Sturm-Liouville-Problem

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Ein klassisches Sturm-Liouville-Problem (nach Charles-François Sturm (1803–1855) und Joseph Liouville (1809–1882)) ist folgendes Eigenwertproblem aus der Analysis: Man betrachte die Differentialgleichung 2. Ordnung:[1]

wobei Koeffizientenfunktionen sind. Finde alle komplexen Zahlen , für die die Differentialgleichung auf dem Intervall eine Lösung besitzt, die den Randbedingungen

genügt ().

Führt man den linearen Operator der Form

ein, den Sturm-Liouville-Operator, so kann die Eigenwertgleichung mithilfe von Methoden aus der Funktionalanalysis (Spektraltheorie) im Hilbertraum der bezüglich der Gewichtsfunktion quadratintegrierbaren Funktionen behandelt werden.

Ist das Intervall kompakt und sind die Koeffizientenfunktionen integrierbar, so spricht man von einem regulären Sturm-Liouville-Problem. Ist das Intervall unbeschränkt oder sind die Koeffizientenfunktionen nur lokal integrierbar, so spricht man von einem singulären Sturm-Liouville-Problem.

Reguläre Sturm-Liouville-Probleme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Eigenwertgleichung

mit integrierbaren reellen Funktionen , zusammen mit Randbedingungen der Form

nennt man ein reguläres Sturm-Liouville-Problem über dem Intervall , wenn dieses Intervall endlich ist.

Im Fall spricht man von Dirichlet-Randbedingungen und im Fall von Neumann-Randbedingungen, wobei die Existenz und Eindeutigkeit der Lösung mit den Randbedingungen sichergestellt wird.

Für das reguläre Sturm-Liouville-Problem gilt, dass es eine abzählbare Folge von reellen Eigenwerten gibt, die gegen divergiert:

Die Eigenwerte verhalten sich asymptotisch (Weyl-Asymptotik) wie

Die zugehörigen Eigenfunktionen bilden eine Orthonormalbasis im Hilbertraum der bezüglich der Gewichtsfunktion quadratintegrierbaren Funktionen.

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Für das reguläre Sturm-Liouville-Problem ist man daran interessiert, das Verhalten der Eigenfunktionen zu beschreiben, ohne deren genaue Kenntnis zu haben. Insofern geben die nachfolgenden Sätze, die teilweise auf Charles-François Sturm zurückgehen, einen Überblick der Eigenschaften der Lösungen des Sturm-Liouville-Problems.

Dazu wird die homogene Differentialgleichung für betrachtet und nachfolgende Anforderungen an die Koeffizientenfunktionen gestellt:

  • und ,
  • und .[2]

Darüberhinausgehende Anforderungen sind in den entsprechenden Sätzen formuliert.

Amplitudensatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Da die Amplituden den Absolutbetrag der lokalen Extremwerte angeben, wird mit dem nachfolgenden Satz das Verhalten der Amplituden aufeinanderfolgender Nullstellen beschrieben.

Abweichend von den eingangs genannten Voraussetzungen sei , monoton wachsend oder monoton fallend, sowie auf einem geeigneten Intervall sei eine nicht triviale Lösung von . Für die Amplituden zweier aufeinanderfolgender Extremstellen von gilt:

und
.
Beweis

Es sei eine nicht-triviale Lösung und

.

Dabei ist keine Lösung der Sturm-Liouville-Differentialgleichung, jedoch eine Funktion die mit denselben Extremstellen und Nullstellen ausgestattet ist wie . Mit Hilfe dieser Konstruktion folgt mit der Sturm-Liouville-Differentialgleichung

Wird zudem berücksichtigt, dass an jedem Extrempunkt ist, so gilt für ein mit

Demzufolge wird die Steigung von beeinflusst durch den Wert der Ableitung von . Da sich die Steigung von auf vererbt, erhält man für den Betrag:

und
.

Oszillationssatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Oszillationssatz besagt für , wenn neben den eingangs beschriebenen Anforderungen für zudem gilt:

und sind divergent,

dann ist auf dem Intervall jede nicht-triviale Lösung oszillatorisch.

Zudem gilt im Falle von Dirichlet-Randbedingungen, dass jede -te Eigenfunktion genau Nullstellen im Intervall hat.

Beweis

Seien ebenso wie nicht-triviale Lösungen der homogenen Differentialgleichung. Mit und wegen ist und somit:

(1).

