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Statik (Mechanik)

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Beispiel für Statik:
Balkenkonstruktion mit Fest- und Loslager und erfüllten statischen Bedingungen. (Summe aller Kräfte und Drehmomente gleich Null).

Die Statik ist ein Teilgebiet der Mechanik, das sich mit unbewegten Körpern befasst. Bei diesen befinden sich alle Kräfte im Gleichgewicht; die Statik wird daher auch als „Lehre vom Gleichgewicht“ bezeichnet. Bedeutung hat sie als Teilgebiet der Technischen Mechanik in den Ingenieurwissenschaften, insbesondere im Maschinenbau und dem Bauingenieurwesen zur Berechnung von Kräften. Ihre Methoden und Erkenntnisse sind jedoch auch auf Körper anwendbar, die sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegen. Mit beschleunigten Körpern befasst sich die Dynamik.

Im seltener genutzten allgemeinen Sinne, behandelt die Statik sämtliche Körper, also auch gasförmige Körper (Aerostatik), flüssige Körper (Hydrostatik), sowie elastische Körper (Elastostatik). Häufiger versteht man unter Statik jedoch die Statik starrer Körper, auch als Starrkörperstatik oder Stereo-Statik bezeichnet. Sie behandelt sogenannte starre Körper. Dies sind theoretische Körper, die sich unter der Einwirkung von Kräften nicht verformen. Im Bauingenieurwesen versteht man unter Statik jedoch auch die Statische Berechnung oder die Baustatik, die sämtliche Festkörper behandelt, also starre, elastische oder plastische Körper.

Definition, Einordnung, Abgrenzung und Verhältnis zur Dynamik und Festigkeitslehre[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Statik als Teilgebiet der Technischen Mechanik
Strukturierung der Mechanik in der Physik nach den grundlegenden physikalischen Vorgängen

Die Statik lässt sich als Teilgebiet der Mechanik definieren, bei dem sich die Kräfte im Gleichgewicht befinden und in ihrer Wirkung folglich aufheben, oder alternativ als „Lehre von Körpern, die sich in Ruhe befinden“. Da sich auch Körper, die sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegen, im Gleichgewicht befinden, lassen sich diese auch mit den Methoden der Statik behandeln. Da es für deformierbare Körper eigenständige Gebiete gibt, versteht man unter der Statik häufiger die Statik starrer Körper. Im Bauingenieurwesen ist mit Statik jedoch auch die statische Berechnung gemeint oder die Baustatik, die auch deformierbare Körper behandelt. Die Festigkeitslehre dagegen behandelt ausschließlich deformierbare Körper.[1][2]

Die Mechanik wird nach verschiedenen Kriterien eingeteilt.[3] Die Einteilung nach den Körpern ergibt die Fluidmechanik (Gase und Flüssigkeiten) und die Festkörpermechanik. Die Statik als Teilgebiet der Technischen Mechanik zählt zu letzterer. Die Starrkörperstatik zählt zur Mechanik starrer Körper, welche auch beschleunigte Bewegungen behandelt. In der Physik wird die Mechanik eingeteilt in die Kinematik, die sich mit Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung von Körpern befasst, aber nicht mit Kräften oder Massen, sowie in die Dynamik, welche Kräfte und Massen berücksichtigt. Die Dynamik lässt sich weiter unterteilen in die Statik für Körper, bei denen sich die Kräfte im Gleichgewicht befinden und die Körper somit keine Beschleunigung erfahren, und in die Kinetik mit den beschleunigten Körpern, an denen sich die Kräfte nicht im Gleichgewicht befinden. De facto[4][5] wird die Statik in der Physik nicht gesondert behandelt und der Technischen Mechanik überlassen.

Die Technische Mechanik lässt sich gliedern in die (Starrkörper-)Statik, die Festigkeitslehre und die Dynamik. Die Festigkeitslehre befasst sich mit deformierbaren Körpern, die sich im Gleichgewicht befinden. Sie wird auch als „Elastostatik“ bezeichnet. Während in der Starrkörperstatik Werkstoffkennwerte wie Elastizität oder Festigkeit keine Rolle spielen, sind diese in der Festigkeitslehre von Bedeutung. Sie geht für den Fall statisch bestimmter Systeme davon aus, dass die wirkenden Kräfte mit den Methoden der Starrkörperstatik ermittelt wurden und baut insofern auf dieser auf. Bei sogenannten statisch unbestimmten Systemen, lassen sich mit den Methoden der Starrkörperstatik nicht alle Kräfte berechnen, die Körper müssen dann als deformierbar modelliert und mit Methoden der Festigkeitslehre berechnet werden. Die Dynamik schließlich behandelt Körper, bei denen die wirkenden Kräfte sich nicht im Gleichgewicht befinden und wird weiter eingeteilt in die Kinematik und die Kinetik. In der Dynamik wird ebenfalls davon ausgegangen, dass die wirkenden Kräfte bekannt sind. Diese befinden sich mit den Trägheitskräften im sogenannten dynamischen Gleichgewicht. Die Berechnung dynamischer Systeme lässt sich dann durchführen mit Methoden der Statik. Insofern baut die Dynamik ebenfalls auf der Statik auf. Sie wird daher in Vorlesungen und Lehrbüchern der Technischen Mechanik immer zuerst abgehandelt.[6]

Themenüberblick[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Fachwerk aus sechs Stäben mit zwei Kräften. Die oberen drei kleinen Kreise symbolisieren Drehgelenke, die unteren sind unverschiebliche (Fest-)Lager, in denen sich die Stäbe ebenfalls drehen können.

In den Lehrbüchern der Technischen Mechanik gibt es Einigkeit darüber, welche Themengebiete dazu zählen. Die Reihenfolge, in der sie abgehandelt werden variiert dabei nur wenig.

Die Kraft als zentrale Größe wird immer zu Beginn eingeführt. Manchmal wird gleich im Anschluss das eng verwandte Moment (Kraft mal Hebelarm) eingeführt,[7] häufig jedoch erst, wenn es für die allgemeinen Kraftsysteme benötigt wird.[8] Kraftsysteme erlauben es mehrere Kräfte zu einer Resultierenden zusammenzufassen, einzelne Kräfte aufzuspalten in mehrere Kräfte, vor allem solche, die parallel zu Koordinatenachsen sind und das Überprüfen, ob sich mehrere Kräfte im Gleichgewicht befinden oder das Berechnen unbekannter Kräfte, sofern sich die Kräfte im Gleichgewicht befinden.

Lager sind Bauteile, mit denen Körper mit ihrer Umgebung verbunden werden. Durch sie wirken Kräfte auf die betrachteten Körper ein. Diese Kräfte treten erst dann hervor, wenn die Lager in Gedanken entfernt und durch diese Kräfte ersetzt werden. Dieses Ersetzen wird als Freischneiden bezeichnet.

Reale Maschinen und Bauwerke bestehen häufig aus mehreren Teilen, die zusammengesetzt werden. Diese können an den Fügestellen in Gedanken freigeschnitten werden und in mehrere Teilsysteme zerlegt werden, um so die unbekannten Kräfte zu berechnen. Zu diesen Systemen zählen beispielsweise die Fachwerke. Kräfte oder Momente im Inneren von Körpern werden als Schnittgrößen bezeichnet. Sie werden in der Festigkeitslehre benötigt, lassen sich aber mit der Statik berechnen, falls die Körper statisch bestimmt gelagert sind. Weitere Themen, sind Reibung und Schwerpunkte (geometrischer Schwerpunkt und Massenschwerpunkt). Zur Reibung zählt auch die Haftreibung bei unbewegten Köpern und die Gleitreibung für bewegte Körper. Die Berechnung von Schwerpunkten wird benötigt, um die Wirkungslinie von resultierenden Kräften zu bestimmen, insbesondere falls die Kräfte auf Volumen, Flächen oder Linien verteilt wirken wie Druckkräfte (Fläche) oder Gewichtskräfte (Volumen).

Axiome der Statik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Statik basiert auf Axiomen, also Annahmen, die nicht bewiesen werden können, die jedoch mit Erfahrungen mit realen Körpern in Einklang stehen. Im Gegensatz zu den Newtonschen Axiomen, besteht über die Axiome der Statik weder in ihrer Reihenfolge noch ihrer Anzahl ein Konsens.[9] Folgende Axiome werden in der Literatur genannt:

  • Gleichgewichtsaxiom: Zwei Kräfte die auf einen starren Körper wirken, stehen genau dann im Gleichgewicht, wenn sie den gleichen Betrag haben, auf der selben Wirkungslinie sind und in entgegengesetzte Richtung zeigen.
Für deformierbare Körper gilt dies nur, falls die beiden Kräfte am selben Punkt angreifen. Wenn sie nur auf der selben Wirkungslinie liegen, so können die ihn stauchen oder strecken. Falls sie nur nicht auf der selben Wirkungslinie liegen, so drehen sie den Körper ohne ihn zu verschieben.[10][11]
  • Wechselwirkungsaxiom: Wenn eine Kraft von einem Körper auf einen anderen Körper wirkt, dann übt dieser auf den ersten eine Kraft aus die auf der selben Wirkungslinie liegt, den gleichen Betrag hat und der ersten Kraft entgegengerichtet ist.
Dies gilt auch für Kräfte im Inneren von Körpern.[12]
  • Linienflüchtigkeitsaxiom (auch Verschiebungssatz[13], Verschiebungsgesetz[14] oder Längsverschiebungssatz[15]): Eine Kraft die auf einen starren Körper einwirkt, darf entlang ihrer Wirkungslinie verschoben werden.
Für einen starren Körper macht es also keinen Unterschied, ob eine Kraft an ihm zieht oder ihn schiebt. Für deformierbare Körper macht dies jedoch einen Unterschied und ebenso für die Kräfte im Inneren beliebiger Körper (Schnittkräfte). Eine Verschiebung einer Kraft auf eine parallele Wirkungslinie darf dagegen nur durchgeführt werden, wenn das Versatzmoment berücksichtig wird.[16]
  • Axiom vom Kräfteparallelogramm: Zwei Kräfte die an einem gemeinsamen Punkt angreifen, können durch eine Resultierende Kraft ersetzt werden, die sich als Diagonale in dem Parallelogramm ergibt das von den beiden Kräften aufgespannt wird.
Dies gilt auch für den Spezialfall, dass sie auf derselben Wirkungslinie liegen. Das Parallelogramm entartet dann zu einer Strecke. Es gilt jedoch nicht für parallele Kräfte.
  • Überlagerungssatz: Zwei Kräfte, die sich im Gleichgewicht befinden, können einer Gruppe von Kräften hinzugefügt werden, ohne die Wirkung auf den starren Körper zu ändern.[17]

Grundbegriffe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die wichtigsten Grundbegriffe der Statik sind der starre Körper, die Kraft, das Moment und der Freiheitsgrad.

Starrer Körper[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein starrer Körper ist ein theoretischer Körper, der sich unter der Wirkung von Kräften nicht verformt. In der Realität gibt es zwar keine starren Körper, da sich jeder Körper verformt, bei vielen praktischen Problemstellungen sind diese Verformungen jedoch so klein, dass mit dem Modell des starren Körpers gute Ergebnisse erzielt werden können.[18]

Kraft[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Kraft ist eine physikalische Größe, die einen ruhenden Körper in Bewegung zu versetzen versucht. Wichtige Kräfte in der Technischen Mechanik sind die Gewichtskraft und die Reibungskraft einschließlich der Haftreibung. Kräfte werden in der Mechnik mathematisch als Vektor modelliert und durch einen Pfeil dargestellt. Sie sind durch mehrere Bestimmungsstücke definiert:

  1. Ihren Betrag, dargestellt als Länge des Pfeiles;
  2. Ihren Angriffspunkt, dargestellt als Fuß oder Anfangspunkt des Pfeiles;
  3. Ihre Wirkungslinie; sie wird meist nicht in Zeichnungen dargestellt. Sie ergibt sich als Gerade die durch Fußpunkt und Spitze des Pfeiles.
  4. Ihre Richtung.

Im Allgemeinen ist die Kraft ein punktgebundener Vektor, der sich auf den Angriffspunkt bezieht. In der Statik starrer Körper können Kräfte jedoch entlang ihrer Wirkungslinien verschoben werden; es handelt sich somit um einen linienflüchtigen Vektor.

Kräfte werden in der Mechanik nach verschiedenen Kriterien eingeteilt.[19]

Gleichstreckenlast q.

Nach der räumlichen Verteilung unterscheidet man:

  • Einzelkräfte oder Punktkräfte, die auf einen einzelnen Punkt einwirken. Es handelt sich um eine Idealisierung, die beispielsweise beim Einschlagen eines Nagels in guter Näherung erfüllt ist.
  • Eine Linienkraft oder Streckenlast ist auf eine Linie verteilt. Dies ist beispielsweise der Fall, wenn mit einem Messer entlang der Schneide eine Kraft ausgeübt wird.
  • Eine Flächenkraft oder Flächenlast wirkt auf eine Fläche, beispielsweise Druckkräfte von Flüssigkeiten auf Behälterwände oder Winde auf Gebäude. Häufig sind Flächenkräfte in einer oder mehreren Dimensionen konstant. Wenn von Körpern nur der Querschnitt betrachtet wird, werden aus Flächenkräften Streckenlasten.
  • Volumenkräfte wirken auf das gesamte Volumen eines Körpers ein. Dazu zählt vor allem die Gewichtskraft.

Nach der Ursache wird unterschieden zwischen:

  • Eingeprägte Kraft: Sie hat eine physikalische Ursache wie die Gewichtskraft oder der Winddruck.
  • Reaktionskraft: Sie reagieren auf äußere Einflüsse. Die Kraft, die im Fundament eines Bauwerkes seiner Gewichtskraft entgegenwirkt, ist umso größer, je schwerer das Bauwerk während der Bauarbeiten wird. Zu den Reaktionskräften zählt insbesondere auch die Lagerkraft und die Zwangskraft, die die Bewegungsmöglichkeiten von Körpern einschränken.

Nach ihrer Wirkung wird unterschieden zwischen der

  • Nahkraft, die nur wirkt, wenn sich die beiden Körper, zwischen denen sie wirkt, in direktem Kontakt befinden und der
  • Fernkraft, die auch über Entfernungen hinweg wirken kann wie die Gravitation oder elektrische und magnetische Kräfte.

Nach dem Wirkungsort wird unterschieden in die

  • Äußere Kraft, die von außen auf einen Körper einwirkt und die
  • Innere Kraft, die sich im Inneren eines Körpers wirkt. Dazu zählen die sogenannten Schnittgrößen.[20]

Moment[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Kräftepaar

Das Moment ist eine physikalische Größe, die auf einen Körper zu drehen versucht. In der Technischen Mechanik wird unterschieden zwischen dem Moment einer (einzelnen) Kraft bezüglich eines Punktes und dem Moment eines Kräftepaares (ohne Bezugspunkt). Das Moment einer einzelnen Kraft ist nur in Bezug auf einen beliebig wählbaren Punkt definiert. Es lässt sich berechnen aus dem senkrechten Abstand der Wirkungslinie dieser Kraft zum Bezugspunkt und dem Betrag der Kraft zu

.

Ein Kräftepaar besteht aus zwei Kräften, die den gleichen Betrag haben, auf parallelen Wirkungslinien liegen mit dem Abstand und in entgegengesetzte Richtung zeigen. Ein Kräftepaar kann einen Körper nicht verschieben wie eine Kraft, es versucht ihn jedoch zu drehen. Der Betrag des Momentes , das von dem Kräftepaar ausgeübt wird, ergibt sich zu aus dem Abstand und dem Betrag einer der beiden Kräfte zu

.

Das Moment eines Kräftepaares hat keinen Bezugspunkt und wirkt in der gesamten Ebene, in der die beiden Kräfte liegen. Ein Kräftepaar hat kann nicht durch eine resultierende Kraft ersetzt werden, aber durch sein Moment. Eine einzelne Kraft dagegen kann nicht durch ihr Moment ersetzt werden.[21][22]

Freiheitsgrade[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Freiheitsgrad eines Körpers ist eine Bewegungsmöglichkeit, die dieser prinzipiell hat. Ein starrer Körper, der sich nur innerhalb einer Ebene bewegen kann, kann in zwei Dimensionen verschoben werden und er kann gedreht werden. Somit verfügt er über drei Freiheitsgrade. Drehungen werden auch als Rotation bezeichnet und Verschiebungen als Translation. Ein starrer Körper, der sich im dreidimensionalen Raum bewegen kann, hat insgesamt sechs Freiheitsgrade: In jeder Dimension ist eine Rotation und eine Translation möglich. Deformierbare Körper haben darüber hinaus noch Freiheitsgrade der Verformung.[23]

Lager[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bauteile, mit denen die betrachteten Körper mit ihrer Umgebung verbunden sind, werden als Lager bezeichnet, die Art und Weise wie ein Körper gelagert ist, wird als Lagerung bezeichnet. Lager erlauben manche Bewegungen und unterbinden andere. Die Lager einer Tür beispielsweise erlauben ausschließlich eine Drehung und verhindern sämtliche anderen Bewegungen. Die Lager einer Schublade dagegen erlauben ausschließlich eine Verschiebung und unterbinden sämtliche Drehungen. Die Anzahl der Freiheitsgrade, die ein Lager unterbindet, wird als seine Wertigkeit bezeichnet. Die Lager der Tür und der Schublade sind somit fünfwertig, da sie von den sechs prinzipiell möglichen Bewegungen nur je eine erlauben. Lager können fest mit der Umgebung verbunden sein (Festlager) oder sie sind selbst verschieblich (Loslager). Eine Brücke beispielsweise, die nur an ihren Enden gelagert ist, wird üblicherweise mit einem Festlager und einem Loslager ausgestattet. Wenn sie sich durch Temperaturänderung ausdehnt, kann sich das Loslager bewegen. Für die zahlreichen Lager gibt es in der Technischen Mechanik entsprechende Symbole. Besonders häufig sind Lager, die Drehungen erlauben. Diese werden durch einen kleinen Kreis dargestellt.

Die drei häufigsten Symbole in ebenen Tragsystemen:

Lager können durch verschiedene Bauteile realisiert werden. Für Details siehe Lager (Bauwesen) und Lager (Maschinenelement).[24]

Schnittprinzip[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beispiel einer Welle
Ein gerader Balken (durchgezogene Linie), von zwei Seiten geschnitten mitsamt den freigeschnittenen Kräften und Momenten. Die gestrichelte Linie ist die Bezugsfaser und dient zur Verdeutlichung positiver Richtungen.

Die auf einen Körper einwirkenden Kräfte werden mit Ausnahme der Fernkräfte über angrenzende Körper (insbesondere Lager) eingeleitet und sind in Zeichnungen nicht sichtbar. Um diese Kräfte dennoch für Berechnungen zugänglich zu machen, wird eine Methode angewandt, die als Schnittprinzip bezeichnet wird. Der Vorgang wird als Freischneiden oder Freimachen bezeichnet. Dabei werden Körper in Gedanken ersetzt durch die Kräfte, die sie übertragen. Besondere Bedeutung hat das Schneiden der Lager, die durch ihre Lagerreaktionen ersetzt werden. Lager, die Verschiebungen verhindern, werden durch Kräfte ersetzt (Lagerkraft) und Lager die Drehungen verhindern durch Momente (Einspannmoment). Grundsätzlich kann jeder Körper an jeder beliebigen Stelle geschnitten werden. Die Schnittstellen werden in Zeichnungen durch geschwungene Linien verdeutlicht, sofern nicht die Lager freigeschnitten werden. Wenn beispielsweise ein Körper an einem Seil hängt, so kann der Körper durch seine Gewichtskraft ersetzt werden und das Seil in Gedanken geschnitten werden, wodurch die Seilkraft erscheint, die der Gewichtskraft entgegenwirkt.[24][25]

Kraftsysteme[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Kraftsystem oder eine Kraftgruppe ist eine Reihe von Kräften, die in einem System wirken. Also beispielsweise sämtliche Kräfte, die auf eine Brücke wirken, alle die auf ein Fahrzeug wirken oder nur die, die auf das Getriebe wirken. Bei freigeschnittenen Systemen zählen zu den Kräften auch die Schnittkräfte. Kräftesysteme erlauben mehrere Operationen. Dazu zählt die Zusammenfassung von mehreren Kräften zu einer Resultierenden und die Ermittlung von unbekannten Kräften über die Gleichgewichtsbedingungen. Damit lässt sich überprüfen, ob zwei verschiedene Kraftsysteme statisch äquivalent sind, also dieselbe Wirkung auf einen Körper haben. Weiters lässt sich überprüfen, ob sich ein Kraftsystem im Gleichgewicht befindet, oder mit der Annahme, dass es sich im Gleichgewicht befindet, die unbekannten Kräfte berechnen.

Kraftsysteme werden nach zwei verschiedenen Kriterien eingeteilt. Nach der Anzahl der Dimensionen unterscheidet man zwischen ebenen und räumlichen Kraftsystemen und nach dem Vorkommen von Momenten unterscheidet man nach zentralen Kraftsystemen (ohne Momente), bei denen sich die Wirkungslinien aller Kräfte in einem einzigen Punkt schneiden, sowie in die allgemeinen Kraftsysteme (mit Momenten), bei denen sich die Kräfte nicht in einem einzigen Punkt schneiden.[26]

Zusammenfassen und Aufteilen von Kräften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Kräfteparallelogramm

Zwei Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt lassen sich mittels des Kräfteparallelogramms zu einer Resultierenden zusammenfassen, die die gleiche Wirkung hat wie die Einzelkräfte. Mehr als zwei Kräfte mit gemeinsamen Angriffspunkt lassen sich zusammenfassen, indem zunächst von zwei Kräften eine Resultierende gebildet wird und der Vorgang dann wiederholt wird. Eine einzelne Kraft kann in zwei Kräfte aufgespaltet werden, die in vorgegebene Richtungen zeigen (beispielsweise Koordinatenachsen), wenn der Vorgang umgekehrt wird. Wenn die Kraft in mehr als zwei Kräfte zerlegt werden soll, deren Richtungen vorgegeben sind, so ist die Lösung nicht eindeutig.

Kräfte, bei denen sich die Wirkungslinien in einem gemeinsamen Punkt schneiden, können ebenfalls mit dem Kräfteparallelogramm zusammengefasst werden. Sie werden dazu zunächst entlang ihrer Wirkungslinien verschoben in den Schnittpunkt und dort zusammengefasst. Entsprechend funktioniert auch eine Zerlegung.

Falls sich die Wirkungslinien nicht in einem einzigen Punkt schneiden, lassen sich die Kräfte zusammenfassen, indem sie in einen Punkt verschoben werden. Bei der Parallelverschiebung auf eine andere Wirkungslinie entsteht dabei ein Versatzmoment, das berücksichtigt werden muss. Das System aus resultierender Kraft und dem Gesamtmoment wird als Dyname bezeichnet. Durch Parallelverschiebung der Kraft lässt sich das Moment beseitigen. Damit stehen Betrag, Richtung und Wirkungslinie der resultierenden Kraft fest.

Ein Spezialfall ist das Kräftepaar. Es lässt sich nicht zu einer resultierenden Kraft zusammenfassen, aber es lässt ersetzen sich durch sein Moment (ohne resultierende Kraft).[27]

Gleichgewicht[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Körper befindet sich im Gleichgewicht, wenn die resultierende Kraft und das resultierende Moment bezüglich eines beliebigen Punktes jeweils null ergeben. In einem ebenen Kräftesystem bedeutet dies:

  • Die Summe aller Kraftkomponenten in horizontaler Richtung beträgt null.
  • Die Summe aller Kraftkomponenten in vertikaler Richtung beträgt null.
  • Die Summe aller Momente bezüglich eines beliebigen Punktes beträgt null.

Im räumlichen Kraftsytem ergeben sich je Dimension je ein Kraftgleichgewicht und ein Momentengleichgewicht.

Mit diesen Gleichgewichtsbedingungen lässt sich für eine Reihe bekannter Kräfte überprüfen, ob sie im Gleichgewicht sind. Ist bekannt, dass sich ein Körper nicht bewegt und nur ein Teil der Kräfte bekannt ist, lassen sich mit den Gleichgewichtsbedingungen diese unbekannten Kräfte berechnen. Da im ebenen Fall nur drei unabhängige Gleichungen aufgestellt werden können, können für einen einzelnen Körper mit den Methoden der Starrkörperstatik nur drei Unbekannte berechnet werden. Im räumlichen Fall ergeben sich entsprechend sechs Gleichungen und Unbekannte für einen einzelnen Körper. Falls weitere Kräfte unbekannt sind, werden weitere Gleichungen benötigt, die dann Verformungen und Werkstoffkennwerte enthalten. Diese sind Gegenstand der Baustatik und der Festigkeitslehre. Bei mehreren Körpern, die zu einem größeren Körper verbunden sind, beispielsweise Einzelteilen, die zu Baugruppen und Modulen zusammengebaut sind, lässt sich für jeden Körper eine entsprechende Anzahl Unbekannter berechnen. Beispielsweise bei einem ebenen Fachwerk bestehend aus mehreren Stäben drei für jeden Stab.[28]

Systeme starrer Körper[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Gerberträger: Er besteht aus drei Balken, die mit zwei Gelenken (kleine Kreise) verbunden sind. Links befindet sich ein Festlager (Dreieck), in der Mitte und rechts insgesamt drei Loslager (Dreieck mit waagrechtem Strich).

Systeme starrer Körper bestehen aus mehreren starren Körpern, die miteinander verbunden sind. Die Verbindungen können ebenfalls starr sein oder durch Gelenke drehbar oder verschieblich sein. Berechnet werden diese Systeme, indem der Gesamtkörper geschnitten wird. Das Gesamtsystem zerfällt dann in mehrere Teilsysteme, wobei an den Schnittstellen die entsprechenden Kräfte und Momente angetragen werden.

Fachwerke sind Konstruktionen, die nur aus Stäben bestehen, die an den Verbindungsstellen (Knoten) gelenkig gelagert sind. Sie sind auf bestimmte Art und Weise miteinander verbunden, sodass die Knoten jeweils ein zentrales Kraftsystem bilden, also in den Stäben nur Zug- oder Druckkräfte übertragen werden, aber keine Querkräfte oder Momente, weshalb Fachwerke besonders einfach zu berechnen sind. Ähnliche Bedeutung haben Gerberträger als Brückenkonstruktion. Sie lassen sich ebenfalls relativ einfach berechnen. In ihnen wirken jedoch auch Momente.[29]

Schnittgrößen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Schnittgrößen an einem Einfeldträger mit Streckenlast q. Normalkraft N, Querkraft V, Biege­moment M. Die Querkraft ist an den Rändern am größten und hat einen linearen Verlauf. Der Momenten­verlauf folgt hier einem quadra­tischen Verlauf und hat sein Maximum in der Mitte.

Schnittgrößen sind Kräfte und Momente, die im Inneren von Körpern wirken. Sie können berechnet werden, indem die Körper in Gedanken durchgeschnitten werden. Von Interesse ist nicht die Schnittkraft an einer bestimmten Stelle, sondern der Verlauf der Schnittkräfte oder -momente über die Länge eines Stabes. Die Schnittgrößen werden zur Auslegung der Abmessungen der Bauteile oder Bauwerke benötigt (Bemessung oder Dimensionierung). Dazu muss jedoch die Festigkeit des Werkstoffes bekannt sein.

Bei einem ebenen Körper existieren drei Arten von Schnittgrößen:

  • Die Normalkraft, die senkrecht (normal) zur Schnittfläche wirkt, bei einem waagrechten Balken also in waagrechter Richtung.
  • Die Querkraft, die senkrecht zur Balkenachse steht. Bei einem waagrechten Balken also in senkrechter Richtung.
  • Das Biegemoment, das den Balken zu biegen versucht.

Bei räumlich ausgedehnten Körpern gibt es insgesamt sechs Schnittgrößen, pro Dimension eine Kraft und ein Moment. Gegenüber dem ebenen System kommt je ein weiteres Biegemoment und eine Querkraft hinzu, sowie das Torsionsmoment, das einen Stab zu verwinden (tordieren) versucht.[30]

Schwerpunkt[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Schwerpunkte werden benötigt, um die Wirkungslinien oder Angriffspunkte von verteilten Lasten zu berechnen. Dazu zählt die Gewichtskraft. Es wird unterschieden zwischen den rein geometrischen Schwerpunkten, wie dem Strecken-, Flächen- oder Volumenschwerpunkt, sowie dem Massenschwerpunkt.[31]

Grenzen der Statik und weiterführende Gebiete[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Das Gebiet der Starrkörperstatik unterliegt definitionsgemäß zwei Einschränkungen: Zum einen werden nur starre Körper behandelt, zum anderen nur Körper die sich in Ruhe befinden, wodurch die Mathematik die zur Beschreibung statischer Systeme nötig ist, vergleichsweise einfach wird. Mit Methoden der Starrkörperstatik nicht lösbar sind dagegen Berechnungen von Verformungen der Bauteile und Tragwerke, Kräften in statisch unbestimmten Systemen, Fragestellungen bei denen die Bewegung der Körper eine Rolle spielt oder Fragen nach der maximalen Kraft die in einem Bauteil auftreten darf, ohne dass es bricht.

Wenn nur die Einschränkung auf starre Körper aufgehoben wird, führt dies zu den Gebieten der Festigkeitslehre und der Baustatik. Lässt man stattdessen beschleunigte Bewegungen zu, so führt dies zur (Starrkörper-)Dynamik. Sowohl die Festigkeitslehre als auch die Dynamik sind fester Bestandteil der Technischen Mechanik wie sie in vielen ingenieurwissenschaftlichen Studiengängen vorkommt, die Baustatik nur im Bauingenieurwesen. Die Mathematik die für diese Gebiete nötig ist, befindet sich auf einem höheren Niveau.[32] So spielen beispielsweise Tensoren und Ableitungen eine große Rolle.

Festigkeitslehre[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In der Festigkeitslehre werden deformierbare - also nicht starre - Körper behandelt. Die auf die Körper wirkenden Kräfte und Momente führen dann zu Verformungen, z. B. der Durchbiegung eines Balkens infolge eines Biegemomentes. Üblicherweise werden die Kräfte auf die Querschnittsfläche der Bauteile bezogen auf die sie wirken, was zum Begriff der mechanischen Spannung führt (Kraft pro Fläche). Die namensgebende Festigkeit ist ein Materialkennwert, der angibt wie groß eine mechanische Spannung sein darf bevor das Bauteil bricht. Da die Verformungen mathematisch über Materialkennwerte mit den mechanischen Spannungen verbunden sind, lassen sich mit der Festigkeitslehre auch statisch unbestimmte Systeme berechnen.[33]

Baustatik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Baustatik ist ein weiterführendes Gebiet des Bauingenieurwesens. Wie auch die Festigkeitslehre nutzt sie Größen wie die mechanische Spannung, Verformung und Festigkeit. Ein besonderer Schwerpunkt liegt auf den verschiedenen Tragwerken, wie Fachwerken, Einfeldträgern, Scheibenverbindungen, Stabwerken und weiteren. Sie behandelt sowohl statisch bestimmte als auch unbestimmte Systeme.[34]

Dynamik[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Dynamik ist ein Gebiet das in der Technischen Mechanik beschleunigte Bewegungen behandelt. Mit bekannten Kräften und Massen können die Beschleunigungen berechnet werden. Beschleunigte Körper befinden sich nicht im (statischen) Gleichgewicht. Wenn zusätzlich zu den wirkenden Kräften noch die sogenannten D'Alembert'schen Trägheitskräfte berücksichtigt werden, so befinden sich diese im Dynamischen Gleichgewicht. Problemstellungen der Dynamik sind dann lösbar mit Methoden der Starrkörperstatik.[35]

Weblinks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

 Commons: Statik – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Werner Skolaut (Hrsg.): Maschinenbau – Ein Lehrbuch für das ganze Bachelor-Studium, Springer, 2014, S. 20.
  2. Dankert, Dankert: Technische Mechanik, Springer, 7. Auflage, 2013, S. 1.
  3. Bruno Assmann: Technische Mechanik 1 – Statik, Oldenbourg, 15. Auflage, 1999, S. 13.
  4. Joseph Honerkamp, Hartmann Römer: Klassische, theoretische Physik, Springer, 4. Auflage, 2012, S. 52.
  5. Karsten Kirchgessner, Marco Schreck: Lern- und Übungsbuch zur Theoretischen Physik 1 – Klassische Mechanik, Oldenbourg, 2014, S. V (Vorwort).
  6. Alfred Böge, Wolfgang Böge: Technische Mechanik, Springer, 31. Auflage, 2015, S. 2, 195 u. 197.
  7. Alfred Böge, Wolfgang Böge: Technische Mechanik, Springer, 31. Auflage, 2015, S. 1 f.
  8. Jürgen Dankert, Helga Dankert: Technische Mechanik, Springer, 7. Auflage, 2013, (Kraft) S. 1 ff, (Moment) S. 19 ff.
    Richard, Sander: Technische Mechanik – Statik, Springer, 5. Auflage, 2016, (Kraft) S. 5 ff., (Moment) S. 33 ff.
    Gross et. al.: Statik, 11. Auflage, 2011, S. 7, 49, 54.
    Sayir: Statik, 3. Auflage, S. 67, 87.
    Mahnken: Statik, 2012, S. 13, 97 f.
  9. Jürgen Dankert, Helga Dankert: Technische Mechanik – Statik, Festigkeitslehre, Kinematik/Kinetik, Springer, 7. Auflage, 2013, S. 3.
  10. Jürgen Dankert, Helga Dankert: Technische Mechanik – Statik, Festigkeitslehre, Kinematik/Kinetik, Springer, 7. Auflage, 2013, S. 4.
  11. Rolf Mahnken: Lehrbuch der Technischen Mechanik – Statik, Springer, 2012, S. 38.
  12. Rolf Mahnken: Lehrbuch der Technischen Mechanik – Statik, Springer, 2012, S. 40.
  13. Bruno Assmann: Technische Mechanik 1 – Statik, Oldenbourg, 15. Auflage, 1999, S. 20.
  14. Rolf Mahnken: Lehrbuch der Technischen Mechanik – Statik, Springer, 2012, S. 39.
  15. Alfred Böge, Wolfgang Böge: Technische Mechanik, Springer, 31. Auflage, 2015, S. 3.
  16. Jürgen Dankert, Helga Dankert: Technische Mechanik – Statik, Festigkeitslehre, Kinematik/Kinetik, Springer, 7. Auflage, 2013, S. 3.
  17. Bruno Assmann: Technische Mechanik 1 – Statik, Oldenbourg, 15. Auflage, 1999, S. 22.
  18. Dietmar Gross, Werner Hauger, Jörg Schröder, Wolfgang Wall: Technische Mechanik 1 – Statik, Springer, 11. Auflage, 2011, S. 9 f.
  19. Rolf Mahnken: Lehrbuch der Technischen Mechanik – Statik, Springer, 2012, S. 22.
  20. Dietmar Gross, Werner Hauger, Jörg Schröder, Wolfgang Wall: Technische Mechanik 1 – Statik, Springer, 11. Auflage, 2011, S. 8–14.
  21. Alfred Böge, Wolfgang Böge: Technische Mechanik, Springer, 31. Auflage, 2015, S. 4 f.
  22. Dietmar Gross, Werner Hauger, Jörg Schröder, Wolfgang Wall: Technische Mechanik 1 – Statik, Springer, 11. Auflage, 2011, S. 10 f.
  23. Alfred Böge, Wolfgang Böge: Technische Mechanik, Springer, 31. Auflage, 2015, S. 6.
  24. a b Mahnken: Lehrbuch der Technischen Mechanik – Statik, Springer, 2012, S. 27–33.
  25. Jürgen Dankert, Helga Dankert: Technische Mechanik, Springer, 7. Auflage, 2013, S. 5–8.
  26. Alfred Böge, Wolfgang Böge: Technische Mechanik, Springer, 31. Auflage, 2015, S. 21–24.
  27. Alfred Böge, Wolfgang Böge: Technische Mechanik, Springer, 31. Auflage, 2015, S. 9.
  28. Jürgen Dankert, Helga Dankert: Technische Mechanik, Springer, 7. Auflage, 2013, S. 48 f.
  29. Jürgen Dankert, Helga Dankert: Technische Mechanik, Springer, 7. Auflage, 2013, S. 62 f. u. S. 80.
  30. Rolf Mahnken: Lehrbuch der Technischen Mechanik – Statik, Springer, 2012, S. 332 f.
  31. Rolf Mahnken: Lehrbuch der Technischen Mechanik – Statik, Springer, 2012, S. 183.
  32. Gross, Hauger, Schröder, Wall: Technische Mechanik 3 - Statik, Springer, 13. Auflage, 2015, S. V (Vorwort).
  33. Sayir, Dual, Kaufmann, Mazza: Ingenieurmechanik 1 - Grundlagen und Statik, Springer, 3. Auflage, 2015, S. 154.
  34. Dieter Dinkler: Grundlagen der Baustatik, Springer, 4. Auflage, 2016, S. VI.
  35. Dankert, Dankert: Technische Mechanik, Springer, 7. Auflage, 2013, S. .520
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