Zweipunkteform

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Die Zweipunkteform oder Zwei-Punkte-Form ist in der Mathematik eine spezielle Form einer Geradengleichung. In der Zweipunkteform wird eine Gerade in der euklidischen Ebene oder im euklidischen Raum mit Hilfe zweier Punkte der Gerade dargestellt. Die Koordinatendarstellung einer Gerade in der Ebene erfolgt in der Zweipunkteform mit Hilfe des Steigungsdreiecks der Geraden. In Vektordarstellung dient der Ortsvektor eines der beiden Punkte als Stützvektor der Gerade, während der Differenzvektor zu dem Ortsvektor des anderen Punkts den Richtungsvektor der Gerade bildet.

Die der Zweipunkteform entsprechende Form einer Ebenengleichung wird Dreipunkteform genannt.

Koordinatendarstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Darstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zweipunkteform einer Geradengleichung

In der Zweipunkteform wird eine Gerade in der Ebene, die durch die beiden verschiedenen Punkte und verläuft, als die Menge derjenigen Punkte beschrieben, deren Koordinaten die Gleichung

erfüllen. Hierbei müssen und verschieden sein und darf nicht gleich gewählt werden. Wird die Geradengleichung nach aufgelöst, erhält man die explizite Darstellung

,

die auch für verwendet werden kann. Ohne Einschränkung gültig ist die Darstellung

.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Sind beispielsweise die beiden gegebenen Geradenpunkte und , so erhält man als Geradengleichung

oder aufgelöst nach

beziehungsweise

.

Herleitung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Diese Darstellung einer Geradengleichung folgt daraus, dass für die Steigung einer Gerade

gilt. Nach dem Strahlensatz kann nun anstelle des Punkts ein beliebiger Geradenpunkt gewählt werden, ohne dass sich das Verhältnis verändert. Damit gilt dann auch

.

Durch Gleichsetzen dieser beiden Gleichungen folgt daraus dann die Zweipunkteform. Letztere Gleichung entspricht der Punktsteigungsform einer Geradengleichung.

Darstellung als Determinante[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Gerade, die durch zwei vorgegebene Punkte verläuft, kann mit Hilfe der Determinante einer Matrix auch über die Gleichung

oder äquivalent dazu durch

definiert werden. Eine solche Darstellung wird auch als Determinantenform einer Geradengleichung bezeichnet.

Vektordarstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Zweipunkteform einer Geradengleichung mit Vektoren

Darstellung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

In Vektordarstellung wird eine Gerade in der Ebene in der Zweipunkteform durch die Ortsvektoren und zweier Punkte der Gerade beschrieben. Eine Gerade besteht dann aus denjenigen Punkten in der Ebene, deren Ortsvektoren die Gleichung

  für  

erfüllen. Der Vektor dient dabei als Stützvektor der Gerade, während der Differenzvektor den Richtungsvektor der Gerade bildet. Die Punkte der Gerade werden dabei in Abhängigkeit von dem Parameter dargestellt, wobei jedem Parameterwert genau ein Punkt der Gerade entspricht. Damit handelt es sich hier um eine spezielle Parameterdarstellung der Gerade.

Beispiel[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ausgeschrieben lautet die Zweipunkteform einer Geradengleichung

mit . Sind beispielsweise die beiden Ortsvektoren und , so erhält man als Geradengleichung

.

Jede Wahl von , beispielsweise oder , ergibt dann einen Geradenpunkt.

Berechnung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Aus der Parameterform einer Geradengleichung mit Stützvektor und Richtungsvektor lässt sich neben dem Stützvektor ein weiterer Ortsvektor eines Punkts der Gerade einfach durch Wahl von

finden. Aus den weiteren Formen von Geradengleichungen, der Koordinatenform, der Achsenabschnittsform, der Normalenform und der hesseschen Normalform, wird zunächst die zugehörige Parameterform der Gerade ermittelt (siehe Berechnung der Parameterform) und daraus dann die Zweipunkteform.

Homogene Koordinaten[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine verwandte Darstellung einer Gerade mit Hilfe zweier Geradenpunkte verwendet baryzentrische Koordinaten. Eine Gerade in der Ebene wird dann durch die Gleichung

  für     mit  

beschrieben. Hierbei sind die normierten baryzentrischen Koordinaten eines Geradenpunkts. Sind beide Koordinaten positiv, so liegt der Geradenpunkt zwischen den beiden vorgegebenen Punkten, ist eine Koordinate negativ, außerhalb. Bei den baryzentrischen Koordinaten handelt es sich um spezielle homogene affine Koordinaten, während in der Zweipunkteform inhomogene affine Koordinaten verwendet werden.

Verallgemeinerung[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Allgemein lassen sich durch die Zweipunkteform nicht nur Geraden in der Ebene, sondern auch in drei- und höherdimensionalen Räumen beschreiben. Im -dimensionalen euklidischen Raum besteht eine Gerade entsprechend aus denjenigen Punkten, deren Ortsvektoren die Gleichung

  für  

erfüllen. Es wird dabei lediglich mit -komponentigen statt zweikomponentigen Vektoren gerechnet. Auch die Darstellung mit baryzentrischen Koordinaten bleibt in höherdimensionalen Räumen in analoger Form erhalten.

Literatur[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]