Topologischer Nullteiler

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Ein topologischer Nullteiler ist ein Begriff aus der mathematischen Theorie der Banachalgebren. Unter Ausnutzung der Topologie wird der algebraische Begriff des Nullteilers verallgemeinert.

Definition[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sei eine Banachalgebra über dem Körper der komplexen Zahlen. Ein von 0 verschiedenes Element heißt linker topologischer Nullteiler, falls es eine Folge in A gibt mit:

  1. für alle ,
  2. .

Ein rechter topologischer Nullteiler wird analog definiert, wobei im letzten Punkt natürlich zu schreiben ist.

Ein beidseitiger oder zweiseitiger topologischer Nullteiler ist ein linker und gleichzeitig rechter topologischer Nullteiler. [1] [2]

In kommutativen Banachalgebren fallen diese drei Begriffe zusammen und man spricht einfach von topologischen Nullteilern. Manche Autoren lassen auch 0 als topologischen Nullteiler zu; hier liegt also die gleiche uneinheitliche Situation wie bei den algebraischen Nullteilern vor.

Beispiele[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  • Linke (rechte, zweiseitige) Nullteiler sind linke (rechte, zweiseitige) topologische Nullteiler; man kann in diesem Fall eine konstante Folge wählen.
Skizze zu den verwendeten Funktionen
  • In der Funktionenalgebra der stetigen Funktionen auf dem Einheitsintervall [0,1] mit der Supremumsnorm ist ein topologischer Nullteiler, der kein Nullteiler ist. ist kein Nullteiler, denn ist , so muss zunächst für gelten, da auf nicht 0 ist. Die Stetigkeit von liefert dann für alle die Eigenschaft und damit muss (also die Nullfunktion auf ) sein und ist kein Nullteiler.
Um zu sehen, dass ein topologischer Nullteiler ist, betrachte die Funktionen
Dann ist , und damit als topologischer Nullteiler nachgewiesen.
  • Ist eine Banachalgebra mit Einselement 1, kein Vielfaches des Einselements und aus dem topologischen Rand des Spektrums von , so ist ein topologischer Nullteiler. Daraus ergibt sich mit dem Satz von Gelfand-Mazur folgende auf W. Żelasko zurückgehende Aussage: Entweder ist isomorph zu oder hat topologische Nullteiler.[3]

Permanent singuläre Elemente[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ein Element einer Banachalgebra heißt bekanntlich singulär, wenn es nicht invertierbar ist. Ein Element heißt permanent singulär, falls es keine Banachalgebra gibt mit (bzw. ist isometrisch in eingebettet), so dass es in invertierbar ist. Es gilt folgender von R. Arens bewiesener Satz[4]:

  • Ein Element einer kommutativen -Banachalgebra ist genau dann permanent singulär, wenn es ein topologischer Nullteiler ist.

Nullteiler[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man kann jeden topologischen Nullteiler einer Banachalgebra als echten (algebraischen) Nullteiler einer umfassenden Banachalgebra realisieren. Genauer gilt[5]:

  • Zu jeder Banachalgebra gibt es eine Banachalgebra , so dass folgendes gilt:
  1. ist isometrisch isomorph zu einer Unterbanachalgebra von .
  2. Jeder linke (rechte, zweiseitige) topologische Nullteiler von ist ein linker (rechter, zweiseitiger) Nullteiler in .

Zur Konstruktion von sei die Algebra aller beschränkten Folgen in . Für sei . Dann ist ein Ideal in und der Quotient ist mit der durch induzierten Quotientennorm eine Banachalgebra. Mittels konstanter Folgen kann man isometrisch isomorph in einbetten. Ist nun ein linker topologischer Nullteiler, so gibt es definitionsgemäß eine Folge in mit . Daher ist , aufgefasst als Element in , ein linker Nullteiler.

Einzelnachweise[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Wiesław Żelazko: Banach Algebras, Elsevier (1973), ISBN 0-444-40991-2, §14: Topological Divisors of Zero
  2. F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3-540-06386-2, §1.12
  3. Wiesław Żelazko: Banach Algebras, Elsevier (1973), ISBN 0-444-40991-2, §14.4
  4. Wiesław Żelazko: Banach Algebras, Elsevier (1973), ISBN 0-444-40991-2, §14.7
  5. Wiesław Żelazko: Banach Algebras, Elsevier (1973), ISBN 0-444-40991-2, §14.8