Poynting-Vektor

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Der Poynting-Vektor (benannt nach dem britischen Physiker John Henry Poynting) kennzeichnet in der Elektrodynamik (einem Teilgebiet der Physik) die Dichte und die Richtung des Energietransportes (Energieflussdichte) einer elektromagnetischen Welle. Der Begriff des Energieflusses ist identisch mit dem physikalischen Begriff der Leistung, die Bezeichnung Energieflussdichte ist daher zur Leistungsdichte gleichwertig.

Mathematische Beschreibung[Bearbeiten]

Der Poynting-Vektor ist ein dreikomponentiger Vektor, der in die Raumrichtung des Energieflusses zeigt. Sein Betrag entspricht einerseits der Leistungsdichte (oder Intensität) der Welle (die Energie, die pro Zeiteinheit durch eine Einheitsfläche senkrecht zum Poynting-Vektor hindurchtritt) und andererseits der Impulsdichte der Welle (der Impuls, der pro Einheitsvolumen im elektromagnetischen Feld gespeichert ist) multipliziert mit dem Quadrat der Lichtgeschwindigkeit c. Der Betrag des Poynting-Vektors hat somit die Dimension

\mathrm{\frac{Energie}{Fl\ddot{a}che \cdot \mathrm{Zeit}} = \frac{Leistung}{Fl\ddot{a}che} = \frac{J}{m^2 \cdot s} = \frac{W}{m^2} = \frac{N}{m \cdot s}}

oder äquivalent

\mathrm{\frac{{Impuls} \cdot {Geschwindigkeit}^2}{Volumen} = N \cdot s \cdot \frac{m^2}{s^2} \cdot \frac{1}{m^3} = \frac{N}{m \cdot s} }

Der Poynting-Vektor wird üblicherweise mit \vec S bezeichnet und ist in der Elektrodynamik bei transversalelektromagnetischen Wellen (TEM-Welle) das Kreuzprodukt aus elektrischer Feldstärke \vec E und magnetischer Feldstärke \vec H.

\vec{S}=\vec{E}\times\vec{H}

Im Vakuum gilt

\vec{S}= \frac{1}{\mu_0} \,(\vec{E} \times \vec{B})

Die Leistungsdichte einer TEM-Welle ist gegeben durch

\left| \vec S \right|=\frac{1}{Z_0} \cdot  {\left| \vec E \right|}^2

wobei Z_0 der Wellenwiderstand des Vakuums  \left( Z_0=\sqrt{\frac{\mu _0}{\varepsilon _0}} =376{,}73\,\Omega \approx 120 \pi \Omega \right) ist.

In obigen Gleichungen sind die Feldgrößen zeitabhängig gemeint. Für den zeitlichen Mittelwert der Leistungsdichte über eine Periodendauer \textstyle T gilt mit \textstyle E_\text{eff}=\frac{\hat E}{\sqrt{2}}

\overline{\left| \vec S \right|}=\frac{E_\text{eff}^2}{Z_0}=\frac{{\hat E}^2}{2 Z_0}

Hier ist  E_\text{eff} der Effektivwert und \hat E die Amplitude einer sinusförmigen elektrischen Feldstärke.

In isotropen optischen Medien ist der Poynting-Vektor parallel zum Wellenvektor. In anisotropen optischen Medien, zum Beispiel in doppelbrechenden Kristallen, gilt dies im Allgemeinen nicht.

Der Poynting-Vektor beschreibt drei der zehn unabhängigen Komponenten des Energie-Impuls-Tensors des elektromagnetischen Feldes in der Relativitätstheorie.

Anwendung[Bearbeiten]

Der Poynting-Vektor wird im Satz von Poynting, einem Erhaltungssatz der Elektrodynamik, betrachtet.

Beispiele[Bearbeiten]

Energieausbreitung im Koaxialkabel[Bearbeiten]

Feldlinienbild im Koaxialkabel bei der TEM-Grundmode

Der typische Betrieb eines Koaxialleiters erfolgt bei Wellenlängen, die größer sind als der Durchmesser des Koaxialleiters[1]. In diesem Frequenzbereich, der sich typischerweise von 0 Hz bis in den einstelligen GHz-Bereich erstreckt, breitet sich die Energie in der Koaxialleitung als sogenannte TEM-Grundmode aus. Das zugehörige Feldlinienbild sieht dann aus wie im nebenstehenden Bild.

