbeiten]

  • Eine Kugel mit Radius r hat das Trägheitsmoment J = \tfrac 2 5 \, m r^2. Wenn sie mit der Geschwindigkeit v auf der Ebene rollt, beträgt ihre Winkelgeschwindigkeit \omega = \tfrac v r und folglich ihre gesamte kinetische Energie:
\begin{align}
E_\mathrm{kin} & = E_\mathrm{trans} + E_\mathrm{rot}\\
               & = \frac 1 2 m v^2 + \frac 1 2 \cdot \frac 2 5 m r^2 \cdot \omega^2\\
               & = \frac 7 {10} m v^2
\end{align}
  • Ein Körper, der um die Diagonale durch seine xy-Fläche rotiert, hat die Winkelgeschwindigkeit:
\vec{\omega} = \omega \, \vec{n} mit \vec{n}
                      = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}
                                                          1\\
                                                          1\\
                                                          0\\
                                            \end{pmatrix}
Daraus folgt für das Trägheitsmoment bzgl. dieser Drehachse:
\begin{align}
J_{n} & = \vec{n}^{T} J \, \vec{n}\\
      & = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( 1,1,0 \right)
               \left( \begin{matrix}
                                    J_{11} & J_{12} & J_{13}\\
                                    J_{12} & J_{22} & J_{23}\\
                                    J_{13} & J_{23} & J_{33}\\
               \end{matrix} \right)
               \frac{1}{\sqrt{2}}
               \left( \begin{matrix}
                                    1\\
                                    1\\
                                    0\\
               \end{matrix} \right)\\
      & = \frac{1}{2} \cdot J_{11} + J_{12} + \frac{1}{2} \cdot J_{22}
\end{align}
Die Rotationsenergie erhält man damit aus:
\begin{align}
E_\mathrm{rot} & = \frac{1}{2} \cdot J_n \cdot \omega^2\\
               & = \left( \frac{1}{4} J_{11} + \frac{1}{2} J_{12} + \frac{1}{4} J_{22} \right) \omega^2
\end{align}

Drehimpuls[Bearbeiten]

Die Rotationsenergie kann auch durch den Drehimpuls \vec{L} ausgedrückt werden:

\begin{alignat}{2}
E_\mathrm{rot} & = \frac{1}{2} \cdot \vec{L} \cdot \vec{\omega}\\
               & = \frac{1}{2} \cdot \frac{\vec{L}^2}{J}
\end{alignat}

mit \vec{L} = J \cdot \vec{\omega}

Es ist zu beachten, dass der Drehimpuls und die Winkelgeschwindigkeit im Allgemeinen nicht parallel zueinander stehen (außer bei Rotation um eine Hauptträgheitsachse); siehe auch Trägheitsellipsoid.

Siehe auch[Bearbeiten]