Vektorbündel

Die obere Grafik zeigt den Kreis mit einigen seiner Tangentialräume. Die zweite Grafik fasst die Tangentialräume zum Tangentialbündel, einem besonderen Vektorbündel zusammen.

Vektorbündel (oder manchmal ausführlicher Vektorraumbündel) sind Familien von Vektorräumen, die durch die Punkte eines topologischen Raumes parametrisiert sind. Der Begriff der Basis eines Vektorraums kann auf diese speziellen Faserbündel verallgemeinert werden und heißt Rahmen.

Anschaulich besteht ein Vektorbündel aus je einem Vektorraum für jeden Punkt des Basisraumes. Da Vektorräume gleicher Dimension jedoch stets isomorph sind, liegt die wesentliche Information in den Beziehungen zwischen diesen Vektorräumen. Das bekannteste Beispiel für ein Vektorbündel ist das Tangentialbündel einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit. Der Zusammenhang zwischen den verschiedenen Tangentialräumen, also den Vektorräumen zu den einzelnen Punkten, äußert sich beispielsweise in der Frage, ob ein Vektorfeld differenzierbar ist.

Die Frage, wie Vektorbündel auf einem Raum aussehen können, hängt eng mit globalen topologischen Eigenschaften des Raumes zusammen. Nicht-isomorphe Vektorbündel können oft durch ihre charakteristischen Klassen unterschieden werden.

Definitionen

Vektorbündel

Illustration des Vektorbündels $(E,B,\pi )$. Hier ist der Totalraum $E=\mathbb {R} ^{2}$ und der Basisraum $B=\mathbb {R}$. Die Abbildung $\pi \colon E\to B$ projiziert jede Gerade $E_{x}$ auf den Punkt $x$. Der Raum $E_{x}=\{p\in E|\pi (p)=x\}$ wird Faser über $x$ genannt. Außerdem ist der Totalraum $E$ die Vereinigung aller Fasern.

Sei $\mathbb {K} ^{n}$ ein reeller beziehungsweise komplexer n-dimensionaler Vektorraum. Ein reelles beziehungsweise komplexes Vektorbündel vom Rang $n$ ist ein Tripel $(E,B,\pi )$, bestehend aus topologischen Räumen $E$ (Totalraum) und $B$ (Basis) sowie einer stetigen surjektiven Abbildung $\pi \colon E\to B$, so dass gilt:

• Für jeden Punkt $x$ von $B$ trägt die Faser $E_{x}:=\pi ^{-1}(x)$ von $E$ über $x$ die Struktur eines reellen beziehungsweise komplexen n-dimensionalen Vektorraums.
• „Lokale Trivialität“: Zu jedem Punkt $x\in B$ existiert eine Umgebung $U$ von $x$ und ein Homöomorphismus

$\psi \colon U\times \mathbb {K} ^{n}\to E|_{U}:=\pi ^{-1}(U)\subseteq E$,

der mit $\pi$ kompatibel ist, das heißt $\pi \circ \psi =\operatorname {pr} _{1}$, und für den

$\psi _{y}\colon \{y\}\times \mathbb {K} ^{n}\to E_{y}$

für jedes $y$ in $U$ ein Isomorphismus von Vektorräumen ist. Dabei bezeichnet $\operatorname {pr} _{1}$ die Projektion auf den ersten Faktor. Ein solches $\psi$ heißt lokale Trivialisierung.

Ein Vektorbündel $(E,B,\pi )$ heißt trivial, wenn es eine Trivialisierung mit $U=B$ gibt. $(B\times \mathbb {K} ^{n},B,\operatorname {pr} _{1})$ ist ein triviales Vektorbündel.

Geradenbündel

Ein Vektorbündel mit Rang 1 wird Geradenbündel (als Fehlübersetzung aus dem Englischen auch Linienbündel) genannt.

Beispiele

Das Möbiusband als ein Vektorbündel über dem Kreis

• Das Tangentialbündel einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ist ein Vektorbündel bestehend aus den Tangentialräumen der Mannigfaltigkeit. Entsprechend ist auch das Kotangentialbündel bestehend aus den Kotangentialräumen - also den Dualräumen der Tangentialräume - ein Vektorbündel.
• Das Möbiusband ist ein Geradenbündel über der 1-Sphäre (Kreis) $S^{1}$. Lokal ist es homöomorph zu $U\times \mathbb {R}$, wobei $U$ eine offene Teilmenge von $S^{1}$ ist. Allerdings ist das Möbiusband nicht homöomorph zu $S^{1}\times \mathbb {R}$, was ein Zylinder wäre.
• Der Raum der Differentialformen ist als Bündel der äußeren Algebra auch ein Vektorbündel.
• Das $(r,s)$-Tensorbündel ist ebenfalls ein Vektorbündel, das die zuvor gelisteten Vektorbündel als Spezialfälle umfasst.

