Bézierkurve

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Die Bézierkurve [be'zje…] ist eine parametrisch modellierte Kurve, die ein wichtiges Werkzeug bei der Beschreibung von Freiformkurven und -flächen darstellt.

In der Computergrafik finden Bézierkurven wegen ihrer optischen Eleganz und der verhältnismäßig leichten mathematischen Handhabbarkeit häufig Anwendung. Sie werden zur Definition von Kurven und Flächen in Vektorgrafiken genutzt. Mögliche Anwendungsfälle finden sich z. B. im Computer Aided Design, bei der Erstellung von Illustrationen (siehe z. B. SVG) oder der Beschreibung von Schrifttypen (z. B. Postscript, Type1, TrueType und CFF-OpenType)

Die Bézierkurve wurde Anfang der 1960er Jahre unabhängig voneinander von Pierre Bézier bei Renault und Paul de Casteljau bei Citroën für Computer-Aided Design (computerunterstützte Konstruktion) entwickelt. Paul de Casteljau gelang zwar die Entdeckung früher, Citroën hielt seine Forschungen jedoch bis zum Ende der 1960er Jahre als Betriebsgeheimnis zurück.

Kubische Bézierkurve

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konstruktion einer kubischen Bézierkurve

Eine Bézierkurve -ten Grades zu gegebenen Kontroll- oder Bézierpunkten , die das so genannte Kontrollpolygon bilden, ist für definiert als

wobei

das i-te Bernsteinpolynom n-ten Grades ist. Diese bilden eine Basis des Vektorraums der Polynome und erfüllen die Rekursionsformel

mit für oder , sowie . Dies erlaubt eine numerisch stabile rekursive Berechnung der Werte einer Bézierkurve mit Hilfe des De-Casteljau-Algorithmus:

Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bézierkurven der Grade 1, 2 und 3 (rot) und die zugehörigen Kontrollpolygone (grau). Von links nach rechts wurde jeweils ein weiterer Kontrollpunkt (blau) hinzu­gefügt. Man erkennt, wie die Kurve bei Einfügen/Verändern eines Kontrollpunkts „oszilliert“, d. h., ihre Richtung und Krümmung verändert.
  • Die Kurve geht genau durch die Endpunkte und :
  • Die Tangenten in den Endpunkten verlaufen entlang der Kanten bzw. des Kontrollpolygons:
  • Die ersten Summanden des Taylorpolynoms bei bzw. bei lauten für :
  • Eine Gerade schneidet eine Bézierkurve höchstens so oft, wie sie ihr Kontrollpolygon schneidet (die Kurve ist variationsreduzierend, bzw. hat eine beschränkte Schwankung).
  • Eine affine Transformation (Verschiebung, Skalierung, Rotation, Scherung) kann auf die Bézierkurve durch Transformation des Kontrollpolygons angewendet werden („affine Invarianz“).
  • Liegen alle Kontrollpunkte auf einer Geraden, so wird die Bézierkurve zu einer Strecke (Vorteil gegenüber der Polynominterpolation).
  • Der Einfluss eines Kontrollpunktes auf die Kurve ist global. Das heißt: Verschiebt man einen Punkt, verändert sich die gesamte Kurve. Daher verwendet man in der Praxis meist Splines, zusammengesetzte Kurven festen Grades, die stetig ineinander übergehen.
  • Eine Bézierkurve kann immer in zwei Bézierkurven gleicher Ordnung geteilt werden, wobei sich die neuen Kontrollpunkte aus den vorherigen Stützpunkten ergeben. Dabei ist der Trennungspunkt vom Parameter abhängig. Aus der Abbildung für die Konstruktion einer Bézierkurve ist ersichtlich, dass sich die neue erste Kurve aus den Kontrollpunkten zusammensetzt, während die zweite Kurve aus den Punkten besteht. Diese Eigenschaft kann genutzt werden, um eine Kurve rekursiv mit Hilfe des De-Casteljau-Algorithmus durch Geraden anzunähern.

Als verallgemeinerte Form der Bézierkurve kann die Bézierfläche gesehen werden. Eine Bézierfläche -ter Ordnung ist eine Fläche der Form

mit den Kontrollpunkten und den Bernsteinpolynomen und .

Eine Bézierfläche kann also durch zwei zueinander orthogonale Bézierkurven beschrieben werden.

Bézierkurven bis zum dritten Grad[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konstruktion einer linearen Bézierkurven

Lineare Bézierkurven (n=1)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zwei Kontrollpunkte und bestimmen eine gerade Strecke zwischen diesen beiden Punkten. Der Verlauf dieser linearen Bézier„kurve“ wird angegeben durch

Quadratische Bézierkurven (n=2)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konstruktion einer quadratischen Bézierkurven

Eine quadratische Bézierkurve ist der Pfad, der durch die Funktion für die Punkte , und verfolgt wird:

Mit Hilfe des De-Casteljau-Algorithmus ausgedrückt:

Die Strecken und sind die Kanten des Kontrollpolygons (graue Linien in nebenstehender Animation). Die Kurvenschar mit entspricht den grünen Linien in der Animation. Die Auswertung an den Stellen mit gibt den Verlauf der Bézierkurve an: .

