Niveaumenge

In der Mathematik bezeichnet man mit Niveaumenge oder Levelmenge die Menge aller Punkte einer Funktion (eines Skalarfelds), denen der gleiche Wert zugeordnet ist.

Definition

Es seien $U\subseteqq \mathbb {R} ^{n+1}$ mit $n\in \mathbb {N}$ eine offene Menge, $f\colon U\to \mathbb {R}$ eine reellwertige Funktion und $c\in \mathbb {R}$ ein Wert aus der Zielmenge, dann heißt

${\mathcal {N}}_{f}(c):=\{x\in U\mid f(x)=c\}\subset \mathbb {R} ^{n+1}$

die Niveaumenge der Funktion $f$ zum Niveau bzw. Level $c$. Es gilt also ${\mathcal {N}}_{f}(c)=f^{-1}(c)$, das heißt, die Niveaumenge ist das Urbild von $c$ unter $f$.

Die folgenden Definitionen finden sich ebenfalls:

${\mathcal {L}}_{f}(c):=\{x\in U\mid f(x)\leqq c\}$ oder ${\mathcal {L}}_{f}(c):=\{x\in U\mid f(x)\leqq f(c)\}$.

Anwendungen

Physik

Für zweidimensionale Skalarfelder ist diese Menge zumeist eine Linie und man spricht von einer Isolinie oder Niveaulinie. Für dreidimensionale Skalarfelder (zum Beispiel für skalare Potentialfelder) ist diese Menge zumeist eine gekrümmte Fläche und man nennt sie Isofläche oder Niveaufläche (z. B. Höhenlinien). Der Name leitet sich von der Bezeichnung Meeresniveau für die nahe dem mittleren Meeresspiegel verlaufende Äquipotentialfläche des Erdschwerefelds ab.
Der Begriff Niveaufläche wird aber auch für andere Kraftfelder wie einem elektrischen Feld oder einem Magnetfeld verwendet.

Wirtschaftswissenschaften

Für eine Produktionsfunktion $f\colon (0,\infty )^{n}\to (0,\infty )$ sowie ein Produktionsniveau $c\in (0,\infty )$ ist ${\mathcal {N}}_{f}(c)=f^{-1}(c)$ die Menge aller Bündel von Produktionsfaktoren, mit denen sich die Menge $c$ generieren lässt. Die Menge ${\mathcal {N}}_{f}(c)$ wird als Isoquante zum Produktionsniveau $c$ bezeichnet.