Bézier-Kurve 3. Grades und ihr Kontrollpolygon
Bézierkurven der Grade 1, 2 und 3 (rot) und die zugehörigen Kontrollpolygone (grau). Von links nach rechts wurde jeweils ein weiterer Kontrollpunkt (blau) hinzugefügt. Man erkennt, wie die Kurve bei Einfügen/Verändern eines Kontrollpunkts ihre Richtung und/oder Krümmung variiert.
Die Bézierkurve [be'zje…] ist eine parametrisch modellierte Kurve, die ein wichtiges Werkzeug bei der Beschreibung von Freiformkurven und -flächen darstellt.
In der Computergrafik finden Bézierkurven wegen ihrer optischen Eleganz und der verhältnismäßig leichten mathematischen Handhabbarkeit häufig Anwendung. Sie werden zur Definition von Kurven und Flächen in Vektorgrafiken genutzt. Mögliche Anwendungsfälle finden sich z. B. im Computer Aided Design, bei der Erstellung von Illustrationen (siehe z. B. SVG) oder der Beschreibung von Schrifttypen (z. B. Postscript, Type1, TrueType und CFF-OpenType).
Die Bézierkurve wurde Anfang der 1960er Jahre unabhängig voneinander von Pierre Bézier bei Renault und Paul de Casteljau bei Citroën für Computer-Aided Design (computerunterstützte Konstruktion) entwickelt. Paul de Casteljau gelang zwar die Entdeckung früher, Citroën hielt seine Forschungen jedoch bis zum Ende der 1960er Jahre als Betriebsgeheimnis zurück.
Verallgemeinerungen des Konzepts der Bézierkurven führen zu den Bézierflächen.
Numerisch einfache Kurven in der Ebene sind solche, die mit Hilfe
einer Parameterdarstellung
beschrieben werden,
wobei
und
Polynome in
sind.
Ist
,

und setzt man
, so lässt sich die Kurve übersichtlicher durch

beschreiben.
Im Allgemeinen lässt sich direkt aus den Koeffizienten-Punkten
nur wenig über den Kurvenverlauf aussagen. Lediglich
(Anfangspunkt der Kurve) und
(Tangentialvektor der Kurve an
) haben konkrete geometrische Bedeutungen. Dies ändert sich, wenn man die Polynome
nicht in der Monom-Basis
, sondern in der folgenden Bernsteinbasis
darstellt:
Es sei nun
festgewählt und die Vektoren
beschreiben ein ebenes oder räumliches Polygon. Dann heißt die Darstellung
eine Bezierkurve[1][2] vom (maximalen) Grad
. Die Punkte
nennt man Kontrollpunkte der Bezierkurve.
Eigenschaften der Bernsteinpolynome:

für
für 
- Das Bernsteinpolynom
hat genau ein Maximum und zwar an der Stelle
D. h. eine leichte Veränderung des Punktes
hat nur in der Umgebung von
eine wesentliche Veränderung der Kurve zur Folge.
Eigenschaften einer Bézierkurve:
ist der Anfangs-,
der Endpunkt
ist die Richtung der Tangente im Punkt
ist die Richtung der Tangente im Punkt 
- Das Polygon
gibt einen ungefähren Verlauf der Kurve an.
Für Untersuchungen von Bezierkurven sind die folgenden Eigenschaften[3] nützlich:
- Beziehung zwischen der Bernstein- und der Monom-Basis
- (MB)

- Rekursion
- (R)

- Skalierung
- (S)

- Ableitung
- (A)

- (Man beachte, dass
ist.)
- Produkt
- (P)

In der Literatur[4] werden noch weitere Eigenschaften einer Bézierkurve aufgelistet:
![{\displaystyle 1=\sum _{i=0}^{n}B_{i}^{n}(t)\quad t\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04b7d3ff682eb0412bf1ebba28284ada72636bbf)
- Die ersten Summanden des Taylorpolynoms bei
bzw. bei
lauten für
:


- Eine Gerade schneidet eine Bézierkurve höchstens so oft, wie sie ihr Kontrollpolygon schneidet (die Kurve ist variationsreduzierend, bzw. hat eine beschränkte Schwankung).
- Eine affine Transformation (Verschiebung, Skalierung, Rotation, Scherung) kann auf die Bézierkurve durch Transformation des Kontrollpolygons angewendet werden („affine Invarianz“).
- Liegen alle Kontrollpunkte auf einer Geraden, so wird die Bézierkurve zu einer Strecke (Vorteil gegenüber der Polynominterpolation).
- Der Einfluss eines Kontrollpunktes auf die Kurve ist global. Das heißt: Verschiebt man einen Punkt, verändert sich die gesamte Kurve. Daher verwendet man in der Praxis meist Splines, zusammengesetzte Kurven festen Grades, die stetig ineinander übergehen.
- Eine Bézierkurve kann immer in zwei Bézierkurven gleicher Ordnung geteilt werden, wobei sich die neuen Kontrollpunkte aus den alten mit Hilfe des De-Casteljau-Algorithmus ergeben (s. Abschnitt Teilung einer Bézierkurve).
Höhere Potenzen von
auszurechnen ist numerisch instabil. Der folgende Algorithmus führt deshalb die Berechnung eines Kurvenpunktes auf wiederholte lineare Interpolation zurück. In jedem Schritt wird mittels linearer Interpolation ein neues um 1 kürzeres Polygon berechnet (s. Bild). Bei der letzten Interpolation entsteht schließlich der Kurvenpunkt:
De-Casteljau-Algorithmus für eine Bezier-Kurve 3. Grades
Für das Polygon
im
(oder
) und einem
definiert man rekursiv für jedes
das Polygon
erzeugt. Dabei sei
.
Das Polygon der Stufe
ist identisch mit dem Ausgangspolygon, das Polygon der Stufe
ist ein Punkt, der Kurvenpunkt.
Aus der Rekursionseigenschaft (R) der Bernsteinpolynome folgt

- für

(Beweis mit Hilfe vollständiger Induktion über r.)
Also ist

die Bezierkurve mit dem Kontrollpolygon
.
Diese Methode, einen Punkt der Bezierkurve durch lineare Interpolationen
zu bestimmen, heißt De-Casteljau-Algorithmus.
Wie für ein
mit Hilfe des Casteljau-Algorithmus aus dem Kontrollpolygon die Zwischenpolygone und schließlich der Punkt der Bezierkurve entsteht, zeigt die Abbildung für
. Die neuen Punkte teilen immer die alten Strecken, auf denen sie liegen, im gleichen Verhältnis
.
Lineare Bézierkurven (n=1):
Zwei Kontrollpunkte
und
bestimmen eine gerade Strecke zwischen diesen beiden Punkten. Der Verlauf dieser linearen Bézier„kurve“ wird beschrieben durch
![{\displaystyle {\bf {b}}(t)=\ (1-t){\bf {b_{0}}}+t{\bf {b}}_{1}{\mbox{ , }}\ t\in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50973dcbbbd628be4cdccb045725ac64c7d9d0a2)
Quadratische Bézierkurven (n=2):
quadratische Bézierkurve mit Casteljau-Algorithmus
Eine quadratische Bézierkurve ist der Pfad, der durch die Funktion
für die Punkte
,
und
beschrieben wird:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\bf {b}}(t)\ &=\ \sum _{i=0}^{2}{\binom {2}{i}}t^{i}(1-t)^{2-i}{\bf {b}}_{i}\\\ &=\ (1-t)^{2}{\bf {b}}_{0}+2t(1-t){\bf {b}}_{1}+t^{2}{\bf {b}}_{2}\\\ &=\ ({\bf {b}}_{0}-2{\bf {b}}_{1}+{\bf {b}}_{2})t^{2}+(-2{\bf {b}}_{0}+2{\bf {b}}_{1})t+{\bf {b}}_{0}{\mbox{ , }}\ t\in [0,1]\ .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81ef87b2368fd86807771b2b59a2cda38dec657e)
Die letzte Zeile zeigt: Eine quadratische Bézierkurve ist eine Parabel.
Mit Hilfe des De-Casteljau-Algorithmus ausgedrückt:
![{\displaystyle {\bf {b}}_{0}^{2}(t)=(1-t)\underbrace {{\Bigl [}(1-t)\overbrace {{\bf {b}}_{0}} ^{{\bf {b}}_{0}^{0}}+t\overbrace {{\bf {b}}_{1}} ^{{\bf {b}}_{1}^{0}}{\Bigr ]}} _{{\bf {b}}_{0}^{1}(t)}+t\underbrace {{\Bigl [}(1-t)\overbrace {{\bf {b}}_{1}} ^{{\bf {b}}_{1}^{0}}+t\overbrace {{\bf {b}}_{2}} ^{{\bf {b}}_{2}^{0}}{\Bigr ]}} _{{\bf {b}}_{1}^{1}(t)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1d4137d18e5a8238a2a64d3cc29ad7befb12c14e)
Kubische Bézierkurven (n=3):
kubische Bézierkurve mit Casteljau-Algorithmus
Kubische Bézierkurven sind in der Praxis von großer Bedeutung, da sowohl B-Spline-Kurven als auch NURBS stückweise in kubische Bézierkurven umgewandelt werden, um dann effizient mit dem De-Casteljau-Algorithmus gezeichnet zu werden. Selbiges gilt für hermitesche Splines, die in ihrer kubischen Form vor allem in der Computeranimation zur Interpolation zwischen Keyframes verwendet werden.
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\bf {b}}(t)\ &=\ \sum _{i=0}^{3}{\binom {3}{i}}t^{i}(1-t)^{3-i}{\bf {b}}_{i}\\&=\ (1-t)^{3}{\bf {b}}_{0}+3t(1-t)^{2}{\bf {b}}_{1}+3t^{2}(1-t){\bf {b}}_{2}+t^{3}{\bf {b}}_{3}\\&=\ (-{\bf {b}}_{0}+3{\bf {b}}_{1}-3{\bf {b}}_{2}+{\bf {b}}_{3})t^{3}+(3{\bf {b}}_{0}-6{\bf {b}}_{1}+3{\bf {b}}_{2})t^{2}+(-3{\bf {b}}_{0}+3{\bf {b}}_{1})t+{\bf {b}}_{0}\ ,\ t\in [0,1]\ .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08105a53761156b98a5aa9eb15786cc29066f831)
Mit Hilfe des De-Casteljau-Algorithmus ausgedrückt:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\bf {b}}_{0}^{3}(t)=(1-t)&\underbrace {{\Bigl \{}(1-t)\overbrace {{\bigl [}(1-t){\bf {b}}_{0}+t{\bf {b}}_{1}{\bigr ]}} ^{{\bf {b}}_{0}^{1}(t)}+t\overbrace {{\bigl [}(1-t){\bf {b}}_{1}+t{\bf {b}}_{2}{\bigr ]}} ^{{\bf {b}}_{1}^{1}(t)}{\Bigr \}}} _{{\bf {b}}_{0}^{2}(t)}+\\t&\underbrace {{\Bigl \{}(1-t)\overbrace {{\bigl [}(1-t){\bf {b}}_{1}+t{\bf {b}}_{2}{\bigr ]}} ^{{\bf {b}}_{1}^{1}(t)}+t\overbrace {{\bigl [}(1-t){\bf {b}}_{2}+t{\bf {b}}_{3}{\bigr ]}} ^{{\bf {b}}_{2}^{1}(t)}{\Bigr \}}} _{{\bf {b}}_{1}^{2}(t)}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/658946b14c57c352136b17ce80fde31f79b5373d)
Vergleich zwischen Kurvendarstellungen
Polynomiale Kurven (d. h. die Koordinaten sind Polynome bzgl.
) lassen sich in der Monom-Basis, der Bernsteinbasis und mit Hilfe des De-Casteljau-Algorithmus (fortgesetzte lineare Interpolation) beschreiben. Da die Koeffizientenpunkte der Monom-Basis nicht viel über den Kurvenverlauf aussagen, entstanden die Darstellungen mit der Bernstein-Basis (Bezier-Kurven) und mit dem De-Casteljau-Algorithmus. Die letzten beiden haben allerdings auch Vor- und Nachteile. Der De-Casteljau-Algorithmus hat gegenüber der Bezierdarstellung bei der Berechnung der Punkte (Numerik) Vorteile. Bezierkurven lassen sich dafür durch die vielen formalen Eigenschaften (s. o.) der Bernstein-Polynome leichter theoretisch (z. B. Krümmung) untersuchen. Der numerische Nachteil der Bezier-Kurven (Auswertung der Bernstein-Polynome) lässt sich durch eine dem Horner-Schema ähnlichen Methode ausgleichen:[5]
function bezier_comp(degree: integer; coeff : r_array; t: real) : real;
{Berechnet eine Komponente einer Bezier-Kurve. (Aus FARIN: Curves and Surfaces...)}
var i,n_choose_i : integer; fact,t1,aux : real;
begin
t1:= 1-t; fact:=1; n_choose_i:= 1;
aux:= coeff[0]*t1;
for i:= 1 to degree-1 do
begin
fact:= fact*t;
n_choose_i:= n_choose_i*(degree-i+1) div i;
aux:= (aux + fact*n_choose_i*coeff[i])*t1;
end;
aux:= aux + fact*t*coeff[degree] ;
bezier_comp:= aux;
end; {bezier_comp}
Mit Hilfe der Ableitungen der Bernsteinpolynome
ergibt sich für die 1. Ableitung der Bézierkurve
:

Lässt man die Tangentenvektoren alle im Nullpunkt des Koordinatensystems
beginnen, so beschreiben sie eine weitere Bézierkurve mit den
Kontrollpunkten
.
Speziell gilt:
und 
Um höhere Ableitungen übersichtlich schreiben zu können, führt man
folgenden Differenzenoperator ein:[6]

Es ist

Die
-te Ableitung der Bézierkurve
lässt sich jetzt wie folgt schreiben:

Speziell für
und
erhält man
und 
Eine wichtige Manipulation der Darstellung einer vorgegebenen Bézierkurve ist die sog. Graderhöhung. Sie ist vergleichbar mit dem Anfügen von Termen
an ein Polynom
. Dabei ändert sich das Polynom nicht und der
(scheinbare) Grad wird erhöht. Analog stellt man eine fest vorgegebene Bézierkurve
in der Form
mit geeigneten neuen Kontrollpunkten
dar.
Um die neuen Kontrollpunkte zu bestimmen, multipliziert man die ursprüngliche Darstellung mit dem Faktor
:

Die neuen Kontrollpunkte sind also:[7]

Graderhöhungen einer Bezier-Kurve:
Kontrollpolygone bei ein-, zwei- und 10-maliger Graderhöhung}
Wesentliche Eigenschaften der Graderhöhung sind:
- Wiederholte Graderhöhung führt zu einer Approximation der Bézierkurve durch das Kontrollpolygon.
- Die größere Anzahl von Kontrollpunkten bietet mehr Freiheitsgrade, die Kurve zu verändern.
- Mehrere Bézierkurven lassen sich auf einen einheitlichen Grad bringen. Dies ist wichtig bei Tensorprodukt-Bézierflächen.
- Damit lassen sich auch dann quadratische Bézierkurven als kubische darstellen, falls ein Vektorzeichenprogramm (z. B. Inkscape) bzw. eine Grafikbibliothek (z. B. Cairo) nur kubische unterstützt.
Zerlegung einer Bezierkurve
Eine Bezierkurve
ist normalerweise definiert für
.
Sei nun
. Dann ist
mit
ein Teil der gegebenen Bézierkurve. Es soll nun die Teilkurve
als
Bézierkurve
mit
vom (selben) Grad
mit geeigneten Kontrollpunkten
dargestellt werden. Setzt man
, so muss die folgende Gleichung erfüllt sein:
für ![{\displaystyle \quad t\in [0,c]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2371062c134cb2c4836c6c28410c494e35cb626)
Dies gilt für[8][9]
(s. Casteljau-Alg. und Abbildung)
Denn
wegen 

(s. Eigensch. (S) der Bernst.-Pol.)
Der restliche Bogen ist die Bézierkurve
mit den Kontrollpunkten
(s. Abbildung)
Bézierkurven sind parametrisierte Kurven, deren Parameterdarstellungen nur Polynome verwenden. Leider lassen sich so wichtige und geometrisch einfache Kurven wie Kreise nicht durch polynomiale Parameterdarstellungen beschreiben. Dieser Nachteil ist u. a. das Motiv für die Erweiterung
der als Parameterfunktionen zulässigen Funktionen auf rationale Funktionen.
Denn jeder Kegelschnitt hat eine rationale Darstellung. Da eine Kurve mit einer rationalen Darstellung

wobei die Funktionen
und
Polynome sind, in homogenen Koordinaten
die polynomiale Darstellung

besitzt, lassen sich ebene Kurven mit rationalen Koeffizientenfunktionen als
Zentralprojektion einer Bézierkurve im
auf die Einbettungsebene
auffassen.
Die analoge Aussage gilt für Kurven im
. Sie lassen sich als Zentralprojektion einer Bézierkurve im
auf den Einbettungsraum
auffassen. Damit lassen sich die Vorteile
der Bézier-Darstellung einer polynomialen Kurve auch für rationale
Kurven nutzen.
Rationale Bezierkurve (rot) als Projektion einer gewöhnlichen räumlichen Bezierkurve (blau). Die Kontrollpunkte

sind alle
eigentlich, da keiner der Kontrollpunkte

in der

-

-Ebene liegt.
Es sei nun
festgewählt und die Vektoren
beschreiben ein Polygon im
. Dann ist

eine (räumliche) Bézier-Kurve vom Grad
. Die Punkte
sind die Kontrollpunkte der (räumlichen) Bézierkurve.
Fasst man die 1-dimensionalen Unterräume

als Punkte der reellen projektiven Ebene mit der Ferngerade
auf, so bezeichnet man den affinen Anteil (Projektion vom Nullpunkt aus auf die Ebene
) dieser projektiven Kurve als rationale Bézierkurve.
Die Kontrollpunkte der Bézierkurve im
lassen sich folgendermaßen beschreiben:
falls
nicht auf der Ferngerade
und
falls
auf der Ferngerade liegt.
Beim Übergang zu inhomogenen Koordinaten wird ein Kontrollpunkt
entweder auf den affinen Punkt
oder auf den Fernpunkt
in Richtung
abgebildet.
Der Punkt
heißt eigentlicher bzw. uneigentlicher
Kontrollpunkt der rationalen Bezierkurve und die Zahl
heißt das
Gewicht des Kontrollpunktes
.
Eine rationale Bézierkurve hat folgende affine Beschreibung:[10][11]

wobei
für eigentliche und
für uneigentliche
Kontrollpunkte zu setzen ist.
Die rationalen Bezierkurven haben (u. a.) die folgenden Eigenschaften:
Sind
eigentliche Kontrollpunkte bzw.
die Gewichte einer rationalen Bezierkurve
, so gilt
- Die Kurve
enthält die Kontrollpunkte
(erster bzw. letzter Punkt des Kontrollpolygons).
- Die Tangente im Punkt
bzw.
hat die Richtung
bzw.
.
- Eine Erhöhung des Gewichts
bewirkt eine Veränderung der Kurve auf den Kontrollpunkt
zu. (s. Abbildung)
rationale Bezierkurven mit Gewichten

und verschiedenen Gewichten

Zusammenfassung:
Eine ebene rationale Bezierkurve besitzt neben dem Kontrollpolygon noch die Gewichte
als Designparameter. Will man eine Kurve erzeugen, legt man zunächst die Kontrollpunkte
und die Gewichte
fest. Dadurch wird dann auch eine räumliche (gewöhnliche) Bezierkurve mit den Kontrollpunkten
definiert. Die Projektion dieser Kurve (vom Nullpunkt aus) auf die x-y-Ebene (
) liefert dann die ebene rationale Bezierkurve. Eine Variation der Gewichte ändert nicht die Kontrollpunkte
, aber die (räumlichen) Kontrollpunkte
und damit die zugehörige räumliche Bezierkurve und schließlich auch die (ebene) rationale Bézierkurve. Erhöht man ein Gewicht
, so entfernt sich der zugehörige Kontrollpunkt
vom Nullpunkt und zieht die räumliche Bezierkurve mit. Der zugehörige Kontrollpunkt
dagegen bleibt unverändert. Die rationale Bezierkurve bewegt sich auf ihn zu (s. Bild). Verringert man das Gewicht, bewegt sich die Kurve von dem Kontrollpunkt weg. Falls alle Gewichte 1 sind, ist die rationale Bézierkurve eine gewöhnliche Bézierkurve mit den Kontrollpunkten
.
Parabel:
Eine Bézierkurve vom Grad zwei mit nicht kollinearen Kontrollpunkten
im
ist immer eine Parabel (s. oben). Um eine Parabel als (ganz-)rationale Bezierkurve darzustellen, wählt man drei nicht kollineare Kontrollpunkte
und setzt
und
. Letzteres bedeutet: Die Kontrollpunkte sind alle eigentlich.
Ellipsen und Hyperbeln lassen sich durch Zentralprojektion von Parabeln im
, deren Ebenen nicht den Nullpunkt enthalten, auf die Einbettungsebene
erzeugen.
Hyperbel (rot) als rationale Bezierkurve mit den Kontrollpunkten

. Sie entsteht durch Projektion der blauen Parabel vom Nullpunkt aus auf die Ebene

. Die Parabelpunkte

gehen dabei auf die Fernpunkte der Hyperbelasymptoten über.
Hyperbel:
Für die Kontrollpunkte

beschreibt

eine Parabel, die auf dem Kegel mit der Gleichung
liegt (s. Bild). Die Kontrollpunkte und Gewichte der zugehörigen (ebenen) rationalen Bezierkurve sind:
bzw. :
.
sind uneigentliche Kontrollpunkte. Damit ist
und der Nenner (s. o.) der rationalen Komponenten ist
.
Also ist die zugehörige rationale Bézierkurve

Dies ist eine rationale Parameterdarstellung eines Astes der Hyperbel mit der Gleichung
.
Die Änderung
liefert eine rationale Bézierdarstellung der Hyperbel
.
Halbkreis (rot) als rationale Bezierkurve.

ist uneigentlicher Kontrollpunkt, d. h. hier: Der Vektor

gibt die Richtung der Tangenten in den Kreispunkten

an.
Kreis:
In dem folgenden Beispiel sind die Kontrollpunkte der (räumlichen) Parabel:
.
Die Bézierkurve

liegt in diesem Fall auf dem Kegel mit der Gleichung
(s. Abbildung).
Die Kontrollpunkte und Gewichte der zu gehörigen rationalen Bezierkurve sind:
bzw.
.
ist uneigentlicher Kontrollpunkt. Damit ist
und der Nenner (s. o.) der rationalen Komponenten ist
.
Also ist die zugehörige rationale Bezierkurve


Für
ist dies eine rationale Parameterdarstellung eines halben Einheitskreises.
Setzt man
erhält man eine rationale Bézierdarstellung der Ellipse mit der Gleichung
.
Anwendung: Kreisapproximation durch kubische Bézierkurven[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Kreise bzw. Kreisbögen lassen sich durch Bézierkurven nicht exakt, sondern nur genähert darstellen. Eine solche Näherung ist z. B. für die Gestaltung einer Typ-1-PostScript-Schrift nötig, da hier nur Strecken und Bézierkurven dritten Grades erlaubt sind. (Jedoch verläuft auch für größere
keine Bézierkurve
-ten Grades in einem noch so kleinen Kreisbogen mit Radius
zum Mittelpunkt
, denn
liegt genau dann auf dem Kreisbogen, wenn
Nullstelle der Polynomfunktion
vom Grad
ist, was höchstens
Male vorkommt – vgl. Fehleranalyse.)
Teilt man einen Kreis in nur zwei (gleich große) Segmente und nähert die Halbkreise durch kubische Bézierkurven, zeigen sich größere Abweichung von der Kreisgestalt. Durch eine feinere Unterteilung in mehr Segmente lässt sich ein Kreis besser nähern. Je geringer der überstrichene Winkelbereich des Kreissegments ist, desto genauer ist die Näherung durch die Bézierkurve.
Eine oft verwendete, einfache Realisierung eines Kreises verwendet vier Viertelkreisbögen, die als kubische Bézierkurven dargestellt werden.
Um die Verbesserung der Näherung durch Verfeinerung der Unterteilung zu demonstrieren, werden in der Folge die Fehler der Halbkreisapproximation und der Viertelkreisapproximation miteinander verglichen.
Notation: Wir untersuchen Approximationen eines Kreises
mit folgenden Parametern:
ist der Radius von 
ist der Mittelpunkt von 
- die Kontrollpunkte
und
liegen vom Mittelpunkt
im Abstand
entfernt (also auf der Kreislinie von
)
ist eine reelle Zahl zwischen 0 und 1 (
entspräche einer quadratischen Bézierapproximation).
Die zusätzlichen Kontrollpunkte
und
werden so gewählt, dass
zu
und
zu
den Abstand
hat.
Beispielkoordinaten Viertelkreis:
Als einfaches Beispiel einer Viertelkreisapproximation wählen wir:
- den Mittelpunkt
des Kreises
als
,
- den Kontrollpunkt
auf der Kreislinie als
,
- den Kontrollpunkt
auf der Kreislinie als
– die Strecke
steht also senkrecht auf
, so dass beide Strecken einen Viertelkreissektor bilden –,
- den Kontrollpunkt
als
(auf der Strecke
),
- den Kontrollpunkt
als
(auf der Strecke
).
Die vier Kontrollpunkte liegen also auf dem Rand des Quadrats mit den Eckpunkten
,
,
und
. Dies gewährleistet immerhin, dass die Näherungskurve und die Kreislinie in
und
dieselbe Tangente haben. So ist auch die aus den Viertelkreisapproximationen zusammengesetzte Kurve in den Knotenpunkten „glatt“.
Die kubische Bézierkurve
(
) hat mit diesen Kontrollpunkten folgende Form:

Eine recht gute Approximation des oberen rechten Viertelkreisbogens erhält man mit
, wie die nachfolgende Betrachtung zeigt.
Fehleranalyse:
Die Abweichung der gerade angegebenen Bézierkurve
vom darzustellenden Kreis
lässt sich folgendermaßen quantifizieren:
Ein Punkt
der Bézierkurve
liegt genau dann auf der vorgegebenen Kreislinie mit Radius
um den Mittelpunkt
, wenn
(„Koordinatengleichung“) gilt. Definiert man

so ist das äquivalent zu
.
ist ein Maß für die Abweichung der Approximation
von der Kreisgestalt.
Fordert man dann die Übereinstimmung der Bézierkurve
mit dem Kreis
bei der Winkelhalbierenden, erhält man

Der Fehler ist Null bei
, sonst überall positiv, d. h. die Bézierkurve liegt stets auf oder außerhalb des Kreisbogens. Der maximale Fehler beträgt
bei
und bei
.
Fordert man, dass die aufsummierten Fehler über die gesamte Kurve verschwinden (
kann sowohl positiv als auch negativ sein – die Bézierkurve verläuft teils außerhalb, teils innerhalb der Kreislinie – und das Integral darüber kann Null ergeben), erhält man

Die größten Abweichungen liegen bei etwa
und bei
. Beide Approximationen sind somit für viele Anwendungsbereiche ausreichend.
Beispielkoordinaten Halbkreis:
Bei einer Halbkreisnäherung mit
,
,
, und
,
mit
beträgt die maximale Abweichung
. Dies ist bzgl. der maximalen Abweichung etwa 50 mal schlechter als die Viertelkreisapproximation.
- Gerald Farin: Curves and Surfaces for CAGD. A practical guide. 5. Auflage. Academic Press, San Diego 2002, ISBN 1-55860-737-4
- J. Hoschek, D. Lasser: Grundlagen der geometrischen Datenverarbeitung. Vieweg+Teubner Verlag, 1989, ISBN 978-3-519-02962-5
- David Salomon: Curves and Surfaces for Computer Graphics. Springer Science+Business Media, 2006, ISBN 0-387-24196-5
- Boaswan Dzung Wong: Bézierkurven: gezeichnet und gerechnet. Orell Füssli Verlag, Zürich 2003, ISBN 3-280-04021-3
- Wolfgang Boehm, Gerald Farin, Jürgen Kahmann: A survey of curve and surface methods in CAGD. In: Comput. Aided Geom. Des., 1, S. 1–60, 1984
Vier Stützpunkte
Mehr als vier Stützpunkte
- TinySpline. Open Source C-Programmbibliothek für NURBS, B-Splines und Bézier Splines mit Bindings für verschiedene Sprachen
- ↑ Farin, S. 37
- ↑ Hoschek&Lasser, S. 120
- ↑ Farin S. 38
- ↑ Farin S. 40
- ↑ Farin: S. 48
- ↑ Farin: S. 44
- ↑ Farin: S. 51
- ↑ Farin S. 87
- ↑ Hoschek&Lasser S. 128
- ↑ Farin S. 231
- ↑ Hoschek&lasser S. 143