Äußere Ableitung

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Dieser Artikel behandelt die äußere Ableitung von Differentialformen. Für die „äußere Ableitung“ als Bezeichnung für die Ableitung der äußeren Funktion einer Verkettung siehe Kettenregel

Die äußere Ableitung oder Cartan-Ableitung ist ein Begriff aus den Bereichen Differentialgeometrie und Analysis. Sie verallgemeinert die aus der Analysis bekannte Ableitung von Funktionen auf Differentialformen. Der Name Cartan-Ableitung erklärt sich daher, dass Élie Cartan der Begründer der Theorie der Differentialformen ist.

Äußere Ableitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine n-dimensionale glatte Mannigfaltigkeit und eine offene Teilmenge. Mit wird hier der Raum der k-Formen auf der Mannigfaltigkeit M bezeichnet. So gibt es dann für alle genau eine Funktion , so dass die folgenden Eigenschaften gelten:

  1. ist eine Antiderivation, das heißt für und gilt .
  2. Sei , dann ist definiert als das totale Differential.
  3. Der Operator verhält sich natürlich in Bezug auf Einschränkungen, das heißt: Sind offene Mengen und , so gilt .

Es muss natürlich bewiesen werden, dass ein solcher Operator existiert und eindeutig ist. Dieser trägt den Namen äußere Ableitung oder Cartan-Ableitung und wird meistens mit bezeichnet. Man verzichtet also auf den Index, welcher den Grad der Differentialform angibt, auf welche der Operator angewendet wird.

Formel für die äußere Ableitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man kann die äußere Ableitung auch mit Hilfe der Formel

darstellen, dabei bedeutet das Zirkumflex ^ in , dass das entsprechende Argument wegzulassen ist, bezeichnet die Lie-Klammer.

Koordinatendarstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei ein Punkt auf einer glatten Mannigfaltigkeit. Die äußere Ableitung von hat in diesem Punkt die Darstellung

,

dabei hat die lokale Darstellung

Darstellung über Antisymmetrisierungsabbildung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die äußere Ableitung von -Formen ist einfach durch die totale Ableitung gegeben und stets kovariant (siehe auch kovariante Ableitung) und antisymmetrisch. Die äußere Ableitung einer -Form kann bis auf ein Vielfaches als Antisymmetrisierung des formalen Tensorprodukts von mit der Form angesehen werden:

In Indexnotation:

[1]

Rücktransport[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Seien zwei glatte Mannigfaltigkeiten und eine einmal stetig differenzierbare Funktion. Dann ist der Rücktransport ein Homomorphismus, so dass

  1. und

gilt.

In Worten sagt man auch: Produktbildung bzw. äußere Differentiation sind mit der "pullback"-Relation verträglich.

Adjungierte äußere Ableitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei in diesem Abschnitt eine pseudo-riemannsche Mannigfaltigkeit mit Index . Mit wird im Folgenden der Hodge-Stern-Operator bezeichnet. Der Operator

ist definiert durch und für durch

Er wird als adjungierte äußere Ableitung oder Koableitung bezeichnet.

Dieser Operator ist linear und es gilt . In der Tat ist der zu adjungierte Operator. Ist die Mannigfaltigkeit zusätzlich kompakt, so gilt für die Riemann’sche Metrik und die Relation

.

Aus diesem Grund notiert man auch als , da dieser ja der adjungierte Operator ist. Ähnliche Dualitätsbeziehungen können auch für Pseudo-Riemann’sche Metriken definiert werden, zum Beispiel für die Minkowski-Metrik der Speziellen Relativitätstheorie bzw. die Lorentz-Metrik der Allgemeinen Relativitätstheorie.

Verallgemeinerung weiterer Differentialoperatoren[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die aus der Vektoranalysis bekannten Differentialoperatoren kann man mit Hilfe der äußeren Ableitung und dem Hodge-Stern-Operator auf Riemann’sche Mannigfaltigkeiten erweitern. Insbesondere erhält man für die Rotation eine Formel, welche auf n-dimensionalen Räumen operiert. Im Folgenden sei immer eine glatte Riemann’sche Mannigfaltigkeit.

Be- und Kreuz- (Flat- und Sharp-) Isomorphismus[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Diese beiden Isomorphismen werden durch die Riemannsche Metrik induziert. Sie bilden Tangentialvektoren auf Kotangentialvektoren ab und umgekehrt. Zum Verständnis reicht es, an dieser Stelle die Wirkung der Isomorphismen im dreidimensionalen Raum zu demonstrieren. Sei ein Vektorfeld, so gilt für den Flat-Operator in Standardkoordinaten von

.

