Primzahllücke

Als Primzahllücke bezeichnet man die Differenz bzw. den Abstand zweier aufeinanderfolgender Primzahlen:

g_{n}=p_{n+1}-p_{n}

.

Die kleinste Primzahllücke und einzig ungerade Primzahllücke ist die zwischen den Primzahlen 2 und 3:

g_{1}=3-2=1

.

Alle anderen Primzahllücken sind gerade, da 2 die einzige gerade Primzahl ist und somit die Differenz zwischen zwei anderen aufeinanderfolgenden Primzahlen, die selbst ungerade sind, immer gerade ist.

Bemerkung 1

Einige (wenige) Autoren bezeichnen mit Primzahllücke abweichend hiervon die Anzahl zusammengesetzter Zahlen zwischen zwei Primzahlen, d. h. eins weniger als nach der hier verwendeten Definition.^[1]

Bemerkung 2

Früher nannte man diese Größe Primzahlabstand. Als Primzahllücke bezeichnete man besonders große Abstände benachbarter Primzahlen. Einen Primzahlabstand von 2 gibt es zwischen Primzahlzwillingen, zwischen denen sich eine gerade Zahl befindet.

Auftreten von Primzahllücken

Da eine Lücke der Länge 1 nur zwischen einer geraden und einer ungeraden Primzahl auftreten kann, kann es sie nur im Zusammenhang mit der Primzahl 2 geben und ist die zwischen 2 und 3.
Abgesehen von dieser Lücke zwischen 2 und 3 ist die Länge einer Primzahllücke immer gerade.
Ob es unendlich viele Primzahlzwillinge, d. h. Lücken der Länge 2 gibt, ist eines der großen ungelösten Probleme der Mathematik.
Da es unendlich viele Primzahlen gibt, bilden die Längen der Primzahllücken eine Folge mit den Anfangsgliedern:

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14, 4, 6, 2, 10, 2, 6, 6, 4, 6, 6, 2, 10, 2, 4, 2, 12, 12, 4, 2, 4, 6, 2, 10, 6, 6, 6, 2, 6, 4, 2 … (Folge A001223 in OEIS).

Aus der Definition von $g_{i}$ folgt

p_{n+1}=2+\sum _{i=1}^{n}g_{i}

,

wobei die 2 durch die kleinste Primzahl 2 entsteht.

Konstruktion beliebig großer Primzahllücken der Länge k

Für jede beliebige natürliche Zahl $k$ ist es trivial, die Existenz einer Primzahllücke mindestens der Länge $k$ nachzuweisen. Sei nämlich $N$ eine natürliche Zahl, die zu keiner der Zahlen $2,3,\ldots ,k$ teilerfremd ist. Dann sind auch die Zahlen $N+2,N+3,\ldots ,N+k$ nicht teilerfremd zu $N$ und folglich keine Primzahlen. Die größte Primzahl vor dieser Folge ist also höchstens gleich $N+1$ , die kleinste nach dieser Folge hingegen mindestens $N+k+1$ , so dass die Länge dieser Primzahllücke mindestens $k$ ist.

Für das Konstruieren eines $N$ mit der geforderten Eigenschaft hat man verschiedene Möglichkeiten:

Am einfachsten wählt man die Fakultät, also $N=k!$
Ebenso gut kann man das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen von 1 bis $k$ wählen, $N=\operatorname {kgV} (1,\ldots ,k)$
Den kleinstmöglichen trivial konstruierbaren Kandidaten für $N$ findet man durch die Primfakultät, $N=k\#$ .
Ist $p$ die kleinste Primzahl größer als $k$ , so gilt $k\#=(p-1)\#$ , d. h. man hat sogar automatisch eine Lücke der Länge $p-1$ gefunden.

