Statische Bestimmtheit

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 Die Statische Bestimmtheit ist eine Eigenschaft statischer Systeme. Sie ist z. B. bei einem Tragwerk gegeben,

  1. wenn dieses so gelagert und aus seinen starren Bauteilen zusammengebaut werden kann, dass
    1. keine Zwängung (Vorverformung einzelner Bauteile) entsteht, und
    2. sekundäre Verformungen durch Wärmedehnung oder Versetzen der Lager-Fundamente das Tragwerk nicht beanspruchen und
    3. sich die beim Gebrauch des Tragwerks entstehenden Kräfte in den Lagern und inneren Verbindungen und die Beanspruchungen in den Querschnitten der Bauteile allein aus der Bedingung bestimmen lassen, dass die Summe der Kräfte und Drehmomente in jeder der drei Hauptrichtungen des Raums Null ist (Gleichgewichtsbedingungen);[1]
  2. wenn das betrachtete Tragwerk sich als Starrkörper verhält, also weder an seinen äußeren Festhaltungen (Lagern) noch an seinen inneren Verbindungsstellen Bewegungen ausführen kann (geringe Bewegungen an den Gelenken aufgrund der Verformung einzelner Bauteile unter Last (Dehnung) werden dabei außer Acht gelassen). Sein Freiheitsgrad ist dann f = 0.[A 1]

Wenn Bedingung 1 nicht erfüllt ist, liegt statische Überbestimmtheit vor (anderer Begriff: statische Unbestimmtheit), und die rechnerische Behandlung ist aufwändiger als bei statischer Bestimmtheit.
Wenn Bedingung 2 nicht erfüllt ist, liegt statische Unterbestimmtheit vor. Derartig ausgeführte Tragwerke besitzen aufgrund ihrer inneren oder äußeren Verbindungen mindestens eine Bewegungsmöglichkeit und würden somit zum Einsturz von statischen Systemen wie Gebäuden führen.

Relationen zwischen Reaktionen und Bewegungsmöglichkeiten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Ein Tragwerk ist statisch bestimmt, wenn jede Starrkörper-Bewegungsmöglichkeit genau durch eine Lager- oder Verbindungsreaktion unterbunden wird. D.h., wenn ein System statisch bestimmt ist, dann ist die Anzahl der Lager- und Verbindungsreaktionen gleich der Anzahl der möglichen Starrkörper-Bewegungsmöglichkeiten. Allerdings folgt daraus umgekehrt nicht zwingend, dass ein Tragwerk statisch bestimmt gelagert ist, wenn die Anzahl der Lager- und Verbindungsreaktionen gleich der Anzahl der möglichen Starrkörper-Bewegungsmöglichkeiten ist (es handelt sich also nur um eine hinreichende Bedingung für statische Bestimmtheit). Zur Bestimmung der Auflagerreaktionen und der Schnittgrößen reichen für statisch bestimmte Systeme in der Theorie I. Ordnung die Gleichgewichtsbedingungen aus.[2]
  • Ein Tragwerk ist statisch unbestimmt (bzw. statisch überbestimmt), wenn die Anzahl der Lager- und Verbindungsreaktionen die Anzahl der möglichen Starrkörper-Bewegungsmöglichkeiten übersteigt. Mindestens einer Starrkörper-Bewegungsmöglichkeit wirkt also mehr als eine Reaktion entgegen.[2] Die Bestimmung der Reaktionswerte ist im Allgemeinen nur unter Berücksichtigung der Verformungseigenschaften von Elementen solcher Tragwerke möglich (Theorie II. Ordnung).
  • Ein Tragwerk ist statisch unterbestimmt, wenn mindestens einer Starrkörper-Bewegungsmöglichkeit keine Reaktion entgegenwirkt, d. h. wenn der Körper sich im Sinne eines Starrkörpers (infinitesimal[A 2]) bewegen kann: frei verschieben oder drehen oder innere Verschiebungen einer kinematischen Kette.[2] Wenn die Anzahl der Lager- und Verbindungsreaktionen kleiner ist als die Anzahl der möglichen Starrkörper-Bewegungsmöglichkeiten, ist ein Tragwerk statisch unterbestimmt, allerdings folgt aus einer statischen Unterbestimmtheit nicht zwangsläufig, dass die Anzahl der Lager- und Verbindungsreaktionen kleiner ist als die Anzahl der möglichen Starrkörper-Bewegungsmöglichkeiten, da in der Abzählformel (s. u.) eine mehrfache statische Überbestimmtheit eine statische Unterbestimmtheit aufheben kann. Deshalb sind andere Methoden als die Abzählformel, wie das Aufbau/Abbaukriterium oder aus der Anschauung, zuverlässiger.

