Spline-Interpolation

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Beispiel eines Splines mit 8 Knoten

Bei der Spline-Interpolation versucht man, gegebene Stützstellen, auch Knoten genannt, mit Hilfe stückweiser Polynome niedrigen Grades zu interpolieren. Während das Ergebnis einer Polynominterpolation durch unvorteilhaft festgelegte Stützstellen oft bis zur Unkenntlichkeit oszilliert, liefert die Splineinterpolation brauchbare Kurvenverläufe und Approximationseigenschaften (Rungephänomen). Die Spline-Interpolation lässt sich mit geringem, linearem Aufwand berechnen, liefert aber im Vergleich zur Polynominterpolation eine geringere Konvergenzordnung.

Vorlage für die Splineinterpolation (dritten Grades) ist das traditionelle, biegsame Lineal der Schiffbauer, die Straklatte (englisch Spline). Diese wird an beliebig vielen, vom Konstrukteur vorgegebenen Punkten fixiert und verbindet die Punkte dann durch eine glatte und harmonische Biegelinie. Die Straklatte erzeugt so die Linie durch alle Punkte mit minimaler Biegeenergie und kleinsten Krümmungen. Während bei der Straklatte die Wendestellen (Orte maximaler Linearität und minimaler Biegeenergie) in der Regel zwischen den Stützstellen liegen und die Stützstellen selbst Orte maximaler Krümmung sind (Orte maximaler Kraft durch Fixierung), liegen die Wendestellen bei der Polynomeninterpolation nahe an den Stützstellen, bei der polynomialen Bestapproximation sogar in den Stützstellen.

Die Begriffe Splineinterpolation bzw. Splinefunktion ohne weitere Zusätze bezeichnen immer die Splineinterpolation bzw. Splinefunktion dritten Grades. Beide Begriffe werden zumeist synonym verwendet. Der Begriff Spline wird jedoch zunehmend als Abkürzung für B-Spline, seltener auch für andere splineartige Linien wie die Bézierkurven, benutzt.

Gegebenheiten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gegeben: eine natürliche Zahl und Stützstellen sowie Funktionswerte . Gesucht ist eine stückweise polynomiale Funktion, ein Spline,

mit für , bei der für die Einschränkungen

auf die Teilintervalle Polynome sind.

Linear (einfacher Streckenzug)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die einfachste Methode ist die Verwendung von Geraden zwischen jeweils zwei benachbarten Punkten, die Berechnung eines einfachen Splines als Streckenzug erfolgt auf dieselbe Weise, mit der man auch den Graphen zwischen zwei Punkten ermittelt:

oder auch

Diese „einfachen“ Spline-Polynome können – wie oben angesprochen – sehr ungenau sein. Wesentlich bessere Ergebnisse liefern kubische Spline-Polynome.

Kubisch (Polynome 3. Grades)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei der Verbindung von Punkten mit Polynomen höheren Grades müssen zusätzlich zu den Stützstellen Eigenschaften definiert werden, wie die Polynome ineinander übergehen. Für kubische Splines sind in einer Dimension 4 Koeffizienten zu bestimmen und zwei weitere Bedingungen sind zu definieren.

Der kubische C²-Spline[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

C2 fordert, dass die zusammengesetzte Funktion aus allen Einschränkungen (Teilintervallen) zweimal stetig differenzierbar ist. Dafür wird gefordert, dass die erste und zweite Ableitung der Einschränkungen an den Stützstellen

  und  

für übereinstimmen.

Prinzipiell gilt, dass sich eine Änderung einer Stützstelle stets global auf den gesamten Spline auswirkt, jedoch wird der Einfluss der Änderung mit zunehmender Distanz zu – anders als bei Interpolationspolynomen – stark gedämpft. Kubische Splines neigen daher weniger zum Überschwingen.

Der kubische C2-Spline erfüllt eine Minimalitätseigenschaft der zweiten Ableitung, was ihn gegenüber anderen Interpolationen besonders interessant macht.

Konstruktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es ist ersichtlich, dass die zweite Ableitung von ein linearer Spline ist. Diese kann daher wie oben beschrieben durch folgende Form beschrieben werden:

  mit  

für . sind die sogenannten Momente[1], welche den Werten von an den Stützstellen entsprechen und im Folgenden zu berechnen sind. Durch zweifache Integration und geschickte Umformung entstehen aus diesen Gleichungen Polynome dritten Grades mit zwei weiteren Parametern und der Form:

.

Um die Stetigkeitsbedingungen und zu erfüllen, wählen wir[2]

und .

Mit diesem Ansatz stimmen bereits die nullten und die zweiten Ableitungen der Einschränkungen an den Stützstellen überein. Die Momente sind so zu wählen, dass auch die ersten Ableitungen an den Stützstellen gleich sind. Mit

und

lassen sich folgende Gleichungen aufstellen:

für .

Für und fehlen hier zwei Gleichungen, welche sich aus den Randbedingungen ergeben.

Dieses lineare Gleichungssystem kann auch durch folgende, tridiagonale, streng diagonaldominante Matrix ausgedrückt werden:

Die Werte für die hängen von den Randbedingungen ab.

Zur Lösung kann hier auf den komplizierten Gauss-Algorithmus verzichtet werden und z. B. ein einfacher Vorwärts-Durchlauf zur Elimination der Elemente unter der Hauptdiagonalen mit anschließender Rückwärtssubstitution verwendet werden (Thomas-Algorithmus).

Randbedingungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Prinzipiell gibt es ein Interpolationsintervall weniger als Stützstellen (Zaunpfahlproblem). Das heißt, dass zwei Gleichungen zur Bestimmung aller Koeffizienten fehlen. Diese ergeben sich aus den Randbedingungen. Typische Randbedingungen sind:

  • Natürliche Randbedingungen (auch freier Rand)
Bedingung: ,
Bedeutung: Das Spline schließt mit Wendepunkten ab.
Berechnung: und
  • Hermite Randbedingungen (auch eingespannter Rand)
Bedingung: ,
Bedeutung: und sind vorgegeben, normalerweise entweder durch die Ableitung einer zu interpolierenden Funktion oder durch eine Approximation derselben.
Berechnung:
  • periodische Randbedingungen
Bedingung: Intervall , , ,
Bedeutung: Nullte, erste und zweite Ableitung von am Anfang und am Ende des Intervalls sind gleich.
Berechnung: Es wird eine zusätzliche Stützstelle eingeführt, welche das Intervall begrenzt. Die Anzahl der Gleichungen zur Berechnung der Momente und die Größe der Matrix bleibt jedoch gleich, da bereits gegeben ist, damit die zweiten Ableitungen übereinstimmen. Für die erste- und letzte Zeile der Matrix gilt:
Außerdem sind die Ecken der Matrix abseits der Hauptdiagonalen hier nicht Null:
Die Lösung dieses Systems ist daher komplizierter. Im Falle äquidistanter Stützstellen lässt sich für diesen Fall eine Transformation anwenden.
  • not-a-knot Randbedingungen
Bedingung: ,
Bedeutung: Die äußeren drei Punkte werden je durch ein gemeinsames Polynom interpoliert, was zum Beispiel durch Gleichsetzen der dritten Ableitungen erfolgen kann. Für Splines bis einschließlich vier Stützstellen geht der not-a-knot Spline daher in ein gewöhnliches Interpolationspolynom über. Verwendet wird der not-a-knot-Spline zum Beispiel vom Programm Matlab.
Berechnung: Es gelte . Für die Vorwärtssubstitution wird zunächst die Randbedingung an betrachtet. Hierfür können folgende Werte verwendet werden:
Falls entsteht hier eine Division durch Null und es muss eine Grenzwertbildung bis in die dritte Zeile der Matrix (Null ist hier der Index der ersten Zeile/Spalte) erfolgen:
Gelöst wird nun lediglich die Untermatrix beginnend bei und das Randpolynom auf dem Intervall wird durch eine zusätzliche Polynominterpolation bestimmt, sodass , , , . ist dadurch bereits erfüllt.
Nach dem Vorwärtsdurchlauf zur Elimination der Elemente unter der Diagonalen wird nun die Randbedingung an betrachtet:

Weitere Randbedingungen sind gebräuchlich, wie etwa integrale Randbedingungen[3] oder die im Folgenden vorgestellte, symmetrische Verlängerung.