Obwohl im letzten Fall $N$ so klein wie möglich gewählt wurde, ist dennoch die gefundene Lücke für k ≥ 4 nicht die erste Lücke der geforderten Länge. Insofern leisten alle diese Verfahren zwar gleichwertig den Nachweis, dass beliebig große Lücken existieren, sind aber nicht zur Suche der ersten Lücke brauchbar.

Beispiel für k = 6

Welche Lücken liefern die genannten Verfahren jeweils im Falle k = 6?

Die kleinste Lücke

Die erste Lücke der Länge 6 tritt zwischen 23 und 29 auf.

Nutzung der Fakultät

▶ Die Lücke zwischen k! + 1 und k! + k + 1

Berechnung und Verifikation:
6! beträgt 720 (Produkt von 1, 2, 3, 4, 5 und 6), wir haben hiermit eine Primzahllücke der Länge (mindestens) 6 zwischen 721 und 727.

Da 720 durch 2 teilbar ist, ist es auch 720 + 2 = 722.

Da 720 durch 3 teilbar ist, ist es auch 720 + 3 = 723.

Da 720 durch 4 teilbar ist, ist es auch 720 + 4 = 724.

Da 720 durch 5 teilbar ist, ist es auch 720 + 5 = 725.

Da 720 durch 6 teilbar ist, ist es auch 720 + 6 = 726.

Man hat also eine Primzahllücke mindestens der Länge 6 zwischen den Primzahlkandidaten 721 und 727 gefunden.
Da zusätzlich auch 721 = 7 · 103 keine Primzahl ist, ist die Lücke sogar noch größer. In der Tat wird sie eingerahmt von den Primzahlen 719 und 727 und hat folglich die Länge 8.

Nutzung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen

▶ Die Lücke zwischen kgV(1, ..., k) + 1 und kgV(1, ..., k) + k + 1

Berechnung und Verifikation:
kgV(1, ..., 6) beträgt 60 (60 ist die kleinste Zahl, die durch 1, 2, 3, 4, 5 und 6 teilbar ist). Wir haben hiermit eine Primzahllücke der Länge (mindestens) 6 zwischen 61 und 67.

Da 60 durch 2 teilbar ist, ist es auch 60 + 2 = 62.

Da 60 durch 3 teilbar ist, ist es auch 60 + 3 = 63.

Da 60 durch 4 teilbar ist, ist es auch 60 + 4 = 64.

Da 60 durch 5 teilbar ist, ist es auch 60 + 5 = 65.

Da 60 durch 6 teilbar ist, ist es auch 60 + 6 = 66.

Hiermit haben wir eine Lücke der Länge mindestens 6 zwischen 61 und 67 gefunden.
Beides sind zufällig auch Primzahlen, daher hat die Lücke eine Länge von genau 6.

Nutzung der Primfakultät

▶ Die Lücke zwischen k# + 1 und k# + k + 1

Berechnung und Verifikation:
6# berechnet sich zu 2 · 3 · 5 = 30. Wir haben hiermit eine Primzahllücke der Länge (mindestens) 6 zwischen 31 und 37.

Da 30 durch 2 teilbar ist, ist es auch 30 + 2 = 32.

Da 30 durch 3 teilbar ist, ist es auch 30 + 3 = 33.

Da 30 und 4 durch 2 teilbar sind, ist es auch 30 + 4 = 34.

Da 30 durch 5 teilbar ist, ist es auch 30 + 5 = 35.

Da 30 und 6 durch 2 teilbar sind, ist es auch 30 + 6 = 36.

Hiermit haben wir eine Lücke der Länge mindestens 6 zwischen 31 und 37 gefunden.
Beides sind zufällig auch Primzahlen, daher hat die Lücke eine Länge von genau 6.

