Trigamma-Funktion

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Die Trigammafunktion in der komplexen Zahlenebene.

In der Mathematik ist die Trigamma-Funktion die zweite Polygammafunktion[1]; die erste Polygammafunktion ist die Digammafunktion . Die Trigammafunktion ist damit eine spezielle Funktion und wird üblicherweise mit bezeichnet und als zweite Ableitung der Funktion definiert, wobei die Gammafunktion bezeichnet.

Definition und weitere Darstellungen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die Definition lautet:

Daraus folgt der Zusammenhang mit der Digammafunktion , dass

die Trigammafunktion die Ableitung der Digammafunktion ist.

Aus der Summendarstellung

folgt, dass die Trigammafunktion ein Spezialfall der hurwitzschen -Funktion[2] ist.

Eine Darstellung als Doppelintegral ist

Außerdem gilt

Berechnung und Eigenschaften[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Die asymptotische Berechnung schließt die Bernoulli-Zahlen ein:

.

Zwar ist die Reihe für kein mit konvergent, jedoch stellt diese Formel für nicht zu groß gewählte eine sehr gute Näherung dar. Je größer ist, desto größer kann gewählt werden.

Die Rekursionsformel der Trigammafunktion lautet:

Die Funktionalgleichung der Trigammafunktion hat die Form einer Reflexionsgleichung und ist gegeben durch:

Hier ist der Kosekans.

Spezielle Werte[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Es folgt eine Auflistung einiger spezieller Werte der Trigammafunktion, wobei die Catalansche Konstante, die Riemannsche Zetafunktion und die Clausen-Funktion[3] bezeichnet.

Referenzen[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

  1. Eric W. Weisstein: Polygamma Function. In: MathWorld (englisch).
  2. Eric W. Weisstein: Hurwitz Zeta Function. In: MathWorld (englisch).
  3. Eric W. Weisstein: Clausen Function. In: MathWorld (englisch).