Kubische Bézierkurven (n=3)[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Konstruktion einer kubischen Bézierkurven

Kubische Bézierkurven sind in der Praxis von großer Bedeutung, da sowohl B-Spline-Kurven als auch NURBS stückweise in kubische Bézierkurven umgewandelt werden, um dann effizient mit dem De-Casteljau-Algorithmus gezeichnet zu werden. Selbiges gilt für hermitesche Splines, die in ihrer kubischen Form vor allem in der Computeranimation zur Interpolation zwischen Keyframes verwendet werden.

Vier Punkte (, , und ) bestimmen eine kubische Bézierkurve. Die Kurve beginnt bei und geht in Richtung und dann aus Richtung zu . Im Allgemeinen geht die Kurve nicht durch und – diese Punkte dienen nur der Richtungsangabe, wobei die Richtung bestimmt, in welche die Kurve in geht. legt die Richtung fest, aus welcher die Kurve zu geht. Der Abstand zwischen und und der Abstand von und bestimmen, „wie weit“ sich die Kurve in Richtung der Kontrollpunkte und bewegt, bevor sie in Richtung läuft.

Mit Hilfe des De-Casteljau-Algorithmus ausgedrückt:

Die Strecken und sowie sind die Kanten des Kontrollpolygons (graue Linien in nebenstehender Animation). Die beiden Kurvenscharen und mit entsprechen den grünen Linien in der Animation.

Die Kurvenschar mit entspricht den blauen Linien in der Animation. Die Auswertung an den Stellen mit gibt den Verlauf der Bézierkurve an: .

Kubische Darstellung quadratischer Bézierkurven[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Wählt man die mittleren Bézierpunkte und einer kubischen Bézierkurve wie folgt

erhält man eine Kurve, die exakt der quadratischen Bézierkurve mit den Punkten , und entspricht:

Damit lassen sich auch dann quadratische Bézierkurven darstellen, falls ein Vektorzeichenprogramm (z. B. Inkscape) bzw. eine Grafikbibliothek (z. B. Cairo) nur kubische unterstützt.

Anwendung: Kreisapproximation durch kubische Bézierkurven[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kreise bzw. Kreisbögen lassen sich durch Bézierkurven nicht exakt, sondern nur genähert darstellen. Eine solche Näherung ist z. B. für die Gestaltung einer Typ-1-PostScript-Schrift nötig, da hier nur Strecken und Bézierkurven dritten Grades erlaubt sind. (Jedoch verläuft auch für größere keine Bézierkurve -ten Grades in einem noch so kleinen Kreisbogen mit Radius zum Mittelpunkt , denn liegt genau dann auf dem Kreisbogen, wenn Nullstelle der Polynomfunktion vom Grad ist, was höchstens Male vorkommt – vgl. Fehleranalyse.)

Teilt man einen Kreis in nur zwei (gleich große) Segmente und nähert die Halbkreise durch kubische Bézierkurven, zeigen sich größere Abweichung von der Kreisgestalt. Durch eine feinere Unterteilung in mehr Segmente lässt sich ein Kreis besser nähern. Je geringer der überstrichene Winkelbereich des Kreissegments ist, desto genauer ist die Näherung durch die Bézierkurve. Eine oft verwendete, einfache Realisierung eines Kreises verwendet vier Viertelkreisbögen, die als kubische Bézierkurven dargestellt werden. Um die Verbesserung der Näherung durch Verfeinerung der Unterteilung zu demonstrieren, werden in der Folge die Fehler der Halbkreisapproximation und der Viertelkreisapproximation miteinander verglichen.

Notation: Wir untersuchen Approximationen eines Kreises mit folgenden Parametern:

  • ist der Radius von
  • ist der Mittelpunkt von
  • die Kontrollpunkte und liegen vom Mittelpunkt im Abstand entfernt (also auf der Kreislinie von )
  • ist eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 ( entspräche einer quadratischen Bézierapproximation).

Die zusätzlichen Kontrollpunkte und werden so gewählt, dass zu und zu den Abstand hat.

Beispielkoordinaten Viertelkreis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Als einfaches Beispiel einer Viertelkreisapproximation wählen wir:

  • den Mittelpunkt des Kreises als ,
  • den Kontrollpunkt auf der Kreislinie als ,
  • den Kontrollpunkt auf der Kreislinie als – die Strecke steht also senkrecht auf , so dass beide Strecken einen Viertelkreissektor bilden –,
  • den Kontrollpunkt als (auf der Strecke ),
  • den Kontrollpunkt als (auf der Strecke ).