Optimierung des Rechenaufwands[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei äquidistanten Stützstellen mit konstantem Abstand vereinfacht sich das Gleichungssystem zu

für .

Mit der symmetrischen Verlängerung und entsteht daraus eine sogenannte Tridiagonal-Toeplitz-Matrix, welche besonders effizient, auch parallel gelöst werden kann. Für die rechte Seite kann hier und angesetzt werden. Mit lässt sich schreiben:

Diese hat die Inverse

mit Koeffizienten , die den Gleichungen , , der Rekursion und explizit der Formel

genügen.

Minimalitätseigenschaft der zweiten Ableitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Unter allen zweimal stetig differenzierbaren Funktionen, die alle Stützstellen innerhalb eines Intervalls miteinander verbinden, hat unter Verwendung natürlicher, periodischer oder Hermite-Randbedingungen der kubische Spline die geringste Krümmung: , wobei hier eine beliebige Funktion auf aus C2 ist, die alle Stützstellen schneidet. Anschaulich folgt daraus, dass ein zu volles Glas Wasser, das während einer Zugfahrt auf dem Tisch steht, "am wenigsten überschwappt", wenn der Streckenzug der Schienenführung mithilfe kubischer Splines parametrisiert wurde.

Diese sogenannte Identität von Holladay wurde im Jahr 1957 von Holladay[4] bewiesen. Sei mit der Raum der zweimal differenzierbaren Funktionen bezeichnet, für welche die nullte und erste Ableitung absolutstetig sind und die zweite Ableitung in liegt. Sei nun eine interpolierende Splinefunktion zu einer beliebigen Funktion und die -Norm, so gilt: mit .

Erfüllt die Splinefunktion die natürlichen, periodischen oder vollständigen Randbedingungen, so ist , also:

Damit gilt nun:

Bikubischer C2 Spline[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der bikubische C2-Spline ist die Verallgemeinerung des einfachen, kubischen C2-Splines auf zwei Dimensionen, man spricht hierbei auch von multivariater Interpolation. Dafür müssen die zu interpolierenden Punkte zij in einem rechteckigen Gitter angeordnet sein.[5] Jede zwischen vier Punkten aufgespannte Fläche Aij wird durch ein zweidimensionales Polynom von 16 Koeffizienten charakterisiert:

Für einen zweidimensionalen C2-Spline müssen die Koeffizienten so gewählt werden, dass die aus allen Flächen zusammengesetzte Funktion zweimal stetig in x- und y-Richtung differenzierbar ist. Das heißt, neben S selbst sind die folgenden Ableitungen stetig auf ganz :

Konstruktion[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Veranschaulichung zur Konstruktion eines bikubischen Splines

Es ist ersichtlich, dass jeder Schnitt durch eine Teilfläche parallel zur - oder -Achse eine eindimensionale Kurve liefert, welche durch ein kubisches Polynom von vier Koeffizienten beschrieben werden kann. Daraus folgt, dass die vier Ränder jeder Teilfläche solche Polynome sind. Um die geforderte zweifach stetige Differenzierbarkeit zu erhalten, können zunächst alle Punkte entlang der Gitterlinien eindimensional interpoliert werden. Das bikubische Spline erbt dabei die verwendeten Randbedingungen der eindimensionalen Splines.