Wachstum der Funktionen

Schon das ausgeführte Beispiel $k=6$ zeigt, dass die Fakultät die bei weitem am raschesten wachsende unter den betrachteten Funktionen ist. Für $k=10$ ist der Größenunterschied zwischen $k!=3628800$ , $\ \operatorname {kgV} (2,\ldots ,10)=2520$ und $k\#=210$ noch deutlicher. Dagegen tritt bereits zwischen 113 und 127 eine Lücke der Länge 14 auf, so dass also selbst die Konstruktion durch $k\#$ zwar Lücken der Mindestlänge k findet, solch eine Lücke aber schon bei weitaus kleineren Zahlen auftritt.

Für z. B. k = 72 kann man sehen, das alle drei Verfahren sehr ineffizient sind und es wesentlich kleinere Primzahlen gibt, zwischen denen es k−1 zusammengesetzte Zahlen gibt:

Die erste Lücke dieser Größe befindet sich zwischen 31.397 und 31.469.
Das ist die kleinste Lösung.
Die Konstruktion mittels Primfakultät liefert
557.940.830.126.698.960.967.415.391  und  557.940.830.126.698.960.967.415.363.
Die Konstruktion mittels kleinstem gemeinsamen Vielfachen liefert
5.624.043.567.677.125.526.551.547.131.201 und 5.624.043.567.677.125.526.551.547.131.273.
Die Konstruktion mittels Fakultät liefert
61.234.458.376.886.086.861.524.070.385.274.672.740.778.091.784.697.328.983.823.014.963.978.384.987.221.689.274.204.160.000.000.000.000.001 und 61.234.458.376.886.086.861.524.070.385.274.672.740.778.091.784.697.328.983.823.014.963.978.384.987.221.689.274.204.160.000.000.000.000.073.

Dieses Beispiel (k = 72) ist in der folgenden Tabelle blau, das Beispiel aus dem vorherigen Absatz (k = 6) ist rot gefärbt.

Kenngrößen einer Primzahllücke

Merit einer Primzahllücke

g_{n}/\ln p_{n}

Gibt an, um wie viel die Primzahllücke größer als der durchschnittliche Abstand zweier Primzahlen ist. Bekannte Maximalwerte liegen knapp unter $\ln p_{n}$ .

Cramér–Shanks–Granville-Verhältnis einer Primzahllücke

g_{n}/\ln ^{2}p_{n}

Bestimmt wird diese Größe für Primzahlen p_n ≥ 23.

Größter bekannter Wert für dieses Verhältnis ist 0,9206385885... für die Primzahl 1693182318746371.

#	g_n	Verhältnis	p_n
1	6	0,61029...	23
2	14	0,62644...	113
3	34	0,65756...	1327
4	72	0,67154...	31397
5	112	0,68125...	370261
6	148	0,70256...	2010733
7	210	0,73946...	20831323
8	456	0,79534...	25056082087
9	652	0,79753...	2614941710599
10	766	0,81776...	19581334192423
11	906	0,83112...	218209405436543
12	1132	0,92063...	1693182318746371

Tabellen von Primzahllücken

Formelzeichen:

p_n: n. Primzahl
g_n: Abstand zwischen n. und (n+1). Primzahl
k: max. Primzahlabstand

