Snelliussches Brechungsgesetz

Brechung und Reflexion eines Lichtstrahls beim Eintritt in Glas. Der nach rechts oben reflektierte Strahl hat den gleichen Winkel zum Lot auf die Oberfläche wie der von links oben einfallende Strahl (jeweils 60°). Der Winkel des ins Glas eindringenden Strahls (Brechungswinkel) beträgt in Übereinstimmung mit dem Brechungsgesetz nur 35°.

Das Brechungsgesetz, auch Snelliussches Brechungsgesetz, Snelliussches Gesetz oder Snellius-Gesetz beschreibt die Richtungsänderung eines Lichtstrahls beim Übergang in ein anderes Medium. Ursache der Brechung genannten Richtungsänderung ist die Änderung der materialabhängigen Phasengeschwindigkeit, die als Brechungsindex in das Brechungsgesetz eingeht.

Das Brechungsgesetz ist nach dem niederländischen Astronomen und Mathematiker Willebrord van Roijen Snell benannt, in einigen Sprachen nach der latinisierten Form „Snellius“.

Das Gesetz

Winkelabhängigkeit bei der Brechung für die Medien Luft, Wasser und Glas. Bis zu Winkeln von etwa 50° ist Proportionalität eine gute Näherung.

Die Richtung des einfallenden Strahls und das Lot auf die Grenzfläche bestimmen die Einfallsebene. In dieser Ebene liegen auch der gebrochene und der reflektierte Strahl. Die Winkel werden zum Lot hin gemessen. Das Brechungsgesetz ist folgende Beziehung zwischen dem Einfallswinkel $\delta _{1}$ und dem Winkel $\delta _{2}$ des gebrochenen Strahls:

$n_{1}\sin(\delta _{1})=n_{2}\sin(\delta _{2})$.

Darin sind $n_{1}$ und $n_{2}$ die Brechungsindizes der jeweiligen Medien. Luft hat einen Brechungsindex, der sehr nahe an $n=1$ liegt. Beim Übergang von Luft zu Glas kann daher das Brechungsgesetz genähert werden als:

$\sin(\delta _{\mathrm {Luft} })=n_{\mathrm {Glas} }\sin(\delta _{\mathrm {Glas} })$.

Der Brechungsindex eines optischen Mediums ist im Allgemeinen abhängig von der Wellenlänge. Diese Dispersion geht in das Brechungsgesetz ein. Unterschiedliche Wellenlängen werden unterschiedlich stark gebrochen. Dies wird bei Dispersionsprismen zur Auftrennung des Lichts nach Farben ausgenutzt.

Das Brechungsgesetz gilt nur für schwach absorbierende Medien.

Geschichte

Brechung wurde von Ptolemäus in seinem Werk „Optik“ beschrieben. Sein lineares Gesetz gilt aber nur für kleine Winkel. Korrekt angegeben wurde das Brechungsgesetz zum ersten Mal im 10. Jahrhundert von Ibn Sahl. 1601 wurde es von Thomas Harriot wiederentdeckt, aber nicht veröffentlicht. 1618 wurde es von dem Holländer Willebrord van Roijen Snell und fast zur gleichen Zeit von René Descartes beschrieben.

Herleitung

Eine ebene Welle, die sich über eine Grenzfläche fortpflanzt. Hinter der Grenzfläche hat das Medium einen höheren Brechungsindex und die Welle eine geringere Wellenlänge.

Der Brechungsindex $n$ eines Mediums gibt an, um wie viel dort die Phasengeschwindigkeit $c$ und die Wellenlänge $\lambda$ geringer bzw. kürzer sind als im Vakuum:

$n={\frac {c}{c_{\rm {Medium}}}}={\frac {\lambda }{\lambda _{\rm {Medium}}}}\,.$

Von einem Medium in ein anderes ändert sich die Wellenlänge um den Faktor $n_{1}/n_{2}$, beim rechts dargestellten Übergang in ein optisch dichteres Medium ($n_{2}>n_{1}$) wird die Welle also gestaucht. Diese Stauchung führt zur Ablenkung.