Nun stehen zu jedem zweidimensionalen Polynom mit 16 Koeffizienten vier eindimensionale Randpolynome , , , mit je 4 Koeffizienten zur Verfügung. Hierbei kennzeichnet der erste Index der s, zu welcher Achse sie parallel verlaufen.

Um diese Randpolynome zu "zusammenzurechnen" ist ein System von 16 linearen Gleichungen aufzustellen. Vier Gleichungen ergeben sich aus der Forderung, dass S an den Gitterpunkten genau die Werte annimmt:

Weitere vier Gleichungen ergeben sich aus der Ableitung der zur -Achse parallelen Randpolynome nach :

Weitere vier Gleichungen aus der Ableitung der zur -Achse parallelen Randpolynome nach :

Nun ergibt sich das Problem, dass entlang jedem der vier Ränder zwei Punkte und zwei Ableitungen gegeben sind. damit ist ein Polynom von Grad 3 entlang des jeweiligen Randes eigentlich vollständig spezifiziert. Das hinzunehmen z. B. der zweiten Ableitungen an den Eckpunkten oder weiterer Funktionswerte entlang der Randpolynome würde eine lineare Abhängigkeit im Gleichungssystem erzeugen. Mit den gegebenen Gleichungen lassen sich jedoch nur 12 der 16 Koeffizienten bestimmen. Ein nicht linear abhängiges System ergibt sich durch Hinzunahme der gemischten Ableitungen nach x und y. Setzt man diese in den Eckpunkten etwa auf null, so ist nur in den Eckpunkten zweimal stetig differenzierbar. Entlang der Ränder ergeben sich in den zweiten Ableitungen jedoch Sprünge. Aus den Randpolynomen lassen sich die gemischten Ableitungen jedoch nicht direkt berechnen.

Um nun korrekte Werte für diese gemischten Ableitungen zu erhalten, welche auch entlang der Ränder stetige, zweite Ableitungen von liefern, kann wie folgt vorgegangen werden:

  • Entlang der Gitterlinien, welche parallel zur -Achse verlaufen, werden weitere, eindimensionale Splines gebildet
  • Diese interpolieren statt der -Werte die Ableitungen von an deren Schnittpunkten mit den -Gitterlinien
  • Die -Splines können nun nach abgeleitet werden. Daraus ergeben sich die gemischten Ableitungen

Wie beim eindimensionalen C2-Spline wirkt sich auch beim bikubischen Spline eine Änderung in einer Stützstelle (Datenpunkt) generell auf alle Teilflächen aus. Dies veranschaulicht, warum eine Konstruktion alleine aus den Randpolynomen und fehlschlägt: Diese ändern sich nur, wenn ein Datenwert, welcher parallel (in - oder -Richtung) zur betrachteten Teilfläche liegt, geändert wird. In der Abbildung rechts hat eine Änderung von keinen Einfluss auf die 1D-Splines, welche den Rand von bilden. Erst die erneute Interpolation durch erzeugt eine Abhängigkeit zwischen diesem Punkt und der Fläche.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiel Bikubische C2 Interpolation.png

Beispiel für bikubische Interpolation:[6] Ein Datenblock aus 6x6 Werten (links) wird bikubisch interpoliert (mitte). Dabei wurden natürliche Randbedingungen angenommen (die zweite Ableitung auf den Randpunkten ist null). Die Farben zwischen linkem und mittlerem Bild wurden synchronisiert und beschreiben die Funktionswerte ähnlich der Farben auf einer Landkarte zur Illustration der Höhe. Um die Korrektheit der Interpolation zu verdeutlichen, wird rechts die zweite Ableitung gezeigt. Diese besteht aus linearen Funktionen und ist immer noch stetig.

Interpolation mit Formerhaltung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Splines sind aufgrund ihrer Eigenschaften im CAD weit verbreitet. Es stellt sich die Frage, unter welchen Bedingungen eine Spline-Interpolante eine der folgenden formerhaltenden Eigenschaften der zu interpolierenden Funktion erbt:

  • Nichtnegativität: für alle
  • Monotonie: für
  • Konvexität: für alle und

Hier zeigt sich, dass klassische Splines etwas schlechtere Eigenschaften haben als Bézierkurven. Zunächst stellt sich die Frage, wann ein interpolierender Spline konvex ist.