Grad der statischen Unbestimmtheit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Grad der statischen Unbestimmtheit wird in der Baustatik mit der ganzzahligen Größe    angegeben:

    n-fach statisch unbestimmt (statisch überbestimmt[3][4][5]),
      i. d. R.[6] statisch bestimmt,
    n-fach verschieblich (statisch unterbestimmt[7][8][9]).

Aufbau/Abbaukriterium[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Beim Aufbaukriterium ist es zielführend von einem statisch bestimmten Grundsystem auszugehen und durch Ergänzen/Entfernen von Bindungswertigkeiten/Lagerreaktionen das gewünschte System zu bekommen.[10] Hierbei startet man üblicherweise bei einem

  • Träger auf zwei Stützen
  • einem Kragarm
  • Einem Dreigelenkrahmen
  • einem dreieckigen Fachwerk aus drei gelenkig verbunden Stäben

Beispiel: Bei einem System ist der Grad der statischen Unbestimmtheit gesucht. Es wird ein (ähnliches) statisch bestimmtes Grundsystem gewählt und anschließend statisch bestimmte Kragarme hinzugefügt. Man fügt Bindungen und Lagerreaktionen hinzu (bzw. bei kinematischen Systemen entfernt sie) und zählt ihre Wertigkeit zusammen.

Allgemeines Abzählkriterium[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Bestimmung von n kann mit der folgenden, als Abzählkriterium bekannten Formel erfolgen:[11][12][13]

ebene Tragwerke:
räumliche Tragwerke:

Hierbei sind:

 : Anzahl der möglichen Auflagerkräfte (Wertigkeiten der Auflager)
 : Anzahl der möglichen Zwischenkräfte (Wertigkeiten der Verbindungen),
 : Anzahl der starren Bauteile/Träger.

durch Umformen bekommt man auch folgende alternative Formel:

[14]

mit

  • : Anzahl der möglichen Auflagerkräfte (Wertigkeiten der Auflager)
  • : Anzahl der Abschnitte des Durchlaufträgers zwischen den für gezählten Punkten
  • : Anzahl der Knoten/Stabenden
  • : Anzahl der nicht unterbunden Relativbewegungen zwischen den verbunden Stäben
Gerberträger: a = 5, z = 4, t = 3 ⇒ n=0

Rechenbeispiel: (ebener) Starrkörper-Gerberträger

      ⇐       der Gerberträger ist ein statisch bestimmtes Tragwerk.
a = 5, z = 4, t = 3 ⇒ n=0 ist aber statisch überbestimmt als auch statisch unterbestimmt.

Das Abzählkriterium ist zwar eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung. Unter- und Überbestimmtheiten können sich bei diesem Verfahren gegenseitig aufheben. Beispiel hierfür ist ein zweiteiliger Balken, der auf drei Loslagern liegt: Trotz ermitteltem n = 0 ist er offensichtlich nicht statisch bestimmt.[15][12] Daher ist zusätzlich z. B. mit der Kinematik durch einen Polplan eine Aussage über die Verschieblichkeit des Tragwerks zu treffen.

Abzählkriterium für ebene Fachwerke[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

ein ebenes Fachwerk:
z = 5, a = 4, s = 6

Für ebene ideale Fachwerke kann ein vereinfachtes Abzählkriterium verwendet werden, da alle Stäbe beidseitig gelenkig verbunden sind:[16][12]

Hierbei sind:

: Summe der in den Auflagerdrehgelenken unterbundenen Bewegungsmöglichkeiten (Wertigkeiten der Auflager)
: Anzahl der Stäbe
: Anzahl der Drehgelenkesknoten (Auflager + Verbindungen).