Jeweils größten Primzahllücken bis k = 0100
Abstand $k$	Primzahl		Konstruktion mittels (J=kleinste)
Abstand $k$	untere	obere	Primfakultät $k\#+1$	Kleinstes gemeinsames Vielfaches $\mathrm {kgV} (1,\ldots ,k)+1$	Fakultät $k!+1$
1	2	3	J 2	J 2	J 2
2	3	5	J 3	J 3	J 3
4	7	11	J 7	13	25
6	23	29	31	61	721
8	89	97	211	841	40.321
14	113	127	30.031	360.361	87.178.291.201
18	523	541	510.511	12.252.241	6.402.373.705.728.001
20	887	907	9.699.691	232.792.561	≈ 2,4329 · 10¹⁸⁰
22	1129	1151	9.699.691	232.792.561	≈ 1,1240 · 10²¹⁰
34	1327	1361	200.560.490.131	144.403.552.893.601	≈ 2,9523 · 10³⁸⁰
36	9551	9587	200.560.490.131	144.403.552.893.601	≈ 3,7199 · 10⁴¹⁰
44	15683	15727	13.082.761.331.670.031	9.419.588.158.802.421.601	≈ 2,6583 · 10⁵⁴⁰
52	19609	19661	614.889.782.588.491.411	3.099.044.504.245.996.706.401	≈ 8,0658 · 10⁶⁷⁰
72	31397	31469	557.940.830.126.698.960.967.415.391	5.624.043.567.677.125.526.551.547.131.201	≈ 6,1234 · 10¹⁰³
86	155921	156007	267.064.515.689.275.851.355.624.017.992.791	8.076.030.954.443.701.744.994.070.304.101.969.601	≈ 2,4227 · 10¹³⁰
96	360653	360749	23.768.741.896.345.550.770.650.537.601.358.311	718.766.754.945.489.455.304.472.257.065.075.294.401	≈ 9,9168 · 10¹⁴⁹
Quelle: selbst ausgerechnet

Jeweils größten Primzahllücken bis k = 0674
Abstand $k$	Primzahl		Konstruktion mittels $k!+1$
Abstand $k$	untere	obere	Konstruktion mittels $k!+1$
1	2	3	2
2	3	5	3
4	7	11	25
6	23	29	721
8	89	97	40.321
14	113	127	8,7178 · 10¹⁰⁰⁰
18	523	541	6,4024 · 10¹⁵⁰⁰
20	887	907	2,4329 · 10¹⁸⁰⁰
22	1129	1151	1,1240 · 10²¹⁰⁰
34	1327	1361	2,9523 · 10³⁸⁰⁰
36	9551	9587	3,.7199 · 10⁴¹⁰⁰
44	15683	15727	2,6583 · 10⁵⁴⁰⁰
52	19609	19661	8,0658 · 10⁶⁷⁰⁰
72	31397	31469	6,1234 · 10¹⁰³⁰
86	155921	156007	2,4227 · 10¹³⁰⁰
96	360653	360749	9,9168 · 10¹⁴⁹⁰
112	370261	370373	1,9745 · 10¹⁸²⁰
114	492113	492227	2,5436 · 10¹⁸⁶⁰
118	1349533	1349651	4,6845 · 10¹⁹⁴⁰
132	1357201	1357333	1,1182 · 10²²⁴⁰
148	2010733	2010881	2,5563 · 10²⁵⁸⁰
154	4652353	4652507	3,0898 · 10²⁷¹⁰
180	17051707	17051887	2,0090 · 10³²⁹⁰
210	20831323	20831533	1,0582 · 10³⁹⁸⁰
220	47326693	47326913	2,2839 · 10⁴²¹⁰
222	122164747	122164969	1,1205 · 10⁴²⁶⁰
234	189695659	189695893	2,2670 · 10⁴⁵⁴⁰
248	191912783	191913031	5,1933 · 10⁴⁸⁷⁰
250	387096133	387096383	3,2329 · 10⁴⁹²⁰
282	436273009	436273291	1,3291 · 10⁵⁷⁰⁰
288	1294268491	1294268779	7,1968 · 10⁵⁸⁴⁰
292	1453168141	1453168433	5,1252 · 10⁵⁹⁴⁰
320	2300942549	2300942869	2,1161 · 10⁶⁶⁴⁰
336	3842610773	3842611109	3,8852 · 10⁷⁰⁴⁰
354	4302407359	4302407713	1,9081 · 10⁷⁵⁰⁰
382	10726904659	10726905041	1,3738 · 10⁸²²⁰
384	20678048297	20678048681	2,0205 · 10⁸²⁷⁰
394	22367084959	22367085353	1,6234 · 10⁸⁵³⁰
456	25056082087	25056082543	1,.5078 · 10¹⁰¹⁶
464	42652618343	42652618807	3,.0488 · 10¹⁰³⁷
468	127976334671	127976335139	1,4439 · 10¹⁰⁴⁸
474	182226896239	182226896713	1,5864 · 10¹⁰⁶⁴
486	241160624143	241160624629	2,4021 · 10¹⁰⁹⁶
490	297501075799	297501076289	1,3679 · 10¹¹⁰⁷
500	303371455241	303371455741	1,2201 · 10¹¹³⁴
514	304599508537	304599509051	9,1690 · 10¹¹⁷¹
516	416608695821	416608696337	2,4366 · 10¹¹⁷⁷
532	461690510011	461690510543	7,9889 · 10¹²²⁰
534	614487453523	614487454057	2,2736 · 10¹²²⁶
540	738832927927	738832928467	5,4823 · 10¹²⁴²
582	1346294310749	1346294311331
588	1408695493609	1408695494197
602	1968188556461	1968188557063
652	2614941710599	2614941711251
674	7177162611713	7177162612387	4,1282 · 10¹⁶¹⁵
Quelle: selbst ausgerechnet