Die vier Kontrollpunkte liegen also auf dem Rand des Quadrats mit den Eckpunkten , , und . Dies gewährleistet immerhin, dass die Näherungskurve und die Kreislinie in und dieselbe Tangente haben. So ist auch die aus den Viertelkreisapproximationen zusammengesetzte Kurve in den Knotenpunkten „glatt“.

Die kubische Bézierkurve () hat mit diesen Kontrollpunkten folgende Form:

Eine recht gute Approximation des oberen rechten Viertelkreisbogens erhält man mit , wie die nachfolgende Betrachtung zeigt.

Fehleranalyse[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Abweichung der gerade angegebenen Bézierkurve vom darzustellenden Kreis lässt sich folgendermaßen quantifizieren:

Ein Punkt der Bézierkurve liegt genau dann auf der vorgegebenen Kreislinie mit Radius um den Mittelpunkt , wenn („Koordinatengleichung“) gilt. Definiert man

so ist das äquivalent zu . ist ein Maß für die Abweichung der Approximation von der Kreisgestalt.

Fordert man dann die Übereinstimmung der Bézierkurve mit dem Kreis bei der Winkelhalbierenden, erhält man

Der Fehler ist Null bei , sonst überall positiv, d. h. die Bézierkurve liegt stets auf oder außerhalb des Kreisbogens. Der maximale Fehler beträgt bei und bei .

Fordert man, dass die aufsummierten Fehler über die gesamte Kurve verschwinden ( kann sowohl positiv als auch negativ sein – die Bézierkurve verläuft teils außerhalb, teils innerhalb der Kreislinie – und das Integral darüber kann Null ergeben), erhält man

Die größten Abweichungen liegen bei etwa und bei . Beide Approximationen sind somit für viele Anwendungsbereiche ausreichend.

Beispielkoordinaten Halbkreis[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei einer Halbkreisnäherung mit , , , und , mit beträgt die maximale Abweichung . Dies ist bzgl. der maximalen Abweichung etwa 50 mal schlechter als die Viertelkreisapproximation.

Gebrochenrationale Bézierkurve[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Gebrochenrationale Bezierkurve dritten Grades mit unterschiedlicher Gewichtung der Kontrollpunkte

Gebrochenrationale Bézierkurven können vereinfacht als Bézierkurven betrachtet werden, deren Kontrollpunkte mit Gewichten/Anziehungskräften versehen sind und die damit den Kurvenverlauf in ihre Richtung hin beeinflussen.

Dazu stellt man die Bézierkurve mittels homogener Koordinaten im projektiven Raum dar.

Die Bezeichnung als gebrochenrationale Bézierkurven ergibt sich aus der Rücktransformation (Dehomogenisierung oder Projektion) in den Ursprungsraum, was praktisch durch das Teilen der zusätzlichen Komponente erfolgt.

Genese[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Nach der Transformation in den projektiven Raum wird die Kurve nach dem normalen Bildungsgesetz erzeugt und anschließend wieder in den Ursprungsraum zurück transformiert.

Projektiver Raum und homogene Koordinaten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Transformation der Kontrollpunkte in den projektiven Raum mittels ihrer Gewichte verändert im Allgemeinen (also wenn nicht alle Gewichte gleich 1 sind) die Lage der Kontrollpunkte zueinander, verzerrt also das Kontrollpolygon. Diese Verzerrung wirkt sich nun so aus, dass die Kurve sich in der zurücktransformierten Darstellung den Punkten mit höherer Gewichtung stärker nähert.

Veranschaulichen kann man sich dies, indem man zunächst eine 2-dimensionale Bézierkurve im 3-dimensionalen Raum (projektiver Raum) in der Ebene (Ursprungsraum) zeichnet. Wobei die -Komponente die zusätzliche homogene Komponente darstellen soll.

Demnach sind die Gewichte zu setzen. Fasst man die homogenen Kontrollpunkte als Ortsvektoren des projektiven Raums auf, so entfernen sich diese mit zunehmenden Gewichten vom Ursprung. Die Bézierkurve verlässt also die Ebene und wird 3-dimensional. Eine Rücktransformation auf die Projektionsebene führt zu einer, zu den stärker gewichteten Kontrollpunkten hingezogenen, rationalen Bézierkurve.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Vier Stützpunkte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Mehr als vier Stützpunkte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Gerald Farin: Curves and Surfaces for CAGD. A practical guide. 5. Aufl. Academic Press, San Diego 2002, ISBN 1-55860-737-4
  • David Salomon: Curves and Surfaces for Computer Graphics. Springer Science+Business Media, Inc., 2006, ISBN 0-387-24196-5
  • Boaswan Dzung Wong: Bézierkurven: gezeichnet und gerechnet. Orell Füssli Verlag, Zürich 2003, ISBN 3-280-04021-3
  • Wolfgang Boehm, Gerald Farin, Jürgen Kahmann: A survey of curve and surface methods in CAGD, Comput. Aided Geom. Des. 1, S. 1-60, 1984