Für klassische Splines gilt, dass die Menge möglicher Splines auf dem Intervall zum Gitter ein endlichdimensionaler Vektorraum ist. Für die Interpolation werden (nicht notwendig mit dem Gitter zusammenfallenden) Knoten und zugehörige Ordinaten vorgegeben und gefordert, dass der Spline stetig differenzierbar in ist und darüber hinaus für gilt. Fordert man zusätzlich die Konvexität des interpolierenden Splines und geringe technische Annahmen, so stellt man fest, dass die Menge aller Ordinatentupel , für die ein solcher Spline existiert, abgeschlossen ist.[7]

Das hat weitreichende Konsequenzen. ist eine echte Teilmenge des , falls , da die Eingangsdaten nicht in konvexer Lage zu sein brauchen. Bei Vorgabe eines Tupels auf dem Rand von kann infolge Rechenungenauigkeiten oder anderer Störungen die Menge verlassen worden sein, so dass trotz Lösbarkeit des Ausgangsproblems keine Lösung gefunden wird. Die andere Folgerung des Satzes ist noch schlimmer. Dazu seien fünf Punkte in Form des Zeichens „“ so angeordnet, dass der mittlere Punkt genau auf der Spitze liegt. Die einzige konvexe Interpolierende ist dann die Betragsfunktion, und diese ist nicht stetig differenzierbar. Also gehört das 5-Tupel zum Komplement von , und dieses ist offen. Somit gibt es eine Umgebung des 5-Tupels, in der es ebenfalls keine konvexe, stetig differenzierbare Interpolierende gibt. Verschiebt man den mittleren Punkt geringfügig nach oben, ohne die Umgebung zu verlassen, dann erhält man folglich fünf Punkte in streng konvexer Lage, zu denen dennoch die Interpolationsaufgabe keine Lösung besitzt. Da dieser Effekt bei Vorgabe vieler Interpolationspunkte zunimmt, bleibt nur ein Ausweg, die Lösbarkeit für Eingangsdaten in streng konvexer Lage zu gewährleisten, nämlich die Voraussetzungen des Satzes zu verletzen. Die Menge, aus der die Splines entnommen werden dürfen, soll kein endlichdimensionaler Vektorraum sein. Dafür bieten sich u. a. an:

  • (gebrochen-)rationale Splines
  • Splines mit frei wählbaren Zwischenknoten
  • Exponentialsplines
  • lakunäre (lückenhafte) Splines

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Stoer, Bulirsch: Numerische Mathematik 1. 10. Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York 2007, ISBN 978-3-540-45389-5, 2.5 Spline-Interpolation, S. 112–148 (mit Beispielen, Beweisen, Übungsaufgaben und umfangreichen Angaben zu weiterer speziellerer Literatur).

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Robert Plato: Numerische Mathematik kompakt, 4. Auflage, Seite 27, Bemerkung 2.11
  2. Josef Stoer: Numerische Mathematik 1, 9. Auflage, Abschnitt 2.4.2, Seite 109
  3. Lebesgue and Birkhoff: Handbook of Splines, Abschnitt 1.9, Seite 56
  4. John C. Holladay, 1928–1986. http://texts.cdlib.org/view?docId=hb767nb3z6&doc.view=frames&chunk.id=div00051&toc.depth=1&toc.id=
  5. Lebesgue and Birkhoff: Handbook of Splines, Abschnitt 2.2, Seite 82
  6. Die Beispielinterpolation wurde erstellt mit: Programm Numeric Collection von Mitja Stachowiak
  7. Jochen W. Schmidt: Staircase Algorithm and Construction of Convex Spline Interpolants up to the Continuity Computers and Mathematics with Applications, Volume 31, Number 4, February 1995, pp. 67–79.