Jeweils größten Primzahllücken bis k = 1550
#	g_n	p_n	n	#	g_n	p_n	n
1	1	2	1	41	468	127976334671	5217031687
2	2	3	2	42	474	182226896239	7322882472
3	4	7	4	43	486	241160624143	9583057667
4	6	23	9	44	490	297501075799	11723859927
5	8	89	24	45	500	303371455241	11945986786
6	14	113	30	46	514	304599508537	11992433550
7	18	523	99	47	516	416608695821	16202238656
8	20	887	154	48	532	461690510011	17883926781
9	22	1129	189	49	534	614487453523	23541455083
10	34	1327	217	50	540	738832927927	28106444830
11	36	9551	1183	51	582	1346294310749	50070452577
12	44	15683	1831	52	588	1408695493609	52302956123
13	52	19609	2225	53	602	1968188556461	72178455400
14	72	31397	3385	54	652	2614941710599	94906079600
15	86	155921	14357	55	674	7177162611713	251265078335
16	96	360653	30802	56	716	13829048559701	473258870471
17	112	370261	31545	57	766	19581334192423	662221289043
18	114	492113	40933	58	778	42842283925351	1411461642343
19	118	1349533	103520	59	804	90874329411493	2921439731020
20	132	1357201	104071	60	806	171231342420521	5394763455325
21	148	2010733	149689	61	906	218209405436543	6822667965940
22	154	4652353	325852	62	916	1189459969825483	35315870460455
23	180	17051707	1094421	63	924	1686994940955803	49573167413483
24	210	20831323	1319945	64	1132	1693182318746371	49749629143526
25	220	47326693	2850174	65	1184	43841547845541059	1175661926421598
26	222	122164747	6957876	66	1198	55350776431903243	1475067052906945
27	234	189695659	10539432	67	1220	80873624627234849	2133658100875638
28	248	191912783	10655462	68	1224	203986478517455989	5253374014230870
29	250	387096133	20684332	69	1248	218034721194214273	5605544222945291
30	282	436273009	23163298	70	1272	305405826521087869	7784313111002702
31	288	1294268491	64955634	71	1328	352521223451364323	8952449214971382
32	292	1453168141	72507380	72	1356	401429925999153707	10160960128667332
33	320	2300942549	112228683	73	1370	418032645936712127	10570355884548334
34	336	3842610773	182837804	74	1442	804212830686677669	20004097201301079
35	354	4302407359	203615628	75	1476	1425172824437699411	34952141021660495
36	382	10726904659	486570087	76	1488	5733241593241196731	135962332505694894
37	384	20678048297	910774004	77	1510	6787988999657777797	160332893561542066
38	394	22367084959	981765347	78	1526	15570628755536096243	360701908268316580
39	456	25056082087	1094330259	79	1530	17678654157568189057	408333670434942092
40	464	42652618343	1820471368	80	1550	18361375334787046697	423731791997205041
Quelle: Englische Wikipedia-Seite, Berechnung bis 2⁶⁴