Dieses Abzählkriterium ergibt sich daraus, dass bei Fachwerken in den Auflagern und Verbindungen nur Drehgelenke vorkommen (oder als solche bewertet werden).

Beispiel: nebenstehend abgebildetes Fachwerk

      ⇐       das nebenstehend abgebildete Fachwerk ist statisch bestimmt.

Auch das Abzählkriterium für Fachwerke ist nur eine notwendige, aber nicht hinreichende Bedingung für den Nachweis statischer Bestimmtheit.[17]

Gleichgewichtsbedingungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Alle statisch bestimmten Systeme können mit den Gleichgewichtsbedingungen, auch Äquivalenzbedingungen, berechnet werden.

Ebenes System[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Statisch bestimmtes System in der Ebene: Balken mit Festlager (links) und Loslager (rechts)

In einem starren ebenen System ist der Freiheitsgrad = 3: Zwei translatorische Bewegungsmöglichkeiten und eine rotatorische Bewegungsmöglichkeit. Um ein bestimmtes Gleichungssystem zu erhalten, sind daher drei Gleichungen nötig. Jede dieser drei Gleichungen behandelt eine Bewegungsmöglichkeit. Die Summen der Horizontalkräfte, Vertikalkräfte und Momente für einen festgelegten Bezugspunkt A müssen bei einem Gleichgewichtssystem 0 sein:

Der Äquivalenzsatz für allgemeine Kräftesysteme, der auf die Reduktion auf Dynamen beruht, besagt, dass bei den Gleichgewichtsbedingungen Kräftegleichungen durch Momentengleichungen ersetzt werden dürfen. Mögliche Gleichgewichtsbedingungen in der Ebene sind damit auch:

Bei dieser Vorgehensweise muss jedoch auf möglicherweise auftretende lineare Abhängigkeiten geachtet werden. Werden beispielsweise nur Momentengleichungen verwendet und liegen alle Bezugspunkte auf einer Geraden, so liegt keine gültige Äquivalenzbedingung vor.[12]

In einem zentralen Kräftesystem, also einem Kräftesystem, in dem sich die Wirkungslinien aller Kräfte in einem Punkt schneiden, treten keine Momente auf, sodass hier nur zwei Gleichungen nötig sind:

[12]

Räumliches System[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Im Raum gibt es drei translatorische und drei rotatorische Bewegungsmöglichkeiten, somit besteht die Gleichgewichtsbedingung aus sechs Gleichungen: Drei Gleichungen behandeln die Kraft in jeder der drei Koordinatenrichtungen, drei weitere Gleichungen das Moment in jeder der drei Koordinatenrichtungen:

Auch im Raum ist es möglich, eine oder mehrere Kräftegleichungen durch Momentengleichungen zu ersetzen.

Schnittgrößen infolge Zwang[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In statisch bestimmten Systemen verursachen Verformungen durch Verschiebungen und Verdrehungen der Lager, Temperaturdehnungen, Kriechen und Schwinden von Beton i. A. keine Schnittgrößen, jedoch können Eigenspannungen auftreten. Durch Verformungen können z. B. Schiefstellung von Stützen hervorgerufen werden, was i. d. R. zu einer Änderung der Schnittgroßen führt.

Vor allem im Verbundbau dürfen Eigenspannungen infolge Verformungen i. A. selbst bei statisch bestimmten Systemen nicht vernachlässigt werden, man spricht dann von primären Zwängsspannungen, welche (ohne äußere Belastung) bei statisch überbestimmten Systemen zu sekundären Zwängsspannungen führen.

In statisch unbestimmten Systemen entstehen durch die o. g. Einwirkungen i. A. Schnittgrößen.

Bei der Berechnung statischer (bzw. dynamischer) Systeme sind Zwängsspannungen i. A. zu berücksichtigen.