Homomorphismus von Vektorbündeln

Homomorphismus

Ein Vektorbündelhomomorphismus von dem Vektorbündel $\pi _{1}\colon E_{1}\to B_{1}$ in das Vektorbündel $\pi _{2}\colon B_{2}\to B_{2}$ ist ein Paar $(f,g)$ von stetigen Abbildungen $f\colon E_{1}\to E_{2}$ und $g_{1}\colon B_{1}\to B_{2}$, so dass

• $g\circ \pi _{1}=\pi _{2}\circ f$ gilt und
• $\pi _{1}^{-1}(\{x\})\to \pi _{2}^{-1}(\{g(x)\})$ für alle $x\in B_{1}$ eine lineare Abbildung ist.

Oftmals wird ein Vektorbündelhomomorphismus kurz als Bündelhomomorphismus oder als Homomorphismus bezeichnet.

Isomorphismus

Ein Vektorbündelhomomorphismus $(f,g)$ von $\pi _{1}\colon E_{1}\to B_{1}$ nach $\pi _{2}\colon B_{2}\to B_{2}$ ist ein Vektorbündelisomorphismus, falls $f$ und $g$ Homöomorphismen sind und die induzierte lineare Abbildung $\pi _{1}^{-1}(\{x\})\to \pi _{2}^{-1}(\{g(x)\})$ ein Vektorraumisomorphismus ist.

Beispiel

Betrachtet man den Kreis $S^{1}$ als Mannigfaltigkeit, dann ist das Tangentialbündel $TS^{1}\to S^{1}$ vom $S^{1}$ isomorph zu dem trivialen Vektorbündel $S^{1}\times \mathbb {R} \to S^{1}$. Der Homöomorphismus zwischen den Basisräumen ist die identische Abbildung und der zwischen den Totalräumen lautet

$(e^{i\theta },ite^{i\theta })\mapsto (e^{i\theta },t)$

für $e^{i\theta }\in S^{1}$ und $t\in \mathbb {R}$.

Unterstrukturen

Untervektorbündel

Mit $E_{x}$ werden die Fasern des Vektorbündels $\pi \colon E\to B$ am Punkt $x\in B$ bezeichnet. Ein Untervektorbündel des Vektorbündels $\pi \colon E\to B$ besteht aus einem topologischen Teilraum $U\subset E$ bestehend aus einer Familie von Untervektorräumen $U_{x}$ von $E_{x}$, so dass $\pi _{U}\colon U\to B$ ein eigenes Vektorbündel ist.

Eingeschränktes Vektorbündel

Mit $E_{x}$ werden wieder die Fasern des Vektorbündels $\pi \colon E\to B$ am Punkt $x\in B$ bezeichnet und $D\subset B$ bezeichnet einen topologischen Teilraum. Das auf $D$ eingeschränkte Vektorbündel $\pi _{D}\colon E_{D}\to D$ ist definiert durch

$E_{D}:=E|_{D}:=\bigcup _{m\in D}E_{m}\quad {\text{und}}\quad \pi _{D}:=\pi |_{D}$.

Das eingeschränkte Vektorbündel ist ein eigenständiges Vektorbündel bezüglich des topologischen Teilraums $D$.

Weitere Objekte bei Vektorbündeln

Schnitt

→ Hauptartikel: Schnitt (Faserbündel)

Ist U eine offene Teilmenge von B, so heißt eine Abbildung

$s\colon U\rightarrow E|_{U}\,,$

für die $\pi \circ s=\operatorname {id} |_{U}$ gilt, ein Schnitt von E über U. Die Menge Γ(U,E) aller Schnitte von E über U bildet einen Vektorraum.

Rahmen

Unter einem Rahmen (auf englisch Frame) versteht man eine Art Basis eines Vektorbündels. Es handelt sich um eine Teilmenge des Vektorbündels, welche an jedem Punkt eine Basis des zugehörigen Vektorraums bildet. Präzise bedeutet dies:

Sei $\pi \colon E\to B$ ein Vektorbündel mit Rang $n$ und sei $U\subset B$ eine offene Teilmenge des Basisraums. Ein lokaler Rahmen von $E$ über $U$ ist ein geordnetes n-Tupel $(\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n})$. Dabei ist für alle i $\sigma _{i}$ ein Schnitt in $E$ über $U$, so dass $(\sigma _{1}(p),\ldots ,\sigma _{n}(p))$ eine Vektorraumbasis der Faser $E_{p}$ für alle $p\in U$ bildet. Falls man $U=B$ wählen kann, so spricht man von einem globalen Rahmen.