Weitere sehr große Primzahllücken
Merit	g_n	Stellen	p_n	Datum	Entdecker
41,938784	08350	0087	29 37032 34068 02259 01587 23766 ⁞ 10441 94634 25709 07557 48117 62098 ⁞ 58879 82178 95728 85867 67281 43227 ⁞	2017	Gapcoin
39,620154	15900	0175	3483347771 × 409#/0030 − 7016	2017	Dana Jacobsen
38,066960	18306	0209	0650094367 × 491#/2310 − 8936	2017	Dana Jacobsen
38,047893	35308	0404	0100054841 × 953#/0210 − 9670	2020	Seth Troisi
37,824126	08382	0097	0512950801 × 229#/5610 − 4138	2018	Dana Jacobsen
Quelle: Englische Wikipedia-Seite

Obere Schranken

Joseph Bertrand zeigte folgende natürliche Begrenzung einer Primzahllücke: Für jedes $n>1\$ gilt: zwischen $n\$ und $2n\$ liegt wenigstens eine Primzahl. Daraus folgt, dass eine Primzahllücke, begonnen bei $n\$ , nicht größer sein kann als $n\$ selbst.

Aus dem Primzahlsatz folgt, dass die Lücken für große $n$ im Mittel logarithmisch mit $n$ wachsen. Außerdem folgt aus dem Primzahlsatz: Für jedes $\epsilon >0$ gibt es eine Zahl $N$ , so dass

g_{n}<p_{n}\epsilon

.

für alle $n>N$ und

\lim _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{p_{n}}}=0.

Guido Hoheisel zeigte 1930^[2], dass es eine Konstante $\theta <1$ gibt, so dass:

\pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\log(x)}}{\text{ as }}x\to \infty ,

und damit

g_{n}<p_{n}^{\theta },\,

für genügend große $n$ . Der Wert von $\theta$ konnte nach Hoheisel nahe 1 gewählt werden und wurde im Lauf der Zeit mehrfach verbessert:

Hans Heilbronn: $\ \theta ={\tfrac {249}{250}}$ ,
Nikolai Grigorjewitsch Tschudakow: $\ \theta >{\tfrac {3}{4}}$ ,
Albert Ingham: $\ \theta >{\tfrac {5}{8}}$ ,
Martin Huxley^[3]: $\ \theta ={\tfrac {7}{12}}$ ,
János Pintz, Baker, Harman^[4]: $\ \theta ={\tfrac {21}{40}}$ .

2005 bewiesen Daniel Goldston, János Pintz und Cem Yıldırım, dass

\liminf _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{\log p_{n}}}=0

was sie 2007 auf

\liminf _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{{\sqrt {\log p_{n}}}(\log \log p_{n})^{2}}}<\infty .

verbesserten. 2014 zeigte Yitang Zhang^[5], dass

\liminf _{n\to \infty }g_{n}<7\cdot 10^{7},

und dass es somit unendlich viele Primzahllücken gibt, die kleiner als 70 Millionen sind. Das konnte von James Maynard auf 600 gedrückt werden und vom Polymath-Projekt auf 246.

Untere Schranken

1931 zeigte der Finne Erik Westzynthius (1901–1980), dass die maximale Primzahllücke mehr als logarithmisch wächst:

\limsup _{n\to \infty }{\frac {g_{n}}{\log p_{n}}}=\infty .