Schematische Darstellung zur Herleitung des Brechungsgesetzes

Im 2. Bild ist der gleiche Vorgang schematisch dargestellt. Zwischen zwei parallel verlaufenden Strahlen ist an zwei besonderen Stellen eine Wellenfront eingezeichnet: Die Wellenfront hat auf dem einen Strahl die Grenzfläche gerade erreicht (A) und muss auf dem anderen Strahl noch die Strecke L₁ (= |BB'|) im Medium 1 zurücklegen bis sie die Grenzfläche (bei B') berührt. Dazu benötigt der zweite Strahl im Medium 1 die Zeit $t$:

$t={\frac {L_{\mathrm {1} }}{c_{\mathrm {Medium,1} }}}=L_{\mathrm {1} }{\frac {n_{1}}{c}}\,.$

Analog dazu durchläuft in dieser Zeit der erste Strahl die Strecke L₂ (= |AA'|) im Medium 2. Durch Umstellung und Gleichsetzung nach c ergibt sich, dass die Strecke $L_{2}$ um obigen Stauchungsfaktor $n_{1}/n_{2}$ kürzer ist als $L_{1}$.

Zwischen der Grenzfläche und den beiden Wellenfronten treten die gleichen Winkel $\delta _{1}$ und $\delta _{2}$ auf, wie zwischen dem Lot und den einfallenden bzw. gebrochenen Strahlen. Die Gegenkatheten dieser Winkel sind L₁ bzw. L₂, die in der Grenzfläche liegende Hypotenuse der Länge |AB'| haben sie gemeinsam. Folglich gilt

$\sin \delta _{1}={\frac {L_{1}}{|AB'|}}$

und

$\sin \delta _{2}={\frac {L_{2}}{|AB'|}}$.

Durch Umstellung und Gleichsetzung nach |AB'| ergibt sich daraus

${\frac {\sin \delta _{1}}{\sin \delta _{2}}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}\,.$

bzw. mit der oben genannten Beziehung zwischen Brechungsindex und den Strecken $L_{1}$ und $L_{2}$

${\frac {\sin \delta _{1}}{\sin \delta _{2}}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}\,,$

was zum Brechungsgesetz äquivalent ist.

Beziehung zum fermatschen Prinzip

→ Hauptartikel: Fermatsches Prinzip

Das Brechungsgesetz kann auch aus dem fermatschen Prinzip gefolgert werden, das besagt, dass kleine Änderungen des Weges, den das Licht zwischen zwei Punkten P und Q nimmt, die optische Weglänge nicht ändern. Im Fall der Brechung wäre eine systematische Variation die Verschiebung des Knickpunktes innerhalb der Grenzfläche, etwa von A nach B' im vorstehenden Bild. Bei der Verschiebung, die so klein ist im Vergleich zur Entfernung zu den Punkten P und Q, dass sich dabei die Winkel nicht ändern, vergrößert sich der geometrische Weg im Medium 1 um L₁, während im Medium L₂ hinzukommt. Wegen der verschiedenen Phasengeschwindigkeit ändert sich insgesamt die Phase nicht.

Totalreflexion

→ Hauptartikel: Totalreflexion

Für $n_{1}>n_{2}$ und genügend große $\delta _{1}$ ist

$\sin \delta _{2}={\frac {n_{1}}{n_{2}}}\sin \delta _{1}>1$

und damit durch kein (reelles) $\delta _{2}$ erfüllbar. In diesen Fällen tritt Totalreflexion auf, bei der das Licht vollständig reflektiert wird.

Für den Grenzwinkel der Totalreflexion $\delta _{g}$ gilt Gleichheit, also

$\sin \delta _{g}={\frac {n_{2}}{n_{1}}}\,.$

Totalreflexion wird zum Beispiel in Umkehrprismen von Ferngläsern genutzt.

Optische Hebung

Durch die Brechung an der Oberfläche erscheinen Gegenstände unter Wasser in senkrechter Richtung verkürzt. Schräg eintauchende gerade Gegenstände scheinen einen Knick an der Oberfläche zu haben.

Betrachtet man von außerhalb des Wassers Gegenstände, die sich unter Wasser befinden, so erscheinen sie in senkrechter Richtung gestaucht. Der Boden des Gefäßes erscheint höher als bei einem Bild der selben Szene ohne Wasser. Diese Erscheinung wird daher auch optische Hebung genannt. An einem geraden Stab, der schräg ins Wasser eintaucht, sieht man einen Knick an der Wasseroberfläche. Aufgrund unterschiedlicher Brechungsindizes von Wasser und Luft entsteht ein anderer Brechungswinkel der vom Stab ins Auge kommenden Lichtstrahlen über und unter der Wasseroberfläche an der Grenzfläche zum Glas. Das menschliche Gehirn berücksichtigt diese unterschiedlichen Brechungswinkel nicht und verlängert die Strahlen geradlinig nach hinten, so dass der Stab unter Wasser flacher erscheint als der Stab über Wasser.

Literatur

• Eugene Hecht: Optik. 4. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München, ISBN 3-486-27359-0.