Dieses lineare Differentialgleichungssystem hat nur dann nicht-triviale Lösungen, wenn für jedes gilt , da sonst und daher sein müsste.

Gesucht sind daher oszillatorische Lösungen, die mittels der Prüfer-Transformation in ebenen Polarkoordinaten erhalten werden:

(2).

Dabei ist und die dazugehörige Argumentfunktion lautet:

bzw. .[3]

Behauptung: Falls , dann haben ebenso wie unendlich viele Nullstellen.

Begründung: Aus (1) und (2) folgt

(3) und
(4).

Wird die Gleichung (3) mit und Gleichung (4) mit multipliziert und addiert, so ergibt sich:

, bzw.
(5),

ist also monoton wachsend.

Bleibt noch zu zeigen, dass unbeschränkt ist.

Wäre beschränkt, so existierten die Grenzwerte und und es wäre . Insbesondere ist oder .

Sei im Folgenden so groß, dass für alle . Dann liefert Gleichung (5) nach Integration für alle

einen Widerspruch zur Voraussetzung. ist somit unbeschränkt.

Orthogonale Relation[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Erfüllt der Sturm-Liouville-Operator bei geeignetem und Eigenfunktion die Sturm-Louiville-Differentialgleichung , dann bilden die Eigenfunktionen eine Orthogonalbasis im Hilbertraum der quadratintegrierbaren Funktionen. Demzufolge gilt für

Beweis

Mit dem Sturm-Liouville-Operator ergeben sich für die Eigenfunktionen folgende Ausgangsgleichungen:

(1)

und

(2)

Wird Gleichung (1) von Gleichung (2) subtrahiert, so ergeben sich die beiden Gleichungen:

(3)

und

(4) .

Mittels der Lagrange-Identität für Randwertprobleme lässt sich Gleichung (3) zusammenfassen zu:

(5)

wobei die Wronski-Determinante der Funktionen bedeutet.

Zur Berechnung der Wronski-Determinante mittels der Abelschen Identität wird die Differentialgleichung in der Darstellung betrachtet, mit und . Die Koeffizientenmatrix des Fundamentalsystems lautet dann und deren Spur ist . Somit lautet die Abelsche Identität:

.

Sei o.B.d.A. monoton wachsend und daher so lässt sich das Integral darstellen durch und demnach

.

Durch die Wahl der Integrationskonstanten zu ergibt sich

und Gleichung (5) nimmt folgende Gestalt an:

Nach Umformen und Trennung der Variablen lautet die Gleichung nun:

.

Auf beiden Seiten der Gleichung stehen nun eindimensionale Pfaffsche Formen und da eine konstante Funktion ist, gilt . Für die Berechnung der verbleibenden Pfaffschen Form ist eine geeignete Parametrisierung zu wählen. Das Integral lautet nun:

.

Demnach verschwindet das Integral längs dem Intervall , so dass unter Verwendung von Gleichung (4) gilt:

Diese Bedingung kann jedoch nur erfüllt werden, wenn:

.

Vergleichssatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Sturmsche Vergleichssatz liefert einen Zusammenhang zwischen den beiden Differentialgleichungen

(1)
(2),

wobei für vorausgesetzt wird

monoton wachsend
monoton wachsend.

Wenn eine nicht triviale Lösung der Differentialgleichung und eine nicht triviale Lösung von ist, dann liegen im Intervall zwischen zwei Nullstellen von eine Nullstelle von .

Beweis

Als Ausgangspunkt für den nachfolgenden Beweis wird die Lagrange-Identität für Randwertprobleme betrachtet. Dazu wird Gleichung (1) von links mit multipliziert und von Gleichung (2), welche ebenfalls von links mit multipliziert wird, subtrahiert und so eine Lagrange-Identität erhalten:

wobei die Wronski-Determinante der Funktionen angibt. Werden nun für diese Gleichung die Paffschen Formen gebildet, wobei eine geeignete Parametrisierung durch gegeben ist und demzufolge die Variable durch den Parameter zu ersetzen ist, so nimmt die Differentialgleichung folgende Integraldarstellung an:

.
Teil 1
Da gemäß Amplitudensatz beschränkt sind und lineare Operatoren sind, muss gelten
.
Teil 2
Mit der Abelschen Identität ergibt sich, wie im Abschnitt orthogonale Relation gezeigt, folgender Zusammenhang:
. Somit lautet das Integral nun:
Teil 3
Da die Funktionen dem Amplitudensatz genügen und monoton fallend ist, bleibt das Integral in dem Intervall beschränkt und es gilt:
.