Bei idealtypischer Betrachtung nimmt der Poyntingvektor ausschließlich im Bereich zwischen Außenleiter und Innenleiter einen von null verschiedenen Wert an. Im metallischen Leiter selbst verschwindet der Poyntingvektor dann, da die elektrische Feldstärke gleich null ist. Außerhalb des Koaxialleiters verschwindet der Poyntingvektor, da der magnetische Feldvektor gleich null ist. Der Grund für das Verschwinden des Magnetfeldes außerhalb des Leiters besteht darin, dass sich die Wirkung der elektrischen Ströme in den Innen- und Außenleitern gegeneinander aufheben. Gemäß dem Satz von Poynting zeigt der Poyntingvektor die Ausbreitungsrichtung der elektrischen Leistung an. Wegen des Verschwindens der elektrischen Feldstärke im Metall zeigt der Poyntingvektor exakt in Längsrichtung des Koaxialleiters. Das bedeutet, dass die Energieausbreitung im Koaxialleiter ausschließlich im Dielektrikum stattfindet und bei idealtypischer Betrachtung in Längsrichtung des Leiters zeigt. Da der Satz von Poynting ausgehend von den allgemeinen Feldgleichungen ohne Einschränkung auf den Frequenzbereich hergeleitet werden kann (vgl. Simonyi [2]), gilt diese Aussage auch für die Übertragung von elektrischer Leistung mit Gleichspannungen und -strömen.

Auch das Verhalten eines widerstandsbehafteten Leiters lässt sich im Feldmodell erklären. Die folgende Darstellung erfolgt anhand des im Bild dargestellten Koaxialleiters: Hat der metallische Leiter einen von null verschiedenen endlichen Widerstand, so entsteht durch den Stromfluss im Leiter entsprechend dem ohmschen Gesetz ein elektrisches Feld. Dieses Feld zeigt im Innenleiter in die Längsrichtung (x) des Leiters, und ist im Mantelleiter in die entgegengesetzte Richtung (o) gerichtet. Die veränderte Feldverteilung bewirkt, dass auch das elektrische Feld im Dielektrikum eine Komponente in Längsrichtung erhält. Der zu E und H orthogonale Poyntingvektor S weist infolgedessen eine radiale Feldkomponente auf, die den Übergang der Verlustenergie ins Metall beschreibt.

Poyntingvektor bei statischen Feldern[Bearbeiten]

Poyntingvektor in einem statischen Feld

Die Betrachtung des Poyntingvektors bei statischen Feldern zeigt die relativistische Natur der Maxwellgleichungen und ermöglicht ein besseres Verständnis der magnetischen Komponente q \cdot (\vec v \times \vec B) der Lorentzkraft. Zur Veranschaulichung wird das nebenstehende Bild betrachtet, das den Poyntingvektor in einem Zylinderkondensator beschreibt, der sich in einem von einem Permanentmagneten erzeugten H-Feld befindet. Obwohl nur statische elektrische und magnetische Felder vorliegen, ergibt die Berechnung des Poyntingvektors eine im Kreis fließende elektromagnetische Energie, der sich ein Drehimpuls zuordnen lässt. Der in dem kreisenden Energiefluss enthaltene Drehimpuls ist die Ursache für die bei der Entladung auftretende magnetische Komponente der Lorentzkraft. Während des Entladens wird der in der Energieströmung enthaltene Drehimpuls abgebaut und an die Ladungen des Entladestromes abgegeben. Das scheinbar sinnlose und paradoxe Ergebnis der kreisenden Energieströmung erweist sich also geradezu als notwendig, um dem Gesetz der Impulserhaltung gerecht zu werden. (Andere statische Beispiele: Feynman[3])

Siehe auch[Bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten]

  1. K. Simonyi: Theoretische Elektrotechnik. 5. Auflage, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1973, Kapitel 4.28.
  2. K. Simonyi: Theoretische Elektrotechnik. 5. Auflage, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1973, Kapitel 1.7.
  3. Richard Phillips Feynman: Vorlesungen über Physik. 2. 3. Auflage, Oldenbourg Verlag, München 2001, Kapitel 27-3