Sturm-Liouville-Problem

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Ein klassisches Sturm-Liouville-Problem (nach Joseph Liouville (1809–1882) und Charles-François Sturm (1736–1813)) ist folgendes Eigenwertproblem aus der Analysis: Man betrachte die Differentialgleichung 2. Ordnung:[1]

wobei Koeffizientenfunktionen sind. Finde alle komplexen Zahlen , für die die Differentialgleichung auf dem Intervall eine Lösung besitzt, die den Randbedingungen

genügt ().

Führt man den linearen Operator der Form

ein, den Sturm-Liouville-Operator, so kann die Eigenwertgleichung mithilfe von Methoden aus der Funktionalanalysis (Spektraltheorie) im Hilbertraum der bezüglich der Gewichtsfunktion quadratintegrierbaren Funktionen behandelt werden.

Ist das Intervall kompakt und sind die Koeffizientenfunktionen integrierbar, so spricht man von einem regulären Sturm-Liouville-Problem. Ist das Intervall unbeschränkt oder sind die Koeffizientenfunktionen nur lokal integrierbar, so spricht man von einem singulären Sturm-Liouville-Problem.

Reguläre Sturm-Liouville-Probleme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Eigenwertgleichung

mit integrierbaren reellen Funktionen , zusammen mit Randbedingungen der Form

nennt man ein reguläres Sturm-Liouville-Problem über dem Intervall , wenn dieses Intervall endlich ist.

Im Fall spricht man von Dirichlet-Randbedingungen und im Fall von Neumann-Randbedingungen.

Für das reguläre Sturm-Liouville-Problem gilt, dass es eine abzählbare Folge von reellen Eigenwerten gibt, die gegen divergiert:

Die Eigenwerte verhalten sich asymptotisch (Weyl Asymptotik) wie

Die zugehörigen Eigenfunktionen bilden eine Orthonormalbasis im Hilbertraum der bezüglich der Gewichtsfunktion quadratintegrierbaren Funktionen.

Oszillationssatz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Sturmsche Oszillationssatz besagt für , wenn :

  • und ,
  • und sowie
  • und divergent sind,

dann ist jede nicht-triviale Lösung oszillatorisch.[2]

Zudem gilt im Falle von Dirichlet-Randbedingungen, dass jede -te Eigenfunktion genau Nullstellen im Intervall hat.

Beweis
Seien ebenso wie nicht-triviale Lösungen der homogenen Differentialgleichung. Mit und wegen ist und somit :

(I).

Dieses lineare Differentialgleichungssystem hat nur dann nicht-triviale Lösungen, wenn für jedes gilt , da sonst und daher sein müsste.

Gesucht sind daher oszillatorische Lösungen, die mittels der Prüfer-Transformation in ebenen Polarkoordinaten erhalten werden:

(II).

Dabei ist und die dazugehörige Argumentfunktion lautet .[3]


Behauptung: Falls , dann haben ebenso wie unendlich viele Nullstellen.

Begründung: Aus (I) und (II) folgt

(III a)

(III b).

Wird die Gleichung (III a) mit und Gleichung (III b) mit multipliziert und addiert, so ergibt sich:

(IV).

ist also monoton wachsend.

Bleibt noch zu zeigen, dass unbeschränkt ist.

Wäre beschränkt, so existierten die Grenzwerte und und es wäre . Insbesondere ist oder .

Sei im Folgenden so groß, dass für alle . Dann liefert Gleichung (IV) nach Integration für alle

einen Widerspruch zur Voraussetzung. ist somit unbeschränkt.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein einfaches Beispiel ist die Differentialgleichung

auf dem Intervall , zusammen mit den Dirichlet-Randbedingungen

Die Eigenwerte sind

,

und die normierten Eigenfunktionen lauten

Die Orthogonalität der Eigenfunktionen ergeben sich unter Verwendung der trigonometrischen Formel zu:

Hierbei bedeutet das Kronecker-Delta.

Mathematische Theorie[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der geeignete mathematische Rahmen ist der Hilbertraum mit dem Skalarprodukt

.

In diesem Raum ist ein selbstadjungierter Operator, wenn er auf der Menge der (im Sinne der schwachen Ableitung) differenzierbaren Funktionen, die die Randbedingungen erfüllen, definiert wird:

Hierbei bezeichnet die Menge der auf absolut stetigen Funktionen. Da ein unbeschränkter Operator ist, betrachtet man die Resolvente

,

wobei kein Eigenwert sein darf. Es stellt sich heraus, dass die Resolvente ein Integraloperator mit stetigem Kern (die Green'sche Funktion des Randwertproblems) ist. Somit ist die Resolvente ein kompakter Operator, und die Existenz einer abzählbaren Folge von Eigenfunktionen folgt aus dem Spektralsatz für kompakte Operatoren.

Der Zusammenhang zwischen den Eigenwerten von und der Resolvente folgt, da äquivalent ist zu mit ist.

Singuläre Sturm-Liouville-Probleme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind obige Bedingungen nicht erfüllt, so spricht man von einem singulären Sturm-Liouville-Problem. Das Spektrum besteht dann im Allgemeinen nicht mehr nur aus Eigenwerten und besitzt auch einen kontinuierlichen Anteil. Es gibt weiterhin verallgemeinerte Eigenfunktionen, und die zugehörige Eigenfunktionsentwicklung ist eine Integraltransformation (vergleiche Fouriertransformation anstelle von Fourierreihe).

Wechseln oder das Vorzeichen, so spricht man von einem indefiniten Sturm-Liouville-Problem.

Anwendung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Walter Oevel: Sturm-Liouville-Probleme. (PDF; 314 kB)

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Charles-François Sturm: Sur le développement des fonctions ou parties de fonctions en séries dont les divers terms sont assujettis à satisfaire à une même équation différentielle du second ordre contenant un paramètre variable, Journal de mathématiques, 1836, bibnum
  2. Harro Heuser: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Vieweg+Teubner 2009 (6.Auflage), Seite 333, ISBN 978-3-8348-0705-2
  3. Wolfgang Walter: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Springer-Verlag 2000, Seite 287-290, ISBN 3540676422