Mit dieser Integralgleichung wird deutlich, dass gelten muss .

Um nun Aussagen über den Verlauf der Eigenfunktionen innerhalb des Intervalls machen zu können, wird folgende Konstruktion betrachtet: .

Sind die beiden linear unabhängigen Funktionen und o.B.d.A. gegeben, so folgt mit Gleichung (2) , dass und somit lässt sich die Wronski-Determinante wie folgt darstellen

und daher

.

Sei nun o. B. d. A. auf dem Intervall , so dass die Dirichlet-Randbedingung erfüllt ist, dann folgt

Um zu zeigen welches Vorzeichen hat, wird wegen der Amplitudensatz angewandt und mit der Identität folgende Ungleichungen betrachtet

(3) und
(4)

Addition von (3) und (4) liefert

.

Nach umsortieren wird daraus

.

Nach Voraussetzung ist , und somit bzw. und demzufolge muss gelten

.

Also gilt

.

Wegen der Dirichlet-Randbedingung ist und es gilt . Da nach Voraussetzung auf ist, gibt es nach dem Zwischenwertsatz ein so dass eine lokale Extremstelle einnimmt. Unterhalb dieser Extremstelle ist monoton steigend und oberhalb der Extremstelle ist monoton fallend. Dementsprechend ist auch in zunächst monoton steigend und dann monoton fallend und wegen des Vorzeichenwechsels von in muss eine Nullstelle in haben.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein einfaches Beispiel ist die Differentialgleichung

auf dem Intervall , zusammen mit den Dirichlet-Randbedingungen

Aufgrund der Randbedingungen wird der periodische Ansatz für und beliebige gewählt. Wegen ist und also und somit für . Die Folge der Eigenwerte lautet demnach

und genügt der Weyl-Asymptotik. Die Folge der Eigenfunktionen ergibt sich, bis auf die zu bestimmenden Koeffizienten , zu

Die Orthonormalbasis der Eigenfunktionen im Hilbertraum mit ergibt sich unter Verwendung der trigonometrischen Formel :

Hierbei bedeutet das Kronecker-Delta und die Normierung bedingt , so dass die normierten Eigenfunktionen die Darstellung

annehmen.

Die zugehörige Eigenfunktionsentwicklung ist die Fourierreihe mit

Mathematische Theorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der geeignete mathematische Rahmen ist der Hilbertraum mit dem Skalarprodukt

.

In diesem Raum ist ein selbstadjungierter Operator, wenn er auf der Menge der (im Sinne der schwachen Ableitung) differenzierbaren Funktionen, die die Randbedingungen erfüllen, definiert wird:

Hierbei bezeichnet die Menge der auf absolut stetigen Funktionen. Da ein unbeschränkter Operator ist, betrachtet man die Resolvente

,

wobei kein Eigenwert sein darf. Es stellt sich heraus, dass die Resolvente ein Integraloperator mit stetigem Kern (die Green’sche Funktion des Randwertproblems) ist. Somit ist die Resolvente ein kompakter Operator, und die Existenz einer abzählbaren Folge von Eigenfunktionen folgt aus dem Spektralsatz für kompakte Operatoren.

Der Zusammenhang zwischen den Eigenwerten von und der Resolvente folgt, da äquivalent ist zu mit ist.

Singuläre Sturm-Liouville-Probleme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind obige Bedingungen nicht erfüllt, so spricht man von einem singulären Sturm-Liouville-Problem. Das Spektrum besteht dann im Allgemeinen nicht mehr nur aus Eigenwerten und besitzt auch einen kontinuierlichen Anteil. Es gibt weiterhin verallgemeinerte Eigenfunktionen, und die zugehörige Eigenfunktionsentwicklung ist eine Integraltransformation (vergleiche Fouriertransformation anstelle von Fourierreihe).

Wechseln oder das Vorzeichen auf dem Intervall , so spricht man von einem indefiniten Sturm-Liouville-Problem.

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise und Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Charles-François Sturm: Sur le développement des fonctions ou parties de fonctions en séries dont les divers terms sont assujettis à satisfaire à une même équation différentielle du second ordre contenant un paramètre variable, Journal de mathématiques, 1836, bibnum
  2. Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Vieweg+Teubner 2009 (6. Auflage), Seite 328–338, ISBN 978-3-8348-0705-2
  3. Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Springer-Verlag 2000, Seite 287–290, ISBN 3-540-67642-2