Der Flat-Operator bildet also Vektorfelder in ihren Dualraum ab. Der Sharp-Operator ist die dazu inverse Operation. Sei ein Kovektorfeld (bzw. eine 1-Form), so gilt (ebenfalls Standardkoordinaten)

.

Kreuzprodukt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Kreuzprodukt ist zwar kein Differentialoperator und wird zudem in der Vektoranalysis nur für dreidimensionale Vektorräume definiert. Trotzdem ist es, insbesondere für die Definition der Rotation, sehr wichtig: Sei ein Vektorraum und zwei Elemente einer äußeren Potenz von , dann ist das verallgemeinerte Kreuzprodukt definiert durch

.[2]

Für eine Begründung dieser Definition siehe unter äußere Algebra.

Gradient[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es sei eine partiell differenzierbare Funktion und auf sei das Standardskalarprodukt gegeben. Der Gradient der Funktion im Punkt ist für beliebiges der durch die Forderung

eindeutig bestimmte Vektor . Mit Hilfe des Differentialformen-Kalküls kann man den Gradienten auf einer Riemann’schen Mannigfaltigkeit durch

definieren. Da die Menge der 0-Formen nach Definition gleich der Menge der beliebig oft differenzierbaren Funktionen ist, verallgemeinert diese Definition den Gradienten von Funktionen. Dies lässt sich schnell durch eine kurze Rechnung einsehen. Ist eine glatte Funktion, so gilt

In euklidischen Vektorräumen notiert man dies häufig wie folgt:

Rotation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Vektoranalysis ist die Rotation eine Abbildung . Für allgemeine Vektorfelder gilt

.

Folgende Rechnung zeigt, dass man für die Dimension den bekannten Ausdruck für die Rotation erhält:

Diese Formel erhält man sofort, indem man die Definition des Gradienten in die des Kreuzproduktes einsetzt.

Divergenz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ebenso gibt es eine Verallgemeinerung der Divergenz, diese lautet

Hodge-Laplace-Operator[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Hodge-Laplace-Operator ist ein spezieller verallgemeinerter Laplace-Operator. Solche Operatoren haben in der Differentialgeometrie eine wichtige Bedeutung.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine glatte Riemann’sche Mannigfaltigkeit, so ist der Hodge-Laplace-Operator definiert durch

Eine Funktion heißt harmonisch, wenn sie die Laplace-Gleichung erfüllt. Analog definiert man die harmonischen Differentialformen. Eine Differentialform heißt harmonisch, falls die Hodge-Laplace-Gleichung erfüllt ist. Mit wird die Menge aller harmonischen Formen auf notiert. Dieser Raum ist aufgrund der Hodge-Zerlegung isomorph zur entsprechenden De-Rham-Kohomologiegruppe.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Hodge-Laplace-Operator hat folgende Eigenschaften:

  1. , also falls harmonisch ist, so ist auch harmonisch.
  2. Der Operator ist selbstadjungiert bezüglich einer Riemannschen Metrik g, das heißt für alle gilt; .
  3. Notwendig und hinreichend für die Gleichung ist, dass und gilt.

Dolbeault-Operator[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Hauptartikel: Komplexe Differentialform

Zwei weitere Differentialoperatoren, welche mit der Cartan-Ableitung in Verbindung stehen sind der Dolbeault- und der Dolbeault-Quer-Operator auf Mannigfaltigkeiten. So kann man die Räume der Differentialformen vom Grad einführen, welche durch notiert werden, und erhält auf natürliche Weise die Abbildungen

und

mit . In lokalen Koordinaten haben diese Differentialoperatoren die Darstellungen

und

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Fußnoten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Ivan Avramidi, Notes on Differential Forms (PDF; 112 kB), 2003
  2. Damit hängt eine in der Physik benutzte Sprachregelung zusammen, nach welcher man polare und axiale Vektoren unterscheidet; das Kreuzprodukt zweier polarer Vektoren ergibt zum Beispiel einen axialen Vektor. Die als bzw. bezeichneten Größen der theoretischen Mechanik („Drehimpulse“ bzw. „Drehmomente“) sind z.B. axiale Vektoren.