1938 zeigte Robert Alexander Rankin, dass es eine Konstante $c$ gibt, so dass

g_{n}>{\frac {c\log n\log \log n\log \log \log \log n}{(\log \log \log n)^{2}}}

für unendliche viele Werte von $n$ erfüllt ist. Außerdem zeigte er, dass man dafür jede Konstante $c<e^{\gamma }$ (mit $\gamma$ der Euler-Mascheroni-Konstante) nehmen kann. János Pintz verbesserte das 1997 auf $c<2e^{\gamma }$ . Paul Erdös vermutete, dass die Konstante $c$ beliebig groß sein kann und lobte für den Beweis einen Preis von 10.000 Dollar aus. 2014 bewiesen unabhängig voneinander James Maynard einerseits und Terence Tao und Kollegen andererseits die Vermutung und außerdem, dass

g_{n}>{\frac {\log n\log \log n\log \log \log \log n}{\log \log \log n}}

für unendlich viele Werte von $n$ .^[6]^[7]

Vermutungen

Unter Annahme der Riemannschen Vermutung zeigte Harald Cramér 1936, dass

g_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\log p_{n}),

mit Verwendung der Landau-Symbole. Cramér vermutete, dass

g_{n}=O\left((\log p_{n})^{2}\right).

Nach einer Vermutung des Dänen Ludvig Oppermann (1817–1883) ist

g_{n}<{\sqrt {p_{n}}}.

Aus der Vermutung von Andrica (eine Verschärfung der Vermutung von Legendre) folgt, dass

g_{n}<2{\sqrt {p_{n}}}+1.

Die Vermutung von Polignac besagt, dass jede gerade Zahl $k$ unendlich oft als Primzahllücke auftaucht, für $k=2$ ist das die Primzahlzwillingsvermutung. Nach Zhang Yitang ist sie für ein $k<70.000.000$ richtig.

Weblinks

Wikibooks: Primzahlen: Primzahllücken – Lern- und Lehrmaterialien

Eric W. Weisstein: Prime Gaps. In: MathWorld (englisch).
The Gaps Between Primes (englisch)
First occurrence prime gaps by Thomas R. Nicely (englisch) -- Die Referenz-Website und aktuelles zum Thema Primzahllücken

Einzelnachweise

↑ Ich habe weder auf Papier noch im Internet solche Autoren gefunden, allerdings kann es nicht schaden, auf diesen möglichen Unterschied in der Definition hinzuweisen.
↑ Hoheisel, Primzahlprobleme in der Analysis, Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften, Band 33, 1930, S. 3–11
↑ Huxley, On the difference between consecutive primes, Inv. Math., Band 15, 1972, S. 164–170
↑ R. C. Baker, G. Harman, J. Pintz, The difference between consecutive primes, II, Proceedings of the London Mathematical Society, Band 83, 2001, S. 532–562
↑ Zhang, Buondes gaps between primes, Annals of Mathematics, Band 179, 2014, S. 1121–1174
↑ James Maynard, Large gaps between primes, Annals of Mathematics, Band 183, 2016, S. 915–922
↑ Kevin Ford, Ben Green, Sergei Konyagin, Terence Tao, Large gaps between consecutive prime numbers, Ann. of Math., Band 183, 2016, S. 935–974

[1] Ich habe weder auf Papier noch im Internet solche Autoren gefunden, allerdings kann es nicht schaden, auf diesen möglichen Unterschied in der Definition hinzuweisen.

[2] Hoheisel, Primzahlprobleme in der Analysis, Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften, Band 33, 1930, S. 3–11

[3] Huxley, On the difference between consecutive primes, Inv. Math., Band 15, 1972, S. 164–170

[4] R. C. Baker, G. Harman, J. Pintz, The difference between consecutive primes, II, Proceedings of the London Mathematical Society, Band 83, 2001, S. 532–562

[5] Zhang, Buondes gaps between primes, Annals of Mathematics, Band 179, 2014, S. 1121–1174

[6] James Maynard, Large gaps between primes, Annals of Mathematics, Band 183, 2016, S. 915–922

[7] Kevin Ford, Ben Green, Sergei Konyagin, Terence Tao, Large gaps between consecutive prime numbers, Ann. of Math., Band 183, 2016, S. 935–974

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