Randwertproblem

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Randwertprobleme (kurz: RWP) auch Randwertaufgabe (kurz: RWA) oder englisch Boundary value problem (kurz: BVP) nennt man in der Mathematik eine wichtige Klasse von Problemstellungen, bei denen zu einer vorgegebenen Differentialgleichung (DGL) Lösungen gesucht werden, die auf dem Rand des Definitionsbereiches vorgegebene Funktionswerte (Randbedingungen) annehmen sollen. Das Gegenstück dazu sind die Anfangswertprobleme, bei denen nur Werte zu einem anfänglichen Zeitpunkt vorgegeben werden.

Gewöhnliche Differentialgleichung[Bearbeiten]

Dirichlet-Problem[Bearbeiten]

Hauptartikel: Dirichlet-Randbedingung

Es seien \alpha und \beta reelle Zahlen. Randdaten oder Randbedingungen einer Funktion u \colon [a,b] \to \mathbb{R} der Form

u(a)=\alpha \quad \text{und} \quad u(b)=\beta

heißen Randbedingungen erster Art oder Dirichletsche Randbedingungen. Ist \alpha=\beta=0 so sprechen wir von homogenen Dirichletschen Randbedingungen. Ansonsten sprechen wir von inhomogenen Randbedingungen.

Gesucht ist also eine Funktion u, welche Lösung des folgenden Problems ist:

(N)\begin{cases} f(x,u(x),u'(x),u''(x))=0, \quad x \in (a,b) & \\ u(a)=\alpha,~u(b)=\beta.& \end{cases}

Hierbei ist f eine vorgeschriebene Funktion und \alpha,\beta sind die vorgeschriebenen Randbedingungen. Hinreichende Bedingungen zur Existenz (und Eindeutigkeit) von Lösungen von (N) findet man in dem Artikel Dirichlet-Problem.

Sturm-Liouville-RWP[Bearbeiten]

Hauptartikel: Sturm-Liouville-Problem

Seien r,p,q\in\mathcal{C}([a,b],\mathbb{R})
Lu:=(pu')'+qu sei ein selbstadjungierter linearer Differentialoperator 2. Ordnung
Randoperatoren mit {\alpha_0}^2+{\alpha_1}^2>0,~{\beta_0}^2+{\beta_1}^2>0 seien
R_au:=\alpha_0u(a)+\alpha_1p(a)u'(a)
R_bu:=\beta_0u(b)+\beta_1p(b)u'(b)

(*)\begin{cases} (Lu)(x)=r(x)& \\ R_u(a)=\eta_a,~R_u(b)=\eta_b& \end{cases}

heißt Sturm-Liouville-RWP.

Sturm-Liouville-EWP[Bearbeiten]

Siehe auch: Eigenwertproblem
(P_\lambda)\begin{cases} (Lu)(x)=\lambda u(x)& \\ R_u(a)=R_u(b)=0& \end{cases}

Diejenigen \lambda\in\mathbb{R}, für die (P_\lambda) nicht eindeutig lösbar ist, heißen Eigenwerte. Die zugehörigen Lösungen heißen Eigenfunktionen.

Partielle Differentialgleichungen[Bearbeiten]

Sei \Omega\subset\mathbb{R}^d offen und beschränkt, f sei eine auf \Omega Lebesgue-messbare Funktion, g beschreibe die Randvorgaben. Gesucht sind jeweils Lösungen u\colon\Omega\rightarrow\mathbb{R}^n. Die partielle Differentialgleichung sei gegeben durch den Differentialoperator L\colon u \mapsto L(u). Insbesondere führen elliptische Differentialoperatoren immer auf Randwertprobleme, etwa der Laplace-Operator auf die Poisson-Gleichung.

Dirichlet-Problem[Bearbeiten]

Beim Dirichlet-Problem werden Funktionswerte auf dem Rand vorgegeben.

L(u)(x)=f(x) für x\in\Omega,
u(x)=g(x) für x\in\partial\Omega.

Neumann-Problem[Bearbeiten]

Anstatt Funktionswerten werden beim Neumann-Problem Ableitungswerte vorgeschrieben.

L(u)(x)=f(x) für x\in\Omega,
\frac{\partial u}{\partial n}(x)=g(x) für x\in\partial\Omega.

Schiefe Randbedingung[Bearbeiten]

Die schiefe Randbedingung stellt eine Kombination der beiden vorangehenden Probleme dar. Hierbei soll die gesuchte Funktion auf dem Rand gleich ihrer Normalenableitung auf dem Rand sein.

L(u)(x)=f(x) für x\in\Omega,
u(x)=\frac{\partial u}{\partial n}(x) für x\in\partial\Omega.

Hilfsmittel[Bearbeiten]

Ein wichtiges theoretisches Hilfsmittel zur Untersuchung von Randwertproblemen sind die Greenschen Funktionen.

In der Numerik werden als Verfahren zur näherungsweisen Lösung z.B. die FDM (finite difference method), die FEM (finite element method), das Schießverfahren und die Mehrzielmethode eingesetzt.

Naturwissenschaftliche Anwendung[Bearbeiten]

Die Modellierung vieler Vorgänge in Natur und Technik baut auf Differentialgleichungen auf. Typische einfache Beispiele für RWP sind

  • schwingende Saite, die an ihren beiden Enden (=Rand) fest eingespannt ist
  • schwingende Membran (der Rand ist hier ein Kreisring)
  • Bewegungsgleichungen von Satelliten bei Keplerbahnen, siehe auch Bahnbestimmung
  • die Kettenlinie einer zwischen zwei Punkten oder Meeresgrund und Schiff durchhängenden Kette
  • die Ausformung der Radien der 3 sich bildenden Lamellen, wenn sich 2 zuerst eigenständige Seifenblasen paaren
  • das Verformen einer Trampolinfläche beim Aufspringen.

Umgekehrt können Versuche mit materiellen Modellen – aus Federnetzwerk, Gummituch, Seifenblase – der Lösung mathematisch formulierter Aufgaben oder ihrer Veranschaulichung dienen:

  • Gravitationspotential dargestellt durch die mittige Eindellung eines am Rand waagrecht eingespannten Gummituchs, (elliptisch) umkreisende Bewegung durch eine rollende kleine Kugel
  • Spannungsoptik

Literatur[Bearbeiten]

  • M. Hermann: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen: Anfangs- und Randwertprobleme. Oldenbourg Verlag, München und Wien 2004. ISBN 3-486-27606-9