Innere und äußere statische Bestimmtheit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Bei einer Reihe von Stabtragwerken ist es zweckmäßig und anschaulich, zwischen innerer und äußerer statischer Bestimmtheit zu unterscheiden:

  • ein System heißt innerlich statisch bestimmt, falls die Schnittgrößen an geschnittenen Teilsystemen mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen aus der Belastung berechnet werden können;
  • ein System oder Systemteil heißt äußerlich statisch bestimmt, wenn die äußeren Lagerreaktionen allein mit Hilfe der Gleichgewichtsbedingungen aus der Belastung berechnet werden können.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Der Einfeldträger wird häufig als Grundbeispiel für ein statisches System angeführt

Statisch bestimmte Systeme sind zum Beispiel:

Statisch unbestimmte Systeme sind zum Beispiel:

Beispiele für ein äußerlich bestimmtes, aber innerlich unbestimmtes System:

  • Rahmenfachwerkträger.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Anmerkungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. In kinematischen Systemen ist in einer anlogen Betrachtung festzustellen, ob z. B. ein Getriebe lauffähig ist, den erforderlichen Laufgrad F ≥ 1 hat.
  2. z. B. ein Träger auf zwei Stützen, bei dem man ein Gelenk in der Mitte einfügt

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Beuth Verlag: Begriffe aus dem Baulexikon [1]
  2. a b c K. Meskouris, E. Hake: Statik der Stabtragwerke: Einführung in die Tragwerkslehre. Springer, 1999, ISBN 978-3-540-66136-8, S. 44 f. (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  3. Oliver Romberg, Nikolaus Hinrichs: Keine Panik vor Mechanik! – Erfolg und Spaß im klassischen „Loser-Fach“ des Ingenieurstudiums. In: Studieren ohne Panik. 8., überarbeitete Auflage. Band 4. Vieweg+Teubner Verlag, 2011, ISBN 978-3-8348-1489-0 (349 S., springer.com [PDF] Erstausgabe: 1999).
  4. B. Kauschinger, St. Ihlenfeldt: 6. Kinematiken. Abgerufen am 27. Dezember 2016.
  5. Jürgen Fröschl, Florian Achatz, Steffen Rödling, Matthias Decker: Innovatives Bauteilprüfkonzept für Kurbelwellen. In: MTZ-Motortechnische Zeitschrift. Band 71, Nr. 9. Springer, 2010, S. 614–619 (springer.com).
  6. Es kann bei n = 0 eine x-fache statische Überbestimmtheit und gleichzeitig eine x-fache statische Unterbestimmtheit vorliegen, die sich in der Formel aber nicht in den mechanischen Eigenschaften aufhebt. Mit x ∈ .
  7. Tobias Nef, Gery Colombo, Robert Riener: ARMin – Roboter für die Bewegungstherapie der oberen Extremitäten. In: Automatisierungstechnik. Band 53, Nr. 12, 2005.
  8. Wilhelm Schröder: Feinpositionierung mit Kugelgewindetrieben. Nr. 11907. Diss. Techn. Wiss. ETH Zürich, 1996, doi:10.3929/ethz-a-001702546 (ethz.ch [PDF]).
  9. Dieter Dinkler: Grundlagen der Baustatik Modelle und Berechnungsmethoden für ebene Stabtragwerke. Springer, 20. März 2012, Grundlagen der Berechnungsverfahren, S. 31–64 (springer.com).
  10. Bernhard Pichler, Josef Eberhardsteiner: Baustatik VO – LVA-Nr. 202.065. Hrsg.: E202 Institut für Mechanik der Werkstoffe und Strukturen – Fakultät Bauingenieurwesen, TU Wien. SS 2016 Auflage. TU Verlag, Wien 2016, ISBN 978-3-903024-17-5, Drehwinkelverfahren (520 S., tuverlag.at – Erstausgabe: 2012).
  11. Roman Harcke: Statische Bestimmtheit Abzählkriterium
  12. a b c d e Bernd Markert: Mechanik 1 Stereostatik. Statik starrer Körper. Institut für Allgemeine Mechanik, Aachen 2014.
  13. Oliver Romberg, Nikolaus Hinrichs: Keine Panik vor Mechanik. Vieweg & Teubner Verlag, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-1489-0, S. 35.
  14. Statik lernen. Grundlagen. Archiviert vom Original am 27. August 2016; abgerufen am 14. Oktober 2017.
  15. B. Marussig: Kraftgrößenverfahren, Seite 6: Nachteile des Abzählkriteriums
  16. statik-lernen.de: Statische (Un-)Bestimmtheit Abzählkriterium
  17. Marussig, Kraftgrößenverfahren, Seite 5, Beispiel d: Abzählkriterium nicht hinreichend