Vektorbündel mit zusätzlichen Strukturen

Differenzierbares Vektorbündel

Sei $\pi \colon E\to B$ ein Vektorbündel. Sind $E$ und $B$ differenzierbare Mannigfaltigkeiten und sind die Projektion $\pi$ sowie die Trivialisierungen $\psi$ differenzierbar, so heißt das Vektorbündel differenzierbar. Es heißt glatt, wenn die Mannigfaltigkeiten glatt sind und die Abbildungen beliebig oft differenzierbar sind.

Holomorphes Vektorbündel

Ein holomorphes Vektorbündel ist ein komplexes Vektorbündel $\pi \colon E\to M$ über einer komplexen Mannigfaltigkeit $M$, so dass der Totalraum $E$ eine komplexe Mannigfaltigkeit und die Projektion $\pi$ eine holomorphe Abbildung ist.

G-Vektorbündel

Sei $G$ eine Gruppe. Wenn $E$ und $B$ G-Räume sind, dann ist ein Vektorbündel $\pi \colon E\to B$ ein G-Vektorbündel falls die Gruppenwirkung

$g\colon E_{x}\rightarrow E_{gx}$

für alle $g\in G,x\in B$ eine lineare Abbildung ist.

Vektorbündel in der algebraischen Geometrie

Definition

Für (algebraische) Vektorbündel in der algebraischen Geometrie sind $E$ und $B$ Schemata, $E_{x}$ ist für alle Punkte $x$ von $B$ ein $\kappa (x)$-Vektorraum, und die lokalen Trivialisierungen sind Isomorphismen

$U\times A^{n}\to E|_{U}$

Meist ist mit „Vektorbündel“ in der algebraischen Geometrie jedoch eine lokal freie Garbe gemeint (s.u.).

Lokalfreie Garbe

Es sei (X, O_X) ein lokal geringter Raum, z.B. ein topologischer Raum mit der Garbe der stetigen reell- oder komplexwertigen Funktionen, eine differenzierbare Mannigfaltigkeit mit der Garbe der C^∞-Funktionen oder ein Schema.

Eine lokal freie Garbe ist ein O_X-Modul M, der lokal isomorph zu einem freien O_X-Modul ist, d.h. X kann durch offene Mengen U überdeckt werden, für die M|_U isomorph zu einer direkten Summe von Kopien von O_X|_U ist.

Lokalfreie Garben und Vektorbündel

Die beiden folgenden Konstruktionen liefern im Fall von topologischen Räumen oder differenzierbaren Mannigfaltigkeiten eine Äquivalenz der Kategorien von lokal freien Garben sowie Vektorbündeln auf X (der Einfachheit der Notation halber ist der Fall von reellen Vektorbündeln über einem topologischen Raum beschrieben):

• Einem Vektorbündel wird die Garbe seiner Schnitte zugeordnet.
• Einer lokal freien Garbe M wird die disjunkte Vereinigung E ihrer Fasern M_x/m_xM_x zugeordnet. Wir wählen eine offene Überdeckung (U_i) von X, so dass M auf jedem U_i trivial wird. Eine Trivialisierung definiert n nirgends verschwindende Schnitte von M über U_i, die fasernweise eine Basis bilden. Diese definieren eine Abbildung

U_i × Rⁿ → E,

und wir definieren die Topologie auf E dadurch, dass wir fordern, dass diese Abbildungen Homöomorphismen sind. Sie ist wohldefiniert, da sich diese Abbildungen über dem Schnitt zweier Mengen U_i und U_j nur um einen Homöomorphismus (genauer gesagt einen stetig variierenden Vektorraumautomorphismus von Rⁿ) unterscheiden.

Im Fall der algebraischen Geometrie ist diese Konstruktion etwas einfacher: das Bündel zu einer lokalfreien Garbe E ist

V(E^∨) := Spec S(E^∨)

dabei bezeichnet S die symmetrische Algebra und Spec das Algebrenspektrum.

Weiterführende Begriffe

• Die Untersuchung so genannter stabiler Äquivalenzklassen von Vektorbündeln ist Gegenstand der K-Theorie.
• Auf algebraischen Kurven haben (semi-)stabile Vektorbündel besonders gute Eigenschaften.

Literatur

• R. Abraham, J. E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, Tensor Analysis, and Applications. 2. Auflage. Springer, Berlin 1988, ISBN 3-540-96790-7 (englisch). 
• Allen Hatcher: Vector Bundles & K-Theory. Version 2.1, May 2009, online (PDF; 1,11 MB).
• Karlheinz Knapp: Vektorbündel. Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-03113-8. 

Weblinks

Commons: Vector bundles – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien