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Statik starrer Körper

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Beispiel für Statik:
Balkenkonstruktion mit Fest- und Loslager und erfüllten statischen Bedingungen (Summe aller Kräfte und Drehmomente gleich null)

Die Statik starrer Körper (auch Starrkörperstatik, Stereostatik oder Stereo-Statik genannt) ist ein Teil der Starrkörpermechanik und der Statik. Sie behandelt das Gleichgewicht von Kräften an sogenannten starren Körpern, also Körpern, die sich nicht verformen können. Diese Körper bewegen sich entweder mit konstanter Geschwindigkeit oder sie ruhen. Bedeutung hat die Starrkörperstatik als Teilgebiet der Technischen Mechanik in den Ingenieurwissenschaften, insbesondere im Maschinenbau und dem Bauingenieurwesen, zur Berechnung von Kräften. Die Grundlagen der Technischen Mechanik werden im Gebiet der Starrköperstatik gelehrt; weiterführende Gebiete sind die Elastostatik und die Baustatik.

Definition, Einordnung, Abgrenzung und Verhältnis zu angrenzenden Gebieten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Statik als Teilgebiet der Technischen Mechanik
Strukturierung der Mechanik in der Physik nach den grundlegenden physikalischen Vorgängen

Die Statik wird als Teilgebiet der Mechanik definiert, bei dem sich die Kräfte im Gleichgewicht befinden und in ihrer Wirkung folglich aufheben, oder alternativ als „Lehre von Körpern, die sich in Ruhe befinden“. Da sich auch Körper, die sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegen, im Gleichgewicht befinden, lassen sich diese auch mit den Methoden der Statik behandeln. Da es für deformierbare Körper eigenständige Gebiete gibt, versteht man unter der Statik häufig die Statik starrer Körper. Im Bauingenieurwesen ist mit Statik jedoch häufig die statische Berechnung gemeint oder die Baustatik, die auch deformierbare Körper behandelt. Die Festigkeitslehre dagegen behandelt praktisch ausschließlich deformierbare Körper.[1][2]

In der Physik wird die Mechanik – anders als in der Technischen Mechanik – eingeteilt in die Kinematik, die sich mit Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung von Körpern befasst, aber nicht mit Kräften oder Massen, sowie in die Dynamik, die Kräfte und Massen berücksichtigt. Die Dynamik lässt sich weiter unterteilen in die Statik für Körper, bei denen sich die Kräfte im Gleichgewicht befinden und die Körper somit keine Beschleunigung erfahren, und in die Kinetik mit den beschleunigten Körpern, an denen sich die Kräfte nicht im Gleichgewicht befinden. De facto[3][4] wird die Statik in der Physik nicht gesondert behandelt und der Technischen Mechanik überlassen.

Die Technische Mechanik lässt sich gliedern in die Statik, die Festigkeitslehre und die Dynamik. De facto wird in Lehrbüchern und -veranstaltungen unter „Statik“ neben einigen Grundlagen einer allgemeinen Statik (z. B. mechanisches Gleichgewicht) die Statik starrer Körper abgehandelt,[5] Gebiete wie Elastostatik oder Baustatik werden explizit als solche bezeichnet. Die Festigkeitslehre befasst sich mit allen deformierbaren Körpern, die sich im Gleichgewicht befinden. Sie geht für den Fall statisch bestimmter Systeme meist (in der Theorie I. Ordnung) davon aus, dass die wirkenden Kräfte mit den Methoden der Starrkörperstatik ermittelt wurden und baut insofern auf dieser auf.[6][7][8][9] Starre Körper können sich nicht verformen. Werkstoffkennwerte (Elastizitätsmodul, Festigkeit, Härte, …) werden in der Elasto- und Baustatik sowie in der Festigkeitslehre genutzt, aber nicht selbst untersucht, sondern in der Werkstofftechnik. Die Dynamik schließlich behandelt in der Technischen Mechanik Körper, bei denen die Körper beschleunigt werden, und wird weiter eingeteilt in die Kinematik (ohne Massen und Kräfte) und die Kinetik (mit Massen und Kräften). In der Kinetik sind die wirkenden Kräfte somit nicht im Gleichgewicht. Diese befinden sich aber mit den Trägheitskräften (keine Kräfte im Sinne der Newtonschen Mechanik) im sogenannten dynamischen Gleichgewicht. Die Berechnung dynamischer Systeme lässt sich dann durchführen mit Methoden der Statik. Insofern baut die Dynamik auf der Statik auf.[10][11] Sie wird daher in Vorlesungen und Lehrbüchern der Technischen Mechanik immer zuerst abgehandelt.

Ziel der Statik, als Teil der Technischen Mechanik, ist es im Wesentlichen, die Kräfte zu berechnen, die in einzelen Bauteilen wirken. Die Statik starrer Körper kann im Allgemeinen nur statisch bestimmte Systeme eindeutig lösen. Bei diesen reichen die Gleichgewichtsbedingungen aus, um die Kräfte zu berechnen. Bei statisch unbestimmten Systemen, kann die Statik starrer Körper im Allgemeinen nur Teile lösen. Um diese Systeme vollständig zu lösen, werden weitere Bedingungen benötigt, die dann Verformungen und Werkstoffkennwerte enthalten und miteinander verknüpfen (z. B. Hookesches Gesetz). Die Gleichgewichtsbedingungen der Statik starrer Körper bleiben aber gültig. Statisch unbestimmte Systeme können in der Statik starrer Körper mit Tabellenwerken oder Lasteinflusszohnen gelöst werden, diese Tabellenwerke können aus der Anschauung, aus Erfahrung oder aus höheren Theorien der Statik gewonnen werden.

Themenüberblick[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Fachwerk aus sechs Stäben mit zwei Kräften. Die oberen drei kleinen Kreise symbolisieren Drehgelenke, die unteren sind unverschiebliche (Fest-) Lager, in denen sich die Stäbe ebenfalls drehen können.

In den Lehrbüchern der Technischen Mechanik gibt es große Einigkeit darüber, welche Themengebiete zur Starrkörperstatik zählen, lediglich die Reihenfolge variiert. Die Kraft als zentrale Größe wird oft zu Beginn eingeführt. Manchmal wird gleich im Anschluss das eng verwandte Moment (Kraft mal Hebelarm) eingeführt,[12] häufig jedoch erst, wenn es für die allgemeinen Kraftsysteme benötigt wird.[13] Kraftsysteme erlauben es, mehrere Kräfte zu einer Resultierenden zusammenzufassen, einzelne Kräfte aufzuspalten in mehrere Kräfte (vor allem solche, die parallel zu Koordinatenachsen sind), das Überprüfen, ob sich mehrere Kräfte im Gleichgewicht befinden und das Berechnen unbekannter Kräfte, sofern sich die Kräfte im Gleichgewicht befinden.

Lager sind Bauteile, durch die Körper mit ihrer Umgebung verbunden werden. Durch sie wirken Kräfte auf die betrachteten Körper ein. Diese Kräfte treten erst dann hervor, wenn die Lager in Gedanken entfernt und durch diese Kräfte ersetzt werden. Dieses Ersetzen wird als Freischneiden bezeichnet.

Reale Maschinen und Bauwerke bestehen häufig aus mehreren Teilen, die zusammengesetzt werden. Diese können an jeder beliebigen Stelle (z. B. an den Fügestellen) in Gedanken freigeschnitten und in mehrere Teilsysteme zerlegt werden (Schnittprinzip), um so die unbekannten Kräfte zu berechnen. Zu diesen Systemen zählen sämtliche Tragwerke. Kräfte oder Momente im Inneren von Körpern werden als Schnittgrößen bezeichnet. Sie werden in der Festigkeitslehre benötigt, lassen sich aber mit der Statik starrer Körper berechnen, falls die Körper statisch bestimmt gelagert sind.

Weitere Themen sind Reibung und Schwerpunkte (geometrischer Schwerpunkt und Massenschwerpunkt). Zur Reibung zählt auch die Haftreibung bei unbewegten Köpern und die Gleitreibung für bewegte Körper. Die Berechnung von Schwerpunkten wird benötigt, um die Wirkungslinie von resultierenden Kräften zu bestimmen, insbesondere falls die Kräfte auf Volumen, Flächen oder Linien verteilt wirken wie Druckkräfte (Fläche) oder Gewichtskräfte (Volumen).

Axiome der Starrkörperstatik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Statik basiert auf Axiomen, also Annahmen, die nicht bewiesen werden können, die jedoch mit Erfahrungen mit realen Körpern in Einklang stehen. Im Gegensatz zu den Newtonschen Axiomen besteht über die Axiome der Statik weder in ihrer Reihenfolge noch ihrer Anzahl ein Konsens.[14] Folgende Axiome werden in der Literatur genannt; viele sind nicht nur in der Starrkörperstatik gültig, sondern in der Statik oder Mechanik allgemein, andere gelten hingegen nur für die gesamte Starrköpermechanik:

  • Gleichgewichtsaxiom: Zwei Kräfte, die auf einen starren Körper wirken, stehen genau dann im Gleichgewicht, wenn sie gleichen Betrag, dieselbe Wirkungslinie und entgegengesetzte Orientierung haben. Es geht zurück auf Pierre de Varignon.[15]
Für deformierbare Körper gilt dies nur, falls die beiden Kräfte am selben Punkt angreifen. Wenn sie nur auf derselben Wirkungslinie liegen, können sie ihn stauchen oder strecken. Falls sie nicht auf derselben Wirkungslinie liegen, drehen sie den Körper, ohne den Schwerpunkt zu verschieben. Sie bilden dann ein sogenanntes Kräftepaar.[16][17]
  • Wechselwirkungsaxiom: Wenn eine Kraft von einem Körper auf einen anderen Körper wirkt, dann übt dieser auf den ersten eine Kraft aus, die auf derselben Wirkungslinie liegt, den gleichen Betrag hat und der ersten Kraft entgegengerichtet ist.
Dies gilt für sämtliche Körper, nicht nur für starre Körper und auch für Kräfte im Inneren von Körpern.[18]
  • Linienflüchtigkeitsaxiom (auch Verschiebungssatz,[19] Verschiebungsgesetz[20] oder Längsverschiebungssatz:[21]) Eine Kraft, die auf einen starren Körper einwirkt, darf entlang ihrer Wirkungslinie verschoben werden, ohne dass sich die Wirkung (Beschleunigung) auf den Körper ändert.
Dies gilt in der gesamten Starrkörpermechanik. Bei gleicher Wirkungslinie und gleicher Richtung macht es also für das Gleichgewicht und die Beschleunigung an einem starren Körper keinen Unterschied, ob eine Kraft an ihm vorne zieht oder ihn hinten drückt. Für deformierbare Körper macht dies jedoch einen Unterschied und ebenso für die Kräfte im Inneren beliebiger (also auch starrer) Körper (Schnittkräfte). Es gilt somit, dass Körper immer zuerst freigeschnitten werden und erst danach verschoben werden dürfen. Eine Verschiebung einer Kraft auf eine parallele Wirkungslinie darf dagegen nur durchgeführt werden, wenn das Versatzmoment berücksichtigt wird und neben den beiden Kräfte auch das Versatzmoment am selben Körper angreift.[22]
  • Axiom vom Kräfteparallelogramm: Zwei Kräfte, die an einem gemeinsamen Punkt angreifen, können durch eine resultierende Kraft ersetzt werden, die sich als Diagonale des Parallelogrammes ergibt, das von den beiden Kräften aufgespannt wird.
Das gilt auch für den Spezialfall, dass sie auf derselben Wirkungslinie liegen. Das Parallelogramm entartet dann zu einer Strecke.
  • Überlagerungssatz: Zwei Kräfte, die sich im Gleichgewicht befinden, können einer Gruppe von Kräften hinzugefügt werden, ohne die Wirkung auf den starren Körper zu ändern.[23]
Der Satz gilt in der gesamten Mechanik starrer Körper. Mit Wirkung ist das Gleichgewicht und die Beschleunigung des Körpers gemeint, Schnittgrößen ändern sich im Allgemeinen durch Hinzufügen von Gleichgewichtsgruppen.

Grundbegriffe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die wichtigsten Grundbegriffe sind der starre Körper, die Kraft, das Moment und der Freiheitsgrad.

Starrer Körper[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein starrer Körper ist ein theoretischer Körper, der sich unter der Wirkung von Kräften nicht verformt. In der Realität gibt es zwar keine starren Körper, da sich jeder Körper verformt. Bei vielen praktischen Problemstellungen sind diese Verformungen jedoch so klein, dass mit dem Modell des starren Körpers gute Ergebnisse erzielt werden können.[24] Das Modell wird auch in der Dynamik genutzt.

Kraft[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Kraft ist eine physikalische Größe, die einen ruhenden Körper in Bewegung zu setzen versucht. Wichtige Kräfte in der Technischen Mechanik sind die Gewichtskraft und die Reibungskraft einschließlich der Haftreibung. Kräfte werden in der Mechanik mathematisch als Vektor modelliert und durch einen Pfeil dargestellt. Sie sind durch mehrere Bestimmungsstücke definiert:

  1. Ihren Betrag, dargestellt als Länge des Pfeiles.
  2. Ihren Angriffspunkt, dargestellt als Fuß oder Anfangspunkt des Pfeiles.
  3. Ihre Wirkungslinie, in Zeichnungen meist nicht dargestellt. Sie ergibt sich als Gerade durch Fußpunkt und Spitze des Pfeiles.
  4. Ihre Richtung und ihre Orientierung.

Im Allgemeinen ist die Kraft ein punktgebundener Vektor, der sich auf den Angriffspunkt bezieht. In der Statik starrer Körper können Kräfte jedoch entlang ihrer Wirkungslinien verschoben werden (solange sie auf denselben Starrkörper wirken); es handelt sich somit um einen linienflüchtigen Vektor.

Kräfte werden in der Mechanik nach verschiedenen Kriterien eingeteilt.[25]

Einzel- und Streckenlast

Nach der räumlichen Verteilung unterscheidet man:

  • Einzelkräfte oder Punktkräfte, Einzellast die auf einen einzelnen Punkt einwirken. Es handelt sich um eine Idealisierung; reale Kräfte wirken immer auf Flächen oder Volumen verteilt. Die Gewichtskraft wird häufig als Einzelkraft modelliert, die im Schwerpunkt angreift.
  • Eine Linienkraft oder Streckenlast ist auf eine Linie verteilt. Es handelt sich ebenfalls um Idealisierungen.
  • Eine Flächenkraft, Flächenlast oder Oberflächenspannung wirkt auf eine Fläche, beispielsweise wirken Druckkräfte von Flüssigkeiten auf Behälterwände oder Winde auf Gebäude. Häufig sind Flächenkräfte in einer oder mehreren Dimensionen konstant. Wenn von Körpern nur der Querschnitt betrachtet wird, werden aus Flächenkräften Streckenlasten.
  • Volumenkräfte wirken auf das ganze Volumen eines Körpers ein. Dazu zählt vor allem die Gewichtskraft.

Nach der Ursache wird unterschieden zwischen:

  • Eingeprägte Kraft: Sie hat eine physikalische Ursache wie die Gewichtskraft oder der Winddruck.
  • Reaktionskraft: Sie reagiert auf äußere Einflüsse, z. B. die Kraft, die im Fundament eines Bauwerkes seiner Gewichtskraft entgegenwirkt. Zu den Reaktionskräften zählen insbesondere auch die Lagerkraft und die Zwangskraft, die die Bewegungsmöglichkeiten von Körpern einschränken.

Nach ihrer Wirkung wird unterschieden zwischen der

  • Nahkraft, die nur wirkt, wenn sich die beiden Körper, zwischen denen sie wirkt, in direktem Kontakt befinden und der
  • Fernkraft, die auch über Entfernungen hinweg wirken kann, wie die Gravitation oder elektrische und magnetische Kräfte.

Nahkräfte sind normalerweise Flächenkräfte, die über die Kontaktfläche übertragen werden. Fernkräfte sind normalerweise Potentialkräfte, die in der Kontinuumsmechanik als Volumenkräfte angesetzt werden.

Nach dem Wirkungsort wird unterschieden in die

  • äußere Kraft, die von außen auf einen Körper einwirkt und die
  • innere Kraft, die im Inneren eines Körpers wirkt. Dazu zählen die sogenannten Schnittgrößen.[26]

Moment[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kraft um einen Bezugspunkt
Kräftepaar

Das Moment ist eine physikalische Größe, die einen Körper zu drehen versucht. In der Technischen Mechanik wird unterschieden zwischen dem Moment einer (einzelnen) Kraft bezüglich eines Punktes und dem Moment eines Kräftepaares (ohne Bezugspunkt). Das Moment einer einzelnen Kraft ist nur in Bezug auf einen beliebig wählbaren Punkt definiert. Es lässt sich berechnen aus dem senkrechten Abstand der Wirkungslinie dieser Kraft zum Bezugspunkt und dem Betrag der Kraft zu

.

Ein Kräftepaar besteht aus zwei Kräften, die den gleichen Betrag haben, auf parallelen Wirkungslinien liegen mit dem Abstand und in entgegengesetzte Richtung zeigen. Ein Kräftepaar kann einen Körper nicht verschieben wie eine Kraft, es versucht ihn jedoch zu drehen. Der Betrag des Momentes , das von dem Kräftepaar ausgeübt wird, ergibt sich aus dem Abstand und dem Betrag einer der beiden Kräfte zu

.

Das Moment eines Kräftepaares hat keinen Bezugspunkt und wirkt in der gesamten Ebene, in der die beiden Kräfte liegen. In der Mechanik starrer Körper kann es durch sein Moment ersetzt werden. Ein Kräftepaar kann nicht durch eine resultierende Kraft ersetzt werden, aber durch sein Moment, falls keine Schnittgrößen von Interesse sind. Eine einzelne Kraft dagegen kann nicht durch ihr Moment ersetzt werden.[27][28]

Freiheitsgrade eines starren Körpers[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Freiheitsgrad eines Körpers ist eine Bewegungsmöglichkeit, die dieser prinzipiell hat. Ein starrer Körper, der sich nur innerhalb einer Ebene bewegen kann, kann in zwei Dimensionen verschoben werden, und er kann gedreht werden. Somit verfügt er über drei Freiheitsgrade. Drehungen werden auch als Rotationen bezeichnet und Verschiebungen als Translationen. Ein starrer Körper, der sich im dreidimensionalen Raum bewegen kann, hat insgesamt sechs Freiheitsgrade: In jeder Dimension ist eine Rotation und eine Translation möglich. Deformierbare Körper haben darüber hinaus noch Freiheitsgrade der Verformung, also unendlich viele.[29]

Lager[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bauteile, durch die die betrachteten Körper mit ihrer Umgebung verbunden sind, werden als Lager bezeichnet. Die Art und Weise, wie ein Körper gelagert ist, wird als Lagerung bezeichnet. Lager erlauben manche Bewegungen und unterbinden andere. Die Lager einer Tür beispielsweise, die als Starrkörper auf einer starren lochspielfreien Lagerung idealisiert wird, erlauben ausschließlich eine Drehung und verhindern alle anderen Bewegungen. Die Lager der meisten Schubladen, die als Starrkörper auf einer lochspielfreien idealen unverschieblichen Lagerung idealisiert werden, erlauben dagegen ausschließlich eine Verschiebung und unterbinden sämtliche Drehungen. Die Anzahl der Freiheitsgrade, die ein Lager unterbindet, wird als seine Wertigkeit bezeichnet. Die Lager der Tür und der Schublade sind somit fünfwertig, da sie von den sechs prinzipiell möglichen Bewegungen fünf verhindern. Lager können fest mit der Umgebung verbunden sein (Festlager) oder sie sind selbst verschieblich (Loslager). Eine Brücke beispielsweise, die nur an ihren Enden gelagert ist, wird üblicherweise mit einem Festlager und mehreren Loslagern ausgestattet. Wenn sie sich durch Temperaturänderung ausdehnt, kann sie sich praktisch unbehindert bewegen, weil die Loslager die Bewegung im Allgemeinen mit einem vernachlässigbaren Widerstand zulassen. Für die zahlreichen Lager gibt es in der Technischen Mechanik entsprechende Symbole. Besonders häufig sind Lager, die Drehungen erlauben, da diese herstellungstechnisch meist einfacher sind. Diese werden durch einen kleinen Kreis dargestellt.

Die drei häufigsten Symbole in ebenen Tragsystemen:

Lager können durch verschiedene Bauteile realisiert werden. Für Details siehe Lager (Bauwesen) und Lager (Maschinenelement).[30]

Schnittprinzip[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiel einer Welle
Ein gerader Balken (durchgezogene Linie), von zwei Seiten geschnitten, mitsamt den freigeschnittenen Kräften und Momenten. Die gestrichelte Linie ist die Bezugsfaser und dient zur Verdeutlichung positiver Richtungen.

Die auf einen Körper einwirkenden Kräfte werden mit Ausnahme der Fernkräfte über angrenzende Körper (insbesondere Lager) eingeleitet. Um diese Kräfte für Berechnungen zugänglich zu machen, wird eine Methode angewandt, die als Schnittprinzip bezeichnet wird. Der Vorgang wird als Freischneiden oder Freimachen bezeichnet. Dabei werden Körper in Gedanken ersetzt durch die Kräfte, die sie übertragen. Besondere Bedeutung hat das Schneiden der Lager, die durch ihre Lagerreaktionen ersetzt werden. Lager, die Verschiebungen verhindern, werden durch Kräfte ersetzt (Lagerkraft) und Lager, die Drehungen verhindern, durch Momente (Einspannmoment). Grundsätzlich kann jeder Körper an jeder beliebigen Stelle geschnitten werden. Die Schnittstellen werden in Zeichnungen durch geschwungene Linien verdeutlicht, sofern nicht die Lager freigeschnitten werden. Wenn beispielsweise ein Körper an einem Seil hängt, kann der Körper durch seine Gewichtskraft ersetzt werden und das Seil in Gedanken geschnitten werden, wodurch die Seilkraft erscheint, die der Gewichtskraft entgegenwirkt.[30][31]

Kraftsysteme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Kraftsystem oder eine Kraftgruppe ist eine Reihe von Kräften, die in einem System wirken: beispielsweise sämtliche Kräfte, die auf eine Brücke wirken, alle, die auf ein Fahrzeug wirken oder nur die, die auf das Getriebe wirken. Bei freigeschnittenen Systemen zählen zu den Kräften auch die Schnittkräfte. Kräftesysteme erlauben mehrere Operationen. Dazu zählt die Zusammenfassung von mehreren Kräften zu einer Resultierenden und die Ermittlung von unbekannten Kräften über die Gleichgewichtsbedingungen. Damit lässt sich überprüfen, ob zwei verschiedene Kraftsysteme statisch äquivalent sind, also dieselbe Wirkung auf einen Körper haben. Weiters lässt sich überprüfen, ob sich ein Kraftsystem im Gleichgewicht befindet. Mit der Annahme, dass es sich im Gleichgewicht befindet, lassen sich die unbekannten Kräfte berechnen.

Kraftsysteme werden nach zwei verschiedenen Kriterien eingeteilt. Nach der Anzahl der Dimensionen unterscheidet man zwischen ebenen und räumlichen Kraftsystemen. Nach dem Vorkommen von Momenten unterscheidet man zwischen zentralen Kraftsystemen (ohne Momente), bei denen sich die Wirkungslinien aller Kräfte in einem einzigen Punkt schneiden, und allgemeinen Kraftsystemen (mit Momenten), bei denen sich die Kräfte nicht in einem einzigen Punkt schneiden.[32]

Zusammenfassen und Aufteilen von Kräften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kräfteparallelogramm

Zwei Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt lassen sich mittels des Kräfteparallelogramms zu einer Resultierenden zusammenfassen, die die gleiche Wirkung hat wie die Einzelkräfte. Mehr als zwei Kräfte mit gemeinsamem Angriffspunkt lassen sich zusammenfassen, indem zunächst von zwei Kräften eine Resultierende gebildet und der Vorgang dann wiederholt wird. Umgekehrt kann eine einzelne Kraft in mehrere Komponenten zerlegt werden, die in vorgegebene Richtungen zeigen (beispielsweise Koordinatenachsen).

Kräfte, bei denen sich die Wirkungslinien in einem gemeinsamen Punkt schneiden, können ebenfalls mit dem Kräfteparallelogramm zusammengefasst werden. Sie werden dazu zunächst entlang ihrer Wirkungslinien in den Schnittpunkt verschoben und dort zusammengefasst. Entsprechend funktioniert auch eine Zerlegung.

Falls sich die Wirkungslinien nicht in einem einzigen Punkt schneiden, lassen sich die Kräfte zusammenfassen, indem sie in einen Punkt verschoben werden. Bei der Parallelverschiebung auf eine andere Wirkungslinie entsteht dabei ein Versatzmoment, das berücksichtigt werden muss. Das System aus resultierender Kraft und dem Gesamtmoment wird als Dyname bezeichnet. Durch Parallelverschiebung der resultierenden Kraft lässt sich das Moment beseitigen. Damit stehen Betrag, Richtung und Wirkungslinie der resultierenden Kraft fest.

Ein Spezialfall ist das Kräftepaar. Es lässt sich nicht zu einer resultierenden Kraft zusammenfassen, aber es lässt sich ersetzen durch sein Moment (ohne resultierende Kraft).[33]

Gleichgewicht[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Körper befindet sich im Gleichgewicht, wenn die resultierende Kraft und das resultierende Moment bezüglich eines beliebigen Punktes jeweils null ergeben. In einem ebenen Kräftesystem, das genau eine horizontale und genau eine vertikale Richtung aufspannt, bedeutet dies:

  • Die Summe aller Kraftkomponenten in horizontaler Richtung beträgt null.
  • Die Summe aller Kraftkomponenten in vertikaler Richtung beträgt null.
  • Die Summe aller Momente in der Ebene bezüglich eines beliebigen Punktes beträgt null.

Im räumlichen Kraftsystem ergeben sich je Dimension ein Kräftegleichgewicht und ein Momentengleichgewicht. Die Kräftegleichgewichte gelten in allen beliebigen Richtungen.

Mit diesen Gleichgewichtsbedingungen lässt sich für eine Reihe bekannter Kräfte überprüfen, ob sie im Gleichgewicht sind. Ist bekannt, dass sich ein Körper nicht bewegt, und ist nur ein Teil der Kräfte bekannt, lassen sich mit den Gleichgewichtsbedingungen die unbekannten Kräfte berechnen. Da im ebenen Fall nur drei unabhängige Gleichungen aufgestellt werden können, lassen sich für einen einzelnen Körper mit den Methoden der Starrkörperstatik nur drei Unbekannte berechnen. Im räumlichen Fall ergeben sich entsprechend sechs Gleichungen und Unbekannte für einen einzelnen Körper. Falls weitere Kräfte unbekannt sind, werden weitere Gleichungen benötigt, die dann Verformungen und Werkstoffkennwerte enthalten. Diese sind Gegenstand der Baustatik und der Festigkeitslehre. Bei mehreren Körpern, die zu einem größeren Körper verbunden sind (beispielsweise Einzelteilen, die zu Baugruppen und Modulen zusammengebaut sind), lässt sich für jeden Starrkörper eine entsprechende Anzahl Unbekannter berechnen (drei in der Ebene).[34]

Systeme starrer Körper[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Gerberträger: Er besteht aus drei Balken, die mit zwei Gelenken (kleine Kreise) verbunden sind. Links befindet sich ein Festlager (Dreieck), in der Mitte und rechts befinden sich insgesamt drei Loslager (Dreieck mit waagrechtem Strich).

Systeme starrer Körper bestehen aus mehreren starren Körpern, die miteinander verbunden sind. Die Verbindungen können ebenfalls starr sein oder durch Gelenke drehbar oder verschieblich sein. Berechnet werden diese Systeme, indem der Gesamtkörper geschnitten wird. Das Gesamtsystem zerfällt dann in mehrere Teilsysteme, wobei an den Schnittstellen die entsprechenden Kräfte und Momente angetragen werden.

Ideale Fachwerke sind Konstruktionen, die nur aus Stäben bestehen, die an den Verbindungsstellen (Knoten) gelenkig gelagert sind. Sie sind auf bestimmte Art und Weise miteinander verbunden, sodass die Knoten jeweils ein zentrales Kraftsystem bilden, also in den Stäben nur Zug- oder Druckkräfte übertragen werden, aber keine Querkräfte oder Momente, weshalb ideale Fachwerke besonders einfach zu berechnen sind. Ähnliche Bedeutung haben Gerberträger als Brückenkonstruktion. Sie lassen sich relativ einfach herstellen und reagieren unempfindlich gegenüber Auflagersetzungen. In Gerberträgern werden die Lasten hauptsächlich durch Biegemomente und Querkräfte abgetragen.[35]

Schnittgrößen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Schnittgrößen an einem Einfeldträger mit Streckenlast q und Längskraft F, Querkraft V, Normalkraft N und Biegemoment M. Die Querkraft ist an den Rändern am größten und hat einen linearen Verlauf. Der Momentenverlauf folgt hier einer quadratischen Funktion und hat sein Maximum in der Mitte.

Schnittgrößen sind Kräfte und Momente, die im Inneren von Körpern wirken. Sie können berechnet werden, indem die Körper in Gedanken durchgeschnitten werden. Von Interesse ist nicht die Schnittkraft an einer bestimmten Stelle, sondern der Verlauf der Schnittkräfte oder -momente über die Länge eines Stabes. Die Schnittgrößen werden zur Auslegung der Abmessungen der Bauteile oder Bauwerke benötigt (Bemessung oder Dimensionierung). Dazu muss jedoch die Festigkeit des Werkstoffes bekannt sein.

Bei einem stabförmigen Körper in der Ebene existieren in der Theorie I. Ordnung drei Arten von Schnittgrößen:

  • Die Querkraft, die senkrecht zur Balkenachse steht.
  • Die Normalkraft, die senkrecht (normal) zur Schnittfläche wirkt, also in Richtung der Stabachse.
  • Das Biegemoment, das den Balken zu biegen versucht.

Bei Stäben, die im dreidimensionalen Raum modelliert werden, gibt es insgesamt sechs Schnittgrößen, pro Dimension eine Kraft und ein Moment. Gegenüber dem ebenen System kommen für Stäbe je ein weiteres Biegemoment und eine Querkraft hinzu sowie das Torsionsmoment, das einen Stab zu verwinden (tordieren) versucht.[36] Bei „komplexeren“ Strukturen wie zum Beispiel einem Würfel kann man keine Schnittkräfte wie Normalkraft, Querkraft, Biegemoment und Torsionsmoment definieren, sondern nur ein Spannungstensor-Feld.

Schwerpunkt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Schwerpunkte werden benötigt, um die Wirkungslinien oder Angriffspunkte von verteilten Lasten zu berechnen. Dazu zählt die Gewichtskraft. Es wird unterschieden zwischen den rein geometrischen Schwerpunkten wie dem Strecken-, Flächen- oder Volumenschwerpunkt sowie dem Massenschwerpunkt.[37]

Grenzen der Statik und weiterführende Gebiete[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Gebiet der Starrkörperstatik unterliegt definitionsgemäß zwei Einschränkungen: Zum einen werden nur starre Körper behandelt, zum anderen nur Körper, die sich in Ruhe befinden, wodurch die Mathematik, die zur Beschreibung statischer Systeme nötig ist, vergleichsweise einfach wird. Mit Methoden der Starrkörperstatik nicht berechenbar sind dagegen Verformungen der Bauteile und Tragwerke sowie Kräfte in statisch unbestimmten Systemen.

Wenn nur die Einschränkung auf starre Körper aufgehoben wird, führt dies zu den Gebieten der Festigkeitslehre und der Baustatik. Lässt man stattdessen beschleunigte Bewegungen zu, so führt dies zur (Starrkörper-) Dynamik. Sowohl die Festigkeitslehre als auch die Dynamik sind fester Bestandteil der Technischen Mechanik, wie sie in vielen ingenieurwissenschaftlichen Studiengängen vorkommt, die Baustatik nur im Bauingenieurwesen. Die Mathematik, die für diese Gebiete nötig ist, befindet sich auf einem höheren Niveau.[38] So spielen beispielsweise Tensoren und Ableitungen eine große Rolle.

Festigkeitslehre[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Festigkeitslehre werden großteils deformierbare – also selten starre – Körper behandelt. Die auf die Körper wirkenden mechanischen Spannungen führen dann zu Verformungen. Üblicherweise werden mechanische Spannungen (Kräfte pro Fläche) statt Spannungsresultate (Kräfte) verwendet. Die Festigkeit ist ein Materialkennwert, der angibt, wie groß eine mechanische Spannung sein darf, damit kein Versagen (Brechen, große Verformung) eintritt. Da Verformungen über Materialkennwerte mit den mechanischen Spannungen verbunden sind, lassen sich mit der Festigkeitslehre auch statisch unbestimmte Systeme berechnen.[39]

Baustatik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Baustatik ist ein Gebiet des Bauingenieurwesens. Wie auch die Festigkeitslehre nutzt sie Größen wie die mechanische Spannung, Verformung und Festigkeit. Ein besonderer Schwerpunkt liegt auf den verschiedenen Tragwerken wie z. B. Fachwerken, Einfeldträgern, Scheibenverbindungen und Stabwerken. Sie behandelt sowohl statisch bestimmte als auch unbestimmte Systeme.[40] Sie beinhaltet auch das Gleichgewicht in der verformten Lage, das realitätsnah ist, da (belastete) Systeme nur in der verformten Lage im Gleichgewicht sind.

Dynamik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Dynamik ist ein Gebiet, das in der Technischen Mechanik beschleunigte Bewegungen behandelt. Mit bekannten Kräften und Massen können die Beschleunigungen berechnet werden. Beschleunigte Körper befinden sich nicht im (statischen) Gleichgewicht. Wenn zusätzlich zu den wirkenden Kräften noch die sogenannten D’Alembert’schen Trägheitskräfte berücksichtigt werden, so befinden sich diese im dynamischen Gleichgewicht.

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Statik – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Werner Skolaut (Hrsg.): Maschinenbau – Ein Lehrbuch für das ganze Bachelor-Studium. Springer, 2014, S. 20.
  2. Dankert, Dankert: Technische Mechanik. Springer, 7. Auflage, 2013, S. 1.
  3. Joseph Honerkamp, Hartmann Römer: Klassische, theoretische Physik. Springer, 4. Auflage, 2012, S. 52.
  4. Karsten Kirchgessner, Marco Schreck: Lern- und Übungsbuch zur Theoretischen Physik 1 – Klassische Mechanik. Oldenbourg, 2014, S. V (Vorwort).
  5. Holzmann, Meyer, Schumpich: Technische Mechanik – Festigkeitslehre. Springer, 10. Auflage, S. vii (Vorwort zur 9. Auflage), S. 1.
  6. Dankert, Dankert: Technische Mechanik. Springer, 7. Auflage, 2013, S. 167.
  7. Bruno Assmann, Peter Selke: Technische Mechanik 2 – Festigkeitslehre. 18. Auflage, Springer, Oldenbourg, S. IX (Vorwort).
  8. Balke: Einführung in die Technische Mechanik – Festikgeitslehre. 3. Auflage, Springer, 2014, S. V (Vorwort zur ersten Auflage), S. 1.
  9. Holzmann, Meyer, Schumpich: Technische Mechanik – Festigkeitslehre. Springer, 10. Auflage, S. vii (Vorwort zur 9. Auflage), S. 1.
  10. Alfred Böge, Wolfgang Böge: Technische Mechanik – Statik – Reibung – Dynamik – Festigkeitslehre – Fluidmechanik. 31. Auflage. Springer, 2015, ISBN 978-3-658-09154-5, S. 2, 195 u. 197, doi:10.1007/978-3-658-09155-2 (online).
  11. Dreyer u. a.: Technische Mechanik – Kinematik und Kinetik. 11. Auflage, Springer, 2012, 69 f.
  12. Alfred Böge, Wolfgang Böge: Technische Mechanik – Statik – Reibung – Dynamik – Festigkeitslehre – Fluidmechanik. 31. Auflage. Springer, 2015, ISBN 978-3-658-09154-5, S. 1 f., doi:10.1007/978-3-658-09155-2 (online).
  13. Jürgen Dankert, Helga Dankert: Technische Mechanik. Springer, 7. Auflage, 2013, (Kraft) S. 1 ff., (Moment) S. 19 ff.
    Richard, Sander: Technische Mechanik – Statik. Springer, 5. Auflage, 2016, (Kraft) S. 5 ff., (Moment) S. 33 ff.
    Gross u. a.: Statik. 11. Auflage, 2011, S. 7, 49, 54.
    Sayir: Statik. 3. Auflage, S. 67, 87.
    Mahnken: Statik. 2012, S. 13, 97 f.
  14. Jürgen Dankert, Helga Dankert: Technische Mechanik – Statik, Festigkeitslehre, Kinematik/Kinetik. Springer, 7. Auflage, 2013, S. 3.
  15. Rolf Mahnken: Lehrbuch der Technischen Mechanik – Statik. Springer, 2012, S. 37.
  16. Jürgen Dankert, Helga Dankert: Technische Mechanik – Statik, Festigkeitslehre, Kinematik/Kinetik. Springer, 7. Auflage, 2013, S. 4.
  17. Rolf Mahnken: Lehrbuch der Technischen Mechanik – Statik. Springer, 2012, S. 38.
  18. Rolf Mahnken: Lehrbuch der Technischen Mechanik – Statik. Springer, 2012, S. 40.
  19. Bruno Assmann: Technische Mechanik 1 – Statik. Oldenbourg, 15. Auflage, 1999, S. 20.
  20. Rolf Mahnken: Lehrbuch der Technischen Mechanik – Statik. Springer, 2012, S. 39.
  21. Alfred Böge, Wolfgang Böge: Technische Mechanik – Statik – Reibung – Dynamik – Festigkeitslehre – Fluidmechanik. 31. Auflage. Springer, 2015, ISBN 978-3-658-09154-5, S. 3, doi:10.1007/978-3-658-09155-2 (online).
  22. Jürgen Dankert, Helga Dankert: Technische Mechanik – Statik, Festigkeitslehre, Kinematik/Kinetik. Springer, 7. Auflage, 2013, S. 3.
  23. Bruno Assmann: Technische Mechanik 1 – Statik. 15. Auflage. Oldenbourg, 1999, S. 22.
  24. Dietmar Gross, Werner Hauger, Jörg Schröder, Wolfgang Wall: Technische Mechanik 1 – Statik. Springer, 11. Auflage, 2011, S. 9 f.
  25. Rolf Mahnken: Lehrbuch der Technischen Mechanik – Statik. Springer, 2012, S. 22.
  26. Dietmar Gross, Werner Hauger, Jörg Schröder, Wolfgang Wall: Technische Mechanik 1 – Statik. Springer, 11. Auflage, 2011, S. 8–14.
  27. Alfred Böge, Wolfgang Böge: Technische Mechanik – Statik – Reibung – Dynamik – Festigkeitslehre – Fluidmechanik. 31. Auflage. Springer, 2015, ISBN 978-3-658-09154-5, S. 4 f., doi:10.1007/978-3-658-09155-2 (online).
  28. Dietmar Gross, Werner Hauger, Jörg Schröder, Wolfgang Wall: Technische Mechanik 1 – Statik. Springer, 11. Auflage, 2011, S. 10 f.
  29. Alfred Böge, Wolfgang Böge: Technische Mechanik – Statik – Reibung – Dynamik – Festigkeitslehre – Fluidmechanik. 31. Auflage. Springer, 2015, ISBN 978-3-658-09154-5, S. 6, doi:10.1007/978-3-658-09155-2 (online).
  30. a b Mahnken: Lehrbuch der Technischen Mechanik – Statik. Springer, 2012, S. 27–33.
  31. Jürgen Dankert, Helga Dankert: Technische Mechanik. Springer, 7. Auflage, 2013, S. 5–8.
  32. Alfred Böge, Wolfgang Böge: Technische Mechanik – Statik – Reibung – Dynamik – Festigkeitslehre – Fluidmechanik. 31. Auflage. Springer, 2015, ISBN 978-3-658-09154-5, S. 21–24, doi:10.1007/978-3-658-09155-2 (online).
  33. Alfred Böge, Wolfgang Böge: Technische Mechanik – Statik – Reibung – Dynamik – Festigkeitslehre – Fluidmechanik. 31. Auflage. Springer, 2015, ISBN 978-3-658-09154-5, S. 9, doi:10.1007/978-3-658-09155-2 (online).
  34. Jürgen Dankert, Helga Dankert: Technische Mechanik. Springer, 7. Auflage, 2013, S. 48 f.
  35. Jürgen Dankert, Helga Dankert: Technische Mechanik. Springer, 7. Auflage, 2013, S. 62 f. u. S. 80.
  36. Rolf Mahnken: Lehrbuch der Technischen Mechanik – Statik. Springer, 2012, S. 332 f.
  37. Rolf Mahnken: Lehrbuch der Technischen Mechanik – Statik. Springer, 2012, S. 183.
  38. Gross, Hauger, Schröder, Wall: Technische Mechanik 3 – Statik. Springer, 13. Auflage, 2015, S. V (Vorwort).
  39. Sayir, Dual, Kaufmann, Mazza: Ingenieurmechanik 1 – Grundlagen und Statik. Springer, 3. Auflage, 2015, S. 154.
  40. Dieter Dinkler: Grundlagen der Baustatik. Springer, 4. Auflage, 2